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1、ABCD回顾回顾 思考思考1.1.线段的垂直平分线的性质定理和线段的垂直平分线的性质定理和判断定理。判断定理。2.2.线段的垂直平分线的作法。线段的垂直平分线的作法。利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后，你发利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后，你发现了什么？现了什么？发现：发现：三角形三条边的垂直平分三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等形三个顶点的距离相等 怎样证明这个怎样证明这个结论呢结论呢? ?点拨：点拨：要证明三条直线相交于一要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点，只要证明其中两条直线的交点在第三条
2、直线上即可点在第三条直线上即可证明：证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等这一点到三角形三个顶点的距离相等 已知：如图已知：如图, ,在在ABCABC中中,AB,BC,AB,BC的垂直平分线相交于点的垂直平分线相交于点P, P, 求证：点求证：点P P也在也在ACAC的垂直平分线上，且的垂直平分线上，且PA=PB=PCPA=PB=PC证明：证明：连接连接AP,BP,CP.AP,BP,CP.点点P P在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,PA=PB PA=PB 同理同理,PB=PC.,PB=PC.PA=P
3、C=PB.PA=PC=PB.点点P P在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平分线相交于一点的垂直平分线相交于一点. . 且且PA=PC=PBPA=PC=PB A AB BC CP P证明：证明：三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等角形三个顶点的距离相等 定理定理: :三角形三条边的垂直平分线相交于一三角形三条边的垂直平分线相交于一点点, ,并且这一点到三个顶点的距离相等。并且这一点到三个顶点的距离相等。如图如图, ,在在ABCABC中中, ,c,a,bc,a
4、,b分别是分别是AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平分线的垂直平分线( (已知已知),),c,a,bc,a,b相交于一点相交于一点P,P,且且PA=PB=PC(PA=PB=PC(三角形三条三角形三条边的垂直平分线相交于一点边的垂直平分线相交于一点, ,并且这一点到三个并且这一点到三个顶点的距离相等顶点的距离相等).). A AB BC CP Pa ab bc c1 1分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. .锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；直角三角形三边
5、的垂直平分线交点是斜边的中点；钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。2已知：ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于O求证：OA=OB=OC DCBAO证明：证明：AB=AC，AD是BC的中线， AD垂直平分BC(三线合一)又AB的垂直平分线与交于点O OB=OC=OA(三角形三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等) (1) (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗作出三角形吗? ?如果能，能作几个如果能，能作几个? ?所作出的三角所作出的三角形都全等吗形都全等吗? ?这样的三角形有无数
6、多个这些三角形不都这样的三角形有无数多个这些三角形不都全等全等(2)(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗三角形吗? ?如果能，能作几个如果能，能作几个? ?所作出的三角形都所作出的三角形都全等吗全等吗? ?这样的等腰三角形也有无数多个这样的等腰三角形也有无数多个. .根据线段根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得
7、到一个等腰三角形可以得到一个等腰三角形 如图所示，这些三角形不都全等如图所示，这些三角形不都全等(3)(3)已知等腰三角形的底及底边上的高已知等腰三角形的底及底边上的高, ,你能你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？这样的等腰三角形只有两个，并且它们这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧是全等的，分别位于已知底边的两侧所以满足这一条件的三角形是唯一确定所以满足这一条件的三角形是唯一确定的。的。 你能尝试着用尺规作出这个三角形吗你能尝试着用尺规作出这个三角形吗? ?已知：已知：线线段段a a、h h求作：求作：ABCABC，使，使AB
8、=ACAB=AC，BC=aBC=a，高，高AD=hAD=h作法：作法：1 1作作BC=aBC=a； 2 2作作线线段段BCBC的垂直平分的垂直平分线线MNMN交交BCBC于于D D点；点；3 3以以D D为圆为圆心，心，h h长为长为半径作弧半径作弧交交MNMN于于A A点；点；4 4连连接接ABAB、ACAC ABC ABC就是所求作的三角形就是所求作的三角形N NM MD DC CB Ba ah hA A例例3.3.已知一个等腰三角形的底及底边上的高已知一个等腰三角形的底及底边上的高, ,求作求作这个等腰三角形这个等腰三角形点和直线的位置关系有几种？点和直线的位置关系有几种？点在直线上点在
9、直线上点在直线外点在直线外过一点作已知直线的垂线：过一点作已知直线的垂线： 过直线上一点作已知直线的垂线过直线上一点作已知直线的垂线 过直线外一点作已知直线的垂线过直线外一点作已知直线的垂线经过已知直线上的一点作已知直线的垂线经过已知直线上的一点作已知直线的垂线已知已知:直线直线AB和和AB上一点上一点C求作求作:AB的垂线的垂线,使它经过点使它经过点C.提示：作平角提示：作平角ACB的角平分线的角平分线. 直线直线CF就是所求就是所求ABC作法作法：(1)以点以点C为圆心，任意长为半径画弧，交直线为圆心，任意长为半径画弧，交直线AB于点于点D、E；(2)以点以点D 、E为圆心为圆心,以大于以
10、大于CD/2长为半径在直线一侧长为半径在直线一侧画弧，两弧交于点画弧，两弧交于点F； (3)经过点经过点C、F作直线作直线CF直线直线CF即为所求即为所求经过已知直线经过已知直线l外一点作已知直线的垂线外一点作已知直线的垂线求作求作:l的垂线的垂线,使它经过点使它经过点C.已知已知:直线直线l和和l外一点外一点ClCABDM经过已知直线经过已知直线l外一点作已知直线的垂线外一点作已知直线的垂线作法：作法：任取一点任取一点MM，使点，使点MM和点和点C C在的两侧；在的两侧；以以C C点为圆心，以点为圆心，以CMCM长为半径长为半径画弧，交于画弧，交于A A、B B两点；两点；分别以分别以A A
11、、B B两点为圆心，以大两点为圆心，以大于于 为半径画弧，两弧相交于为半径画弧，两弧相交于D D点；点；过过C C、D D两点作直线两点作直线CD.CD.所以，直线所以，直线CDCD就是所求作的就是所求作的1.已知线段a，求作以a为底，以a/2为高的等腰三角形。温馨提示:先分析,作出示意图形,再按要求去作图.这个等腰三角形有什么特征? a2.为筹办一个大型运动会,某市政府打算修建一个大型体育中心.在选址过程中,有人建议该体育中心所在位置应当与该城市的三个城镇中心(如图中P,Q,R表示)的距离相等. PQRPQR(1)(2)(1)根据上述建议,试在图(1)中画出体育中心G的位置；(2)如果这三个
12、城镇的位置如图(2)所示,RPQ是一个钝角,那么根据上述建议,体育中心G应在什么位置？(3)你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议？当堂训练当堂训练1.已知：在已知：在ABC中，中，ON是是AB的垂直平的垂直平分线分线,OA=OC 求证：点求证：点O在在BC的垂直平分线的垂直平分线2. .如图，如图，AC=ADAC=AD，BC=BDBC=BD，则（，则（ ）A.CDA.CD垂直平分垂直平分ADAD B.AB B.AB垂直平分垂直平分CD CD C.CDC.CD平分平分ACBACB D. D.以上结论均不对以上结论均不对3 3. .如果三角形三条边的垂直平分线的如果三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）A.A.直角三角形直角三角形B.B.锐角三角形锐角三角形 C.C.钝角三角形钝角三角形D.D.等边三角形等边三角形4.4.在在ABCABC中，中，ABAB= =ACAC，ABAB的垂直平分线与的垂直平分线与边边ACAC所在的直线相交所成锐角为所在的直线相交所成锐角为5050，ABCABC的底角的底角B B的大小为的大小为_ _ 1.证明了定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形 ABCPabc
