北京四中2025年数学高一上期末统考试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上3．考生必须保证答题卡的整洁考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，则的值是（）A. B.C. D.2．已知向量，，那么（）A.5 B.C.8 D.3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是A. B.C. D.4．已知直线过，两点，则直线的斜率为A. B.C. D.5．为了得到函数的图象，只需将函数的图象A.向左平行移动个单位 B.向左平行移动个单位C.向右平行移动个单位 D.向右平行移动个单位6．关于函数，下列说法正确的是（）A.最小值为0 B.函数为奇函数C.函数是周期为周期函数 D.函数在区间上单调递减7．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是A. B.C. D.8．若，则下列不等式中，正确的是（ ）A. B.C. D.9．已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.10．对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．求值：__________.12．已知扇形的弧长为，且半径为，则扇形的面积是__________.13．已知是定义在上奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______14．设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为________.15．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|log2x＜0}，则∁AB=___16．已知，，则的最小值是___________.三、解答题：本大题共5小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知集合，，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.18．已知函数=（1）判断的奇偶性；（2）求在的值域19．某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少？20．已知函数，函数.（1）填空：函数的增区间为___________（2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使函数在上的最大值为？如果存在，求出实数所有的值.如果不存在，说明理由.21．已知函数（1）根据函数单调性的定义，证明在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）令，若对，，都有成立，求实数取值范围参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】根据题意，直接计算即可得答案.【详解】解：由题知，，.故选：D2、B【解析】根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.【详解】因为向量，，所以.故选：B.3、D【解析】选项A为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减；选项B，y＝x3为奇函数；选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性；选项D满足题意【详解】选项A，y＝ln为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递减，故错误；选项B，y＝x3为奇函数，故错误；选项C，y＝cosx为偶函数，但在区间（0，+∞）上没有单调性，故错误；选项D，y＝2|x|为偶函数，当x＞0时，解析式可化为y＝2x，显然满足在区间（0，+∞）上单调递增，故正确故选D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，属于基础题4、C【解析】由斜率的计算公式计算即可【详解】因为直线过，两点，所以直线的斜率为.【点睛】本题考查已知两点坐标求直线斜率问题，属于基础题5、B【解析】由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论【详解】∵将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位得到sin[2（x）]=，∴要得到函数y＝sin2x的图象，只需将函数y＝sin（2x）的图象向左平行移动个单位故选B【点睛】本题主要考查了函数y＝Asin（ωx+φ）图象变换规律的简单应用，属于基础题6、D【解析】根据三角函数的性质，得到的最小值为，可判定A不正确；根据奇偶性的定义和三角函数的奇偶性，可判定C不正确；举例可判定C不正确；根据三角函数的单调性，可判定D正确.【详解】由题意，函数，当时，可得，所以，当时，可得，所以，所以函数的最小值为，所以A不正确；又由，所以函数为偶函数，所以B不正确；因为，，所以，所以不是的周期，所以C不正确；当时，，，当时，，即函数在区间上单调递减，又因为，所以函数在区间上单调递减，所以D正确.故选：D.7、C【解析】因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C考点：1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3函数的图象8、C【解析】利用不等式的基本性质判断.【详解】由，得，即，故A错误；则，则，即，故B错误；则，，所以，故C正确；则，所以，故D错误； 故选：C9、B【解析】先对三个数化简，然后利用指数函数的单调性判断即可【详解】，，，因为在上为增函数，且，所以，所以，故选：B10、C【解析】先根据不等式恒成立等价于，再根据基本不等式求出，即可求解.【详解】解：，即，即又 当且仅当“”，即“”时等号成立，即，故.故选：C.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、【解析】利用诱导公式一化简，再求特殊角正弦值即可.【详解】.故答案为：.12、##【解析】由扇形面积公式可直接求得结果.【详解】扇形面积.故答案为：.13、【解析】求出函数的周期即可求解.【详解】根据题意，为偶函数，即函数图象关于直线对称，则有，又由为奇函数，则，则有，即，即函数是周期为4的周期函数，所以，故答案为：14、【解析】考点：该题主要考查平面向量的概念、数量积的性质等基础知识，考查数学能力.15、 [1，+∞）【解析】由指数函数的性质化简集合；由对数函数的性质化简集合，利用补集的定义求解即可.【详解】,所以，故答案为.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.16、【解析】化简函数，由，得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，因为，可得，当时，即时，函数取得最小值.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（1）；（2）【解析】（1）可利用数轴求两个集合的交集；（2）根据子集关系列出不等式组，解不等式组即可【详解】（1） （2）因为，所以当时，有，解得，所以实数的取值范围是【点睛】解决集合问题应注意的问题：①认清元素的属性：解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件；②注意元素的互异性：在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误；③防范空集：在解决有关，等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定要先考虑是否成立，以防漏解18、（1）奇函数（2）【解析】（1）由奇偶性的定义判断（2）由对数函数性质求解【小问1详解】，则，的定义域为，，故是奇函数【小问2详解】，当时，，故，即在的值域为19、此商品的最佳售价应为元.【解析】设最佳售价为元，最大利润为元， 当时，取得最大值，所以应定价为元20、（1）（写出开区间亦可）；（2）；（3）.【解析】（1）根据单调性的定义结合奇偶性可得解；（2）令，问题转化为“”为真命题，根据基本不等式找函数的最小值即可；（3）当时，，记，若函数在上的最大值为，分和，结合对数函数的单调性列式求解即可.【详解】（1）函数的增区间为（写出开区间亦可）；理由：，为偶函数，任取，，所以的增区间为.（2），令，当且仅当时取“”，“”为真命题可转化为“”为真命题，因为，当且仅当时取“”，所以，所以；（3）由（1）可知，当时，，记，若函数在上的最大值为，则1）当，即时，在上最小值为1，因为图象的对称轴为，所以，解得，符合题意；2）当，即时，在上最大值为1，且恒成立，因为图象是开口向上的抛物线，在的最大值可能是或，若，则，不符合题意，若，则，此时对称轴，由，不合题意0.综上所述，只有符合条件.【点睛】本题主要考查了对数型、指数型的复合函数的单调性及最值问题。
解题的关键是换元，将复杂的函数化为简单的函数，解决对数型的复合函数时要注意真数大于0这个隐含条件，属于难题.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由单调性定义证明；（2）换元，设，，由（1）求得的范围，然后由二次函数性质求得最大值和最小值，由最大值减去最小值不大于可得的范围【小问1详解】证明：设，，且，则，当时，∴，，∴，∴，即，∴函数在上单调递减当时，∴，，∴，∴，即，∴函数在上单调递增综上，函数在上单调递减，在上单调递增【小问2详解】解：由题意知，令，，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，∴，∵函数的对称轴方程为，∴函数在上单调递减，当时，取得最大值，，当时，取得最小值，，所以，，又∵对，，都有恒成立，∴，即，解得,又∵，∴k的取值范围是。