2025学年浙江省镇海市镇海中学数学高一上期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在正内有一点，满足等式，，则（）A. B.C. D.2．已知定义在R上的函数满足：对任意，则A. B.0C.1 D.33．一个扇形的面积是，它的半径是，则该扇形圆心角的弧度数是A. B.1C.2 D.4．已知直线和互相平行，则实数等于（ ）A.或3 B.C. D.1或5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.6．集合用列举法表示是（）A. B.C. D.7．若角的终边过点，则A. B.C. D.8．如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中① ②与成角③与为异面直线 ④以上四个命题中，正确的序号是 A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④9．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆相交于点，则（ ）A. B.C. D.10．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设函数是以4为周期的周期函数，且时，，则__________12．若函数在内恰有一个零点，则实数a的取值范围为______13．若函数的定义域为[－2，2]，则函数的定义域为 ______14．设是定义在上的函数，若存在两个不等实数，使得，则称函数具有性质，那么下列函数：① ；② ；③；具有性质的函数的个数为____________15．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，则球O的半径为________16．已知圆,圆,则两圆公切线的方程为__________三、解答题：本大题共5小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知集合.（1）若，求a的值；（2）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18．已知（1）求的值（2）求19．已知，且是第四象限角.（1）求和的值；（2）求的值；20．已知函数.（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（II）若,求的值.21．已知函数（且）的图象过点（1）求的值.（2）若.（i）求的定义域并判断其奇偶性；（ii）求的单调递增区间.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】过作交于，作交于，则，可得，在中由正弦定理可得答案.【详解】过作交于，作交于，则，，在中，，，由正弦定理得.故选：A.2、B【解析】，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.3、C【解析】由题意首先求得弧长，然后求解圆心角的弧度数即可.【详解】设扇形的弧长为，由题意可得：,则该扇形圆心角的弧度数是.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查扇形面积公式，弧度数的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4、A【解析】由两直线平行，得到，求出，再验证，即可得出结果.详解】∵两条直线和互相平行，∴，解得或，若，则与平行，满足题意；若，则与平行，满足题意；故选：A5、A【解析】由题可得该几何体为正方体的一半，截去了一个三棱锥，即得.【详解】由三视图可知该几何体为正方体的一半，截去了一个三棱锥，如图，则其体积为.故选：A.6、D【解析】解不等式，结合列举法可得结果.【详解】.故选：D7、D【解析】角的终边过点，所以.由角，得.故选D.8、D【解析】由已知中正方体的平面展开图，得到正方体的直观图如上图所示：由正方体的几何特征可得：①不平行，不正确； ②AN∥BM，所以，CN与BM所成的角就是∠ANC=60°角，正确；③与不平行、不相交，故异面直线与为异面直线，正确；④易证，故，正确；故选D9、C【解析】由已知利用任意角的三角函数求得，再由二倍角的余弦公式求解即可【详解】解：因为角的终边与单位圆相交于点， 则，故选：C10、C【解析】由题意可得，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，于是把钢球的球心连接，则可得到一个棱长为2的小正四面体，该小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心是重合的，所以小正四面体的中心到底面的距离是，正四面体的中心到底面的距离是，所以可知正四面体的高的最小值为，故选择C考点：几何体的体积二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##0.5【解析】利用周期和分段函数的性质可得答案.【详解】，.故答案为：.12、【解析】根据实数a的正负性结合零点存在原理分类讨论即可.【详解】当时，，符合题意，当时，二次函数的对称轴为：，因为函数在内恰有一个零点，所以有：，或，即或，解得：，或，综上所述：实数a的取值范围为，故答案为：13、【解析】∵函数的定义域为[－2，2]∴，∴∴函数的定义域为14、【解析】根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；②假设存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在；③函数为偶函数，，令，，则，存在故答案为：【点睛】关键点点睛：证明存在性命题，只需找到满足条件的特殊值即可，反之需要证明不存在，一般考虑反证法，先假设存在，推出矛盾即可，属于中档题.15、【解析】根据直角三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边，结合球的对称性、勾股定理、直三棱柱的几何性质进行求解即可.【详解】因为，所以三角形是以为斜边的直角三角形，因此三角形的外接圆的直径为，圆心为.因为，所以，在直三棱柱中， 侧面是矩形且它的中心即为球心O，球的直径是的长，则，所以球的半径为故答案为：【点睛】本题考查了直三棱柱外接球问题，考查了直观想象能力和数学运算能力.16、【解析】圆，圆心为(0,0)，半径为1；圆，圆心为(4,0)，半径为5.圆心距为4=5-1，故两圆内切.切点为(-1,0)，圆心连线为x轴，所以两圆公切线的方程为，即.故答案.三、解答题：本大题共5小题，共70分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（1）（2）【解析】（1）先求出集合B，再由题意可得从而可求出a的值，（2）由题意可得Ü，从而有再结合可求出实数a的取值范围.【小问1详解】由题设知，∵，∴可得.【小问2详解】∵，∴，解得.∵“”是“”的必要不充分条件，∴Ü.∴解得.因此，实数a的取值范围为.18、（1）（2）【解析】根据条件可解出与的值，再利用商数关系求解【小问1详解】，又，解得故【小问2详解】由诱导公式得19、（1），；（2）.【解析】（1）根据象限和公式求出的正弦，再用倍角公式计算即可（2）求出角正切值，再展开，代入计算即可.【详解】解：（1），由得，，又是第四象限角，，，，.（2）由（1）可知，，.20、（1）周期为，最大值为2，最小值为-1 （2）【解析】（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为,再利用周期可得最小正周期,由找出对应范围,利用正弦函数图像可得值域;（2） 先利用求出,再由角的关系展开后代入可得值.试题解析:（1）所以又 所以由函数图像知.（2）解：由题意而 所以所以所以 =.考点：三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式21、（1）；（2）（i）定义域为，是偶函数；（ii）.【解析】（1）由可求得实数的值；（2）（i）根据对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，由此可解得函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义可证明函数为偶函数；（ii）利用复合函数法可求得函数的增区间.【详解】（1）由条件知，即，又且，所以；（2）.（i）由得，故的定义域为.因为，故是偶函数；（ii），因为函数单调递增，函数在上单调递增，故的单调递增区间为.。