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1、2024年平高教育集团八月高三联合考试数学试卷一单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分是否为0两种情况进行讨论，结合二次方程根的情况列式求解即可.【详解】当时，故符合题意；当时，由题意，解得，符合题意，满足题意的值的集合是.故选：D.2. 对于函数，部分与的对应关系如下表：则值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据表格先求，再求的值.【详解】由表格可得，所以故选：C.3. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B.
2、 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别解出不等式：，即可判断出结论【详解】解：由解得：；由解得：因为 “”是“”的充分不必要条件故选：4. 已知函数的大致图象如图所示，则其解析式可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据图象的对称性排除C D；根据函数的最值排除B，从而可得答案.【详解】由图象关于轴对称可知，函数为偶函数，因为与为奇函数，所以排除C D；因为，当且仅当时，等号成立，所以在时取得最小值，由图可知在时取得最大值，故排除B.故选：A【点睛】关键点点睛：根据函数的性质排除不正确的选项是解题关键.5. 已知非零向量，
3、若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用两个向量平行的性质可得，化简可得，利用齐次式即可得到答案.【详解】因为，为非零向量，所以，即因为，所以，则，即，即，由于，所以两边同除，可得：，解得：tan=13或(舍去),所以.故选：D6. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得，代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.【详解】因为随机变量，且，则，可得，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为.故选：B.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（
4、1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7. 已知函数的定义域为，满足是奇函数，且，若，则（ ）A. -100B. -3C. 3D. 2025【答案】C【解析】【分析】由是奇函数，可得，可得，结合，可得，则函数的周期为4，再由，可得，则，所以，即可求得结果.【详解】因为函数的定义域为，是奇函数，所以关于对称，即，有，即，因为，则，所以
5、，则，则，则，所以函数的周期为4，因为，令，则，令，则，所以，所以.故选：C.8. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点若，则椭圆的离心率为（ ）A. 或B. 或C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】由得，则求出PF1，结合椭圆定义求出，再由可得答案.【详解】由，得，则，则，则，即，解得，则，因为，所以，即，整理得，则，解得或，故或故选：B.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是判断出，利用勾股定理求出答案.二多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 设，则下列不等式中正确
6、是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解ABD，利用作差法即可求解C.【详解】由于，故对于A, ,故A正确，对于B，由于故，B错误，对于C，故，C正确，对于D，若时，故D错误，故选;BC10. 为庆祝中国共产党成立100周年，某单位组织开展党史知识竞赛活动某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结论中正确的是( )A. B. C. D. 【答案】ABC【解析】【分析】第1次抽到选择题的概率为，根据古典概型即可计算；第1次抽到选择题且第2次抽到
7、选择题时概率为，根据古典古典概型即可计算；在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为，根据条件概率计算公式即可计算；在第1次没有抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题的概率为，根据条件概率计算公式即可计算【详解】第1次抽到选择题时，则，故A正确；第1次抽到选择题且第2次抽到选择题时，则，故B正确；在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题，则，故C正确；在第1次没有抽到选择题的条件下，第2次抽到选择题，则，故D错误故选：ABC11. 如图，在棱长为1的正方体中，点在侧面内运动（包括边界），为棱中点，则下列说法正确的有（ ）A. 存在点满足平面平面B. 当为线段中点时，三棱锥的外接球体
8、积为C. 若，则最小值为D. 若，则点的轨迹长为【答案】ABD【解析】【分析】当点位于点时，平面平面，可判断A选项；确定三棱锥的外接球的球心，进而求半径，可判断B选项；当点位于点时，可判断C选项；利用，建立适当的平面直角坐标系可得到点的轨迹，进而求轨迹的长，可判断D选项.【详解】 对于A，面面，所以当点位于点时，平面平面，故A正确；对于B，当为线段中点时，与均为直角三角形，且面面，三棱锥的外接球的球心为的中点，外接球的半径，三棱锥的外接球体积为，故B正确；对于C，点在线段上，当点位于点时，故C错误；对于D，若，与均为直角三角形，如图，在正方形中， 以为原点，、分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则
9、，设Px,y，则，整理得：，点在面内的轨迹为以为圆心，以为半径的，在中，故D正确.故选：ABD.三填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知为等比数列，为数列的前项和，则的值为_.【答案】162【解析】【分析】由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程组，求解方程组确定首项和公比的值，然后结合等比数列通项公式即可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，由，得，即，解得，所以.故答案为：13. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】将问题转化为函数在上是增函数，且在上恒成立，再根据对称轴与区间的关系，可得答案.【详解】因为函数在上是减函数
10、，设，因为为减函数，所以在上是增函数，因为，其图象的对称轴为直线，所以，且在上恒成立，所以，解得，所以实数的取值范围是.14. 已知是定义在R上的函数，且对于任意都有，若，则_.【答案】11【解析】【分析】根据题目所给不等式恒成立，利用赋值法求得的值，由此求得的值.【详解】在中，令，得，由，得，又，因此，则有，即，所以.故答案为：11【点睛】关键点点睛：由给定的递推关系，结合“两边夹”原理求出是求解本题的关键.四解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 记的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由
11、辅助角公式可得，由于是三角形的内角，可得的范围，继而可得出角的值.（2）由题意利用正弦定理把边化成角得，根据，可得，继而求得角的值，结合（1）的结论，由和差公式可求得，再利用正弦定理可求出，根据面积公式即可求解.【小问1详解】，.【小问2详解】，即，由正弦定理可得，又，由正弦定理得，即，.16. 已知定义在上的函数对任意实数，恒有，且当时，.（1）求证为奇函数；（2）试判断在上的单调性并证明；（3）解关于不等式.【答案】（1）证明见解析 （2）单调递增，证明见解析 （3）答案见解析【解析】【分析】（1）令结合奇函数的定义证明；（2）利用单调性的定义证明；（3）利用函数的单调性解抽象不等式.【小
12、问1详解】证明：取，得；再取，得 ，即，为上的奇函数；【小问2详解】为上的增函数.证明如下：证明：任意取，且，则，由已知时，得，即，为上的增函数.【小问3详解】，为上的增函数，即.当时，解集为空集；当时，；当时，综上所述：当时，解集为空集；当时，解集为：；当时，17. 如图，在四棱锥中，设分列为棱的中点（1）证明：平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）取的中点，利用线面平行的判定推理即得.（2）取的中点，证明平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值即得.【小问1详解】取的中点，连接，则，且，又，且，于是，四边
13、形为平行四边形，则，又平面平面，所以平面.【小问2详解】取的中点，连接，由，得，又是的中点，则，又是的中点，则，而平面，于是平面，平面，又平面，因此平面，不妨设，以点为坐标原点，直线、过点平行于的直线、直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，则，由为的中点，得，由（1）知，直线与平面所成角即为直线与平面所成角，设为平面的一个法向量，则，令，得，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为.18. 已知F为抛物线C：的焦点，点A在C上，.点P（0，-2），M，N是抛物线上不同两点，直线PM和直线PN的斜率分别为，.（1）求C的方程；（2）存在点Q，当直线MN经过点Q时，恒成立，请求出满足条件的所有点Q的坐标；（3）对于（2）中的一个点Q，当直线MN经过点Q时，|MN|存在最小值，试求出这个最小值.【答案】（1） （2）（2，2）或（4，2） （3）5【解析】【分析】（1）设，进而求出的坐标，利用坐标式向量相等的条件求解即可（2）设，联立直线MN的方程和抛物线方程，利用韦达定理求出，代入得或，利用点斜式求出Q的坐标；（3）根据（2）结论和条件得MN只能过（2，2）点，此时|MN|有最小值，利用韦达定理和两点间的距离公式求出，然后构造函数，通过导函数求出单调区间，利用函数的单调性求出最值【小问1详解】F(0,p2)，设，则，所以得：，解得或（舍），所以抛物线C的方程为
