甘肃省武威市第一中2025届高三1月月考（期末）数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内2．答题时请按要求用笔3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知，，由程序框图输出的为（ ）A．1 B．0 C． D．2．若复数是纯虚数，则( )A．3 B．5 C． D．3．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A． B． C． D．4．已知（为虚数单位，为的共轭复数），则复数在复平面内对应的点在（ ）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．复数的实部与虚部相等，其中为虚部单位，则实数( )A．3 B． C． D．6．设，且，则（ ）A． B． C． D．7． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ）A．75 B．65 C．55 D．458．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A． B． C． D．49．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）A． B． C． D．10．下列四个图象可能是函数图象的是（ ）A． B． C． D．11．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（ ）A． B． C． D．112．数列的通项公式为．则“”是“为递增数列”的（ ）条件．A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，是圆的直径，弦的延长线相交于点垂直的延长线于点．求证：14．在区间内任意取一个数，则恰好为非负数的概率是________.15．在中，角所对的边分别为，为的面积，若，，则的形状为__________，的大小为__________．16．已知双曲线的两条渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）在中，角的对边分别为，且.（1）求角的大小；（2）已知外接圆半径,求的周长.18．（12分）已知函数的最小正周期是，且当时，取得最大值．（1）求的解析式；（2）作出在上的图象（要列表）．19．（12分）随着现代社会的发展，我国对于环境保护越来越重视，企业的环保意识也越来越强.现某大型企业为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年企业的环境监测费用预算定为1200万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染源处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外2套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染源处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.（1）当时，求某个时间段需要检查污染源处理系统的概率；（2）若每套环境监测系统运行成本为300元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要100万元.现以此方案实施，问该企业的环境监测费用是否会超过预算(全年按9000小时计算)？并说明理由.20．（12分）某学校为了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据，得到如下频率分布直方图，以样本的频率作为总体的概率.（1）估计这100人体重数据的平均值和样本方差；(结果取整数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)（2）从全校学生中随机抽取3名学生，记为体重在的人数，求的分布列和数学期望；（3）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布.若，则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.21．（12分）为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区，在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户10050150合计14060200（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）以该小区的个体经营户为样本，频率作为概率，从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为，写出的分布列，并求的期望值．附：0.100.0100.0012.7066.63510.82822．（10分）设函数，其中是自然对数的底数.（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；（Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、D【解析】试题分析：，，所以，所以由程序框图输出的为.故选D．考点：1、程序框图；2、定积分．2、C【解析】先由已知，求出，进一步可得，再利用复数模的运算即可【详解】由z是纯虚数，得且，所以，.因此，.故选：C.【点睛】本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.3、B【解析】因为从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为，即命题是错误，则是正确的；在边长为4的正方形内任取一点，若的概率为，即命题是正确的，故由符合命题的真假的判定规则可得答案 是正确的，应选答案B点睛：本题将古典型概率公式、几何型概率公式与命题的真假（含或、且、非等连接词）的命题构成的复合命题的真假的判定有机地整合在一起，旨在考查命题真假的判定及古典概型的特征与计算公式的运用、几何概型的特征与计算公式的运用等知识与方法的综合运用，以及分析问题 解决问题的能力4、D【解析】设，由，得，利用复数相等建立方程组即可.【详解】设，则，所以，解得，故，复数在复平面内对应的点为，在第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及到共轭复数的定义、复数的模等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.5、B【解析】利用乘法运算化简复数即可得到答案.【详解】由已知，，所以，解得.故选：B【点睛】本题考查复数的概念及复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.6、C【解析】将等式变形后，利用二次根式的性质判断出，即可求出的范围.【详解】 即故选：C【点睛】此题考查解三角函数方程，恒等变化后根据的关系即可求解，属于简单题目.7、B【解析】计算的和，然后除以，得到“5阶幻方”的幻和.【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题.8、D【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，得出的变化以4为周期出现，由此可得结论．【详解】；如此循环下去，当时，，此时不满足，循环结束，输出的值是4.故选：D．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论．9、B【解析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率.故选:B.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.10、C【解析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，因为为奇函数，即可得到函数图象关于对称，即可排除A、D，再根据时函数值，排除B，即可得解.【详解】∵的定义域为，其图象可由的图象沿轴向左平移1个单位而得到，∵为奇函数，图象关于原点对称，∴的图象关于点成中心对称.可排除A、D项.当时，，∴B项不正确.故选：C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.11、B【解析】先根据导数的几何意义写出 在 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数 ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案.【详解】解：当 时，，则;当时，则.设 为函数图像上的两点，当 或时，，不符合题意，故.则在 处的切线方程为；在 处的切线方程为.由两切线重合可知 ，整理得.不妨设则 ，由 可得则当时， 的最大值为.则在 上单调递减，则.故选:B.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出 和 的函数关系式.本题的易错点是计算.12、A【解析】根据递增数列的特点可知，解得，由此得到若是递增数列，则，根据推出关系可确定结果.【详解】若“是递增数列”，则，即，化简得：，又，，，则是递增数列，是递增数列，“”是“为递增数列”的必要不充分条件．故选：.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、证明见解析．【解析】试题分析：四点共圆，所以，又△∽△，所以，即，得证．试题解析：A．连接，因为为圆的直径，所以，又，则四点共圆，所以． 又△∽△，所以，即，∴．14、【解析】先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“恰好为非负数”的概率.【详解】当是非负数时，，区间长度是，又因为对应的区间长度是，所以“恰好为非负数”的概率是.故答案。
