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1、 静电场中的电介质1、在一半径为R1的长直导线外，套有氯丁橡胶绝缘护套，护套外半径为R2，相对电容率为r。设沿轴线单位长度上，导线的电荷密度为。试求介质层内的D、E和P。 分析：将长直带电导线视作无限长，自由电荷均匀分布在导线表面。在绝缘介质层的内、外表面分别出现极化电荷，这些电荷在内外表面呈均匀分布。 取同轴柱面为高斯面，由介质中的高斯定理可得电位移矢量D的分布。在介质中，可进一步求得电场强度E和电极化强度矢量P的分布。解：由介质中的高斯定理，有得 在均匀各向同性介质中 2、一扁平电介质板（r = 4）垂直放在一均匀电场里，如果电介质表面上的极化电荷面密度为=0.5C/m2 ，求：（1）电介
2、质里的电极化强度和电位移；（2）介质板外的电位移；（3）介质板内外的场强。 分析：根据均匀、各向同性电介质极化的极化规律求解。 解：（1），(2)(3)，3、如图所示，平板电容器极板面积为S，间距为d，中间有两层厚度各为d1和d2（d=d1+d2）、电容率各为1和2的电介质，试计算其电容。 分析：电容器带电时两极板都是等势体。两层均匀、各向同性介质的介面平行于极板，也是等势面。不考虑边缘效应时，极板上的自由电荷以及介质各界面的极化电荷均呈均匀分布状态。因此，两层介质内部各自都是均匀电场，即D线连续，E线不连续。解：设极板所带自由电荷为q，D和E方向都与极板垂直。运用高斯定理， 1 d12 d2
3、 图3 ，极板间的电势差为电容量为 上式也可表示为 即可等效为两个电容器的串联。4、一平行板电容器的电容为100pF，极板面积为100cm2，极板间充满相对电容率为5.4的云母电介质，当极板上电势差为50V时，求：（1）云母中的场强；（2）电容器极板上的自由电荷；（3）云母介质面上的极化面电荷。分析：介质表面的极化电荷面密度由决定。解：（1）充满电介质的平行板电容器电容量为极板间的均匀电场强度大小为 （2）电容器极板上的自由电荷 （3）设电容器上极板带正自由电荷，则介质上表面处的极化强度P与面法向反向 ，在介质下表面处则同向，所以，介质上表面的极化电荷为介质下表面的极化电荷为5、在半径为R的金
4、属球外包有一层均匀介质层，外半径为。设电介质的相对电容率为r，金属球的电荷量为Q，求：（1）介质层内外的场强分布；（2）介质层内外的电势分布；（3）金属球的电势。 分析：系统具有球对称性，所以自由电荷和极化电荷也具有球对称分布。空间的电位移矢量和电场强度矢量径向分布。由静电平衡性质，球内场强为零。根据高斯定理可知，球外的电位移矢量大小连续而电场强度大小为分段连续分布。由此，可由电势的定义求得空间的电势分布，也可利用电势的叠加原理求得。 解：以球心为原点作半径为r的球形高斯面，根据介质中的高斯定理， 可得空间电位移大小： R（1） 由，得介质内、外的场强大小为 R 图310介质层内外的电场方向均
5、沿径向。（2）介质层内的电势为 介质层外的电势为 （3）金属球的电势 6、一平行板真空电容器，极板面积为S，极板间距为d，充电至带电Q后与电源断开，然后用外力缓缓地把两极板间距拉开到2d。求：（1）电容器能量的改变；（2）此过程中外力所作的功，并讨论此过程中的功能转换关系。 分析：在将电容器两极板拉开的过程中，由于极板上的电荷保持不变，极板间的电场强度亦不变，但电场所占的空间增大，系统总的电场能量增加了。根据功能原理，所增加的能量应该等于拉开过程中外力克服静电引力所作的功。 解：（1）电场的能量密度为 而极板间距由d被拉开到2d后，电场所占有的空间的体积由V增加到2V，则电场能量增加为 （2）
6、两极板带等量异号电荷，外力F将其缓缓拉开时，应有F = - Fe，则外力所作的功为 即外力所作的功等于静电场能量的增加。7、半径为2.0cm的导体球，外套同心导体球壳，壳的内外半径分别为4.0cm和5.0cm，球壳内外空间均为空气，当内球的电荷量为3.0C时，（1）这个系统储藏了多少电能；（2）如果用导线把球与球壳联在一起，结果如何？ 分析：根据导体系统静电平衡的性质，确定电荷分布后即可确定空间的电场强度分布。对于非均匀电场，其能量可由能量密度对空间求体积分，也可由电容器的储能公式求得。解1：用 计算。（1）设内球带电q，则静电平衡时，球壳内表面带电 q，外表面带电q。系统在空间的电场分布为 则球与球壳间的能量 球壳外空间的能量（2）用导线把球与球壳联在一起，由静电平衡条件可知，球与球壳内表面所带电量为零，。球壳外表面带电量及电荷分布不变，所以 解2：利用计算。（1）整个系统可视为球与球壳内表面组成的球形电容器C1和球壳外表面与无限远处之间的电容器C2的串联。球形电容器的电容为 则 ， 串联后等效电容有 静电场的能量为（2）用导线把导体球与球壳联在一起后，带电体电容为C2，则5
