2024—2025学年广西南宁市高三上学期普通高中毕业班摸底测试数学试卷一、单选题(★) 1. 已知复数 ，则 （ ） A．B．C．D． (★★) 2. 已知命题 ， ， ， ，则（ ） A．p和q都是真命题B．p和都是真命题C．和q都是真命题D．和都是真命题 (★★★) 3. 已知向量 ， 满足 ，且 ，则 （ ） A．B．C．D． (★★★) 4. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间 内，按分数分成5组： ， ， ， ， ，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论 错误 的是（ ） A．成绩在上的人数最多B．成绩不低于70分的学生所占比例为C．50名学生成绩的平均分小于中位数D．50名学生成绩的极差为50 (★★) 5. 已知 ， ，在 x轴上方的动点 M满足直线 AM的斜率与直线 BM的斜率之积为2，则动点 M的轨迹方程为（ ） A．B．C．D． (★★) 6. 已知函数 ，若对 ， ，则实数 m的取值范围为（ ） A．B．C．D． (★★★) 7. 已知正三棱台 的侧面积为6， ， ，则 与平面 ABC所成角的余弦值为（ ） A．B．C．D． (★★★) 8. 设函数 ， ，当 时，曲线 与曲线 的图象依次交于 A， B， C不同的三点，且 ，则 （ ） A．2B．C．1D． 二、多选题(★★★) 9. 已知函数 ， ，则下列结论正确的是（ ） A．与的图象有相同的对称轴B．与的值域相同C．与有相同的零点D．与的最小正周期相同 (★★★) 10. 已知 F为抛物线 的焦点， C的准线为 l，直线 与 C交于 A， B两点（ A在第一象限内），与 l交于点 D，则（ ） A．B．C．以AF为直径的圆与y轴相切D．l上存在点E，使得为等边三角形 (★★★★) 11. 设函数 ，则（ ） A．当时，是的极小值点B．恒有两个单调性相同的区间C．当有三个零点时，可取得的整数有2个D．点为曲线的对称中心 三、填空题(★★) 12. 已知数列 满足 ， ， ，且 ，则 ______ . (★★★) 13. 已知 ， ，则 ______ . (★★★) 14. 在如图方格中，用4种不同颜色做涂色游戏，要求相邻区域颜色不同，每个区域只能涂一种颜色. ①若区域 涂2种颜色，区域 涂另外2种颜色，则有 ______ 种不同涂法. ②若区域 涂4种颜色（ 涂的颜色互不相同），区域 也涂这4种颜色（ 涂的颜色互不相同），则有 ______ 种不同涂法. 四、解答题(★★★) 15. 设锐角 的内角 A， B， C的对边分别为 a， b ， c，已知 . (1)求 A； (2)若 ，且 ，求 的面积. (★★★) 16. 已知函数 ，曲线 在 处的切线为直线 l. (1)求直线 l的方程； (2)求函数 在闭区间 上的最值. (★★★) 17. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，平面 ⊥平面 . (1)证明： ⊥平面 ； (2)若 ，四棱锥 的体积为2，求二面角 的正弦值. (★★★) 18. 我省某市为吸引游客，推出免费门票项目.该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机，自然风光类抽中的概率为 ，历史文化类、特色体验类抽中的概率均为 ，这三类抽奖之间互不影响.规定凡在该市的景区游玩的游客，每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点. (1)若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次，设 X表示甲获得免费票景点个数，求 X的分布列和数学期望； (2)乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，已知乙抽中（至少抽中一个），求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率. (★★★★) 19. 已知椭圆 经过点 ， ， 为 C的左、右顶点， M， N为 C上不同于 ， 的两动点，若直线 的斜率与直线 的斜率的比值恒为常数 ，按下面方法构造数列 ： C的短半轴长为 时，直线 MN与 x轴交于点 . (1)求椭圆 C的离心率； (2)证明：数列 是等比数列； (3)设顶点 到直线 MN的最大距离为 d，证明 . 。
