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1、福建省福州市八县一中联考2025届高三下学期阶段性测试（一）数学试题试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻
2、折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ）ABCD2已知是函数的极大值点，则的取值范围是ABCD3若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60，则体积为( )ABCD4如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为()ABCD5某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）AB3CD46已知复数，则（ ）ABCD7已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（ ）ABCD8若，则下列关系式正确的个数是（ ） A1B2C3D49定义域为R的偶函数满足任意，有，且当时，.若函数至少有三个零点，则的取值范围是（ ）ABCD10已知非零向量、，若且，则向量在向量方向上的投影为（
3、 ）ABCD11已知，且，则（ ）ABCD12已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13割圆术是估算圆周率的科学方法，由三国时期数学家刘徽创立，他用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积，从而得出圆周率现在半径为1的圆内任取一点，则该点取自其内接正十二边形内部的概率为_14已知，且，则最小值为_15某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为_.16设等比数列的前项和为，若，则数列的公比是 三、解答题：共70分。解
4、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.（1）求证：平面.（2）求二面角的余弦值.18（12分）已知离心率为的椭圆经过点.(1)求椭圆的方程；(2)荐椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆分别交于，若直线、的斜率成等差数列，请问的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.19（12分）已知椭圆的焦距是，点是椭圆上一动点，点是椭圆上关于原点对称的两点（与不同），若直线的斜率之积为.（）求椭圆的标准方程；（）是抛物线上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求的面积的最大值.
5、20（12分）已知直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于A，B两点，线段AB的中点是，（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线l与线段AB相交（不含端点）且交椭圆于C，D两点，求四边形面积的最大值.21（12分）已知椭圆的左，右焦点分别为，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为.（1）求椭圆E的标准方程，（2）若，四边形ABCD内接于椭圆E，记直线AD，BC的斜率分别为，求证:为定值.22（10分）已知抛物线和圆，倾斜角为45的直线过抛物线的焦点，且与圆相切（1）求的值；（2）动点在抛物线的准线上，动点在上，若在点处的切线交轴于点，设求证点在定直线上，并求该定直线的方程参考答案一、选择题：本题共12
6、小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.【详解】如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，、分别为、的中点，则必有，即为直角三角形.对于等腰梯形，如图：因为是等边三角形，、分别为、的中点，必有，所以点为等腰梯形的外接圆圆心，
7、即点与点重合，如图，所以四棱锥底面的高为，.故选：D.【点睛】本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.2、B【解析】方法一：令，则，当，时，单调递减，时，且，即在上单调递增，时，且，即在上单调递减，是函数的极大值点，满足题意；当时，存在使得，即，又在上单调递减，时，所以，这与是函数的极大值点矛盾综上，故选B方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，即；在的右侧附近，即易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B3、D【解析】设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半
8、径，再利用圆锥体积公式计算即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为，由已知，解得，所以圆锥的体积.故选：D【点睛】本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.4、A【解析】根据三视图可得几何体为直三棱柱，根据三视图中的数据直接利用公式可求体积.【详解】由三视图可知几何体为直三棱柱，直观图如图所示：其中，底面为直角三角形，高为.该几何体的体积为故选：A.【点睛】本题考查三视图及棱柱的体积，属于基础题.5、C【解析】首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一
9、个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：.故选：C.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题.6、B【解析】分析：利用的恒等式，将分子、分母同时乘以 ，化简整理得 详解： ，故选B点睛：复数问题是高考数学中的常考问题，属于得分题，主要考查的方面有：复数的分类、复数的几何意义、复数的模、共轭复数以及复数的乘除运算，在运算时注意符号的正、负问题.7、A【解析】由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得，结合的范围即可求解【详解】如图，其中，所以.故选：A【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题8、
10、D【解析】a，b可看成是与和交点的横坐标，画出图象，数形结合处理.【详解】令，作出图象如图，由，的图象可知，正确；，有，正确；，有，正确；，有，正确.故选：D.【点睛】本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.9、B【解析】由题意可得的周期为，当时，令，则的图像和的图像至少有个交点，画出图像，数形结合，根据，求得的取值范围.【详解】是定义域为R的偶函数，满足任意，令，又，为周期为的偶函数，当时，当，当，作出图像，如下图所示：函数至少有三个零点，则的图像和的图像至少有个交点，若，的图像和的图像只有1个交点，不合题意，所以，的图像和的图像至少有个交点，则有，即，.故选:B
11、.【点睛】本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题.10、D【解析】设非零向量与的夹角为，在等式两边平方，求出的值，进而可求得向量在向量方向上的投影为，即可得解.【详解】，由得，整理得，解得，因此，向量在向量方向上的投影为.故选：D.【点睛】本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.11、B【解析】分析：首先利用同角三角函数关系式，结合题中所给的角的范围，求得的值，之后借助于倍角公式，将待求的式子转化为关于的式子，代入从而求得结果.详解：根据题中的条件，可得为锐角，根据，可求得，而，故选B.点睛
12、：该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用，在解题的过程中，需要对已知真切求余弦的方法要明确，可以应用同角三角函数关系式求解，也可以结合三角函数的定义式求解.12、D【解析】根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.【详解】依题意有， ， 得，又因为，所以，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故选:D.【点睛】本题考查求函数的解析式、函数的性质，要熟记复合函数单调性判断方法，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出圆内接正十二边形的面积和圆的面积，再用几何概型公式求出即可【详解】半径为1的圆内接正
13、十二边形，可分割为12个顶角为，腰为1的等腰三角形，该正十二边形的面积为，根据几何概型公式，该点取自其内接正十二边形的概率为，故答案为：【点睛】本小题主要考查面积型几何概型的计算，属于基础题.14、【解析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.【详解】，结合可知原式，且，当且仅当时等号成立.即最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误15、【解析】采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正
14、），（反，反），在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为.故答案为：【点睛】本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.16、.【解析】当q=1时，.当时，所以.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）由等腰梯形的性质可证得,由射影可得平面,进而求证；（2）取的中点F,连接,以G为原点,所在直线为x轴,所在直线为y轴,所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,再利用数量积求解即可.【详解】（1）在等腰梯形中,点E在线段上,且,点E为上靠近C点的四等分点,点P在底面上的射影为的中点
