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1、问题探究一：问题探究一：组合的概念组合的概念问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不2同的选法？同的选法？A ? 63问题问题2 2：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加名去参加某天的一项活动，有多少种不同的选法？某天的一项活动，有多少种不同的选法？3 3甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙问题问题1从已知的从已知的3 个不同个不同元素中每元素中每次
2、取出次取出2个元素个元素,按照一定按照一定的的顺顺序排序排成一列成一列.问题问题2从已知的从已知的3个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素,并成一并成一组组有有顺顺序序排列排列组合组合无无顺顺序序基本概念基本概念组合定义组合定义: :一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素合）个元素合成一成一组组，叫做从，叫做从n个不同个不同元素中取出元素中取出m个元素的一个个元素的一个组组合合排列与排列与组组合的合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点？同点与不同点？概念讲解概念讲解排列定义排列定义: : 一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取
3、出m (mn) 个个元素，元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同元素个不同元素中取出中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列. .组合定义组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个）个元素元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个元素的一个个组合组合共同点共同点: : 都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素”不同点不同点: : 排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关，而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关. .问题探究二：问题探究二
4、： 排列与组合的区别与联系排列与组合的区别与联系问题问题1:ab b与与b ba是相同的排列还是相同的组合是相同的排列还是相同的组合? ?为什么为什么? ?问题问题2:两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点? ?两个相同的组合呢两个相同的组合呢? ?）元素相同；）元素相同；）元素排列）元素排列顺顺序相同序相同 .问题问题3：组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗? ?元素相同元素相同构造排列分成两步完成，先取后排；而构造构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤组合就是其中一个步骤.判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题 ? ?(1)(1)
5、设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3 3个元素的子集有多个元素的子集有多少个少个? ?组合问题组合问题(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种个车站，则这条铁路线上共需准备多少种排列问题排列问题车票车票? ? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组组合是合是选择选择的的结结果，排列果，排列组合问题组合问题是是选择选择后再排序的后再排序的结结果果.(3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, ,共有共有多少种分法多少种分法? ?组合问题组合问题(4)10(
6、4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, ,共需握手共需握手多少次多少次? ?组合问题组合问题(5)(5)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个游览个游览, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ?组合问题组合问题(6)(6)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个, ,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个风景点的游览顺序, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ?排列问题排列问题问题问题探究三：探究三： 组合数与组合数公式组合数与组合数公式问题问题1 1：从从 a , b , c 三个不同的元素中取出两个元素的三个不
7、同的元素中取出两个元素的所有组合分别是所有组合分别是: :ab , ac , bc(3个个)问题问题2 2：已知已知4 4个元素个元素a , b , c , d, ,写出每次取出两个元写出每次取出两个元素的所有组合素的所有组合. .abcdb c dc dab , ac , ad , bc , bd , cd(6个个)基本概念：基本概念：组合数组合数: :从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m?m? n?个元素的所有不个元素的所有不同组合的个数，叫做从同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出mm个元素的组合数，用符号个元素的组合数，用符号Cn表示表示.注意：注意：mCn是一个数
8、，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来如如: :从从 a , b , c 三个不同的元素中取出两个元素的所三个不同的元素中取出两个元素的所2有组合个数是有组合个数是: :C3? 3如如: :已知已知4 4个元素个元素a 、b 、c 、d ,写出每次取出两个写出每次取出两个2元素的所有组合个数是：元素的所有组合个数是：C4?6问题3：怎样求C？mn实例分析：写出从写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合。四个元素中任取三个元素的所有组合。cabbccdddabc ，abd ，acd ，bcd .组合abcabdacd排列abc bac cabacb bca cb
9、aabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabdc cdb dcbbcd你你发现发现了了bcd cbd dbc什么什么?不写出所有不写出所有组组合，怎合，怎样样才能知道才能知道组组合的种数？合的种数？求A4可分两步考虑：3第一步， C4 （? 4）个；第二步， A3 （? 6）个；根据分步计数原理， A4 ? C4? A3 .33333A 从而?CCA34334433P?3如何如何计计算算:P334组合数公式组合数公式排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系一般地，求从一般地，求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m
10、个元素的排个元素的排列数，可以分为以下列数，可以分为以下2步：步：第第1步，先求出从这步，先求出从这n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素个元素m的组合数的组合数Cnm第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中m个元素的全排列数个元素的全排列数Am根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：A ? C ?AmnmnmmmnmnmmAn?n?1?n? 2?n? m?1?因此：因此：C?Am!*这里m、 n ? N，且m ? n，这个公式叫做组合组合数公式数公式从从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数Amnmn?Cn?Ammm组合数公式组合数公式:An(n?1)
11、(n? 2)? (n? m?1)C?Am!mnmmn!0C?我们规定：Cn? 1.m!(n? m)!mn知知识应识应用：用：例例1 1：计算：计算：C473352C710120n=8(3) 已知 Cn ?An ,求 n 例例2：一位教练的足球队共有一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是的上场队员是11人。问：人。问：（1）这位教练从这）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？名学员中可以形成多少种学员上场方案？（2）如果在选出）如果在
12、选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？么教练员有多少种方式做这件事情？分析：（分析：（1）17名学员无差异，地位一样，因此这是一个从名学员无差异，地位一样，因此这是一个从17个个不同元素中选不同元素中选11个的组合问题。个的组合问题。（2）选出）选出11人后，守门员的位置是特殊的其余的无差别，因此人后，守门员的位置是特殊的其余的无差别，因此这是个分步完成的组合问题。这是个分步完成的组合问题。?1?C1117? 12376?2?C1117? C ? 136136111例例3.(3.(1)1)平面内有平面内有1010个点
13、，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点的个点为端点的线段共有多少条？线段共有多少条？(2)(2)平面内有平面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点的个点为端点的有向线段共有多少条？有向线段共有多少条？解：解：（1 1）以平面内有）以平面内有1010个点中每个点中每2 2个点为端点的线段条数，个点为端点的线段条数，就是从就是从1010个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的组合数，则有个元素的组合数，则有C2?10? 9? 45102?1（2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内终点，以平面内1010个
14、点中每个点中每2 2个点为端点的有向线段的条数，个点为端点的有向线段的条数，就是从就是从1010个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列数，则有个元素的排列数，则有A ?10 ?9?90变式：变式： 甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛：个足球队举行单循环赛：（1）列出所有各场比赛的双方；）列出所有各场比赛的双方；（2）列出所有冠亚军的可能情况）列出所有冠亚军的可能情况.210例4m?1m?1求证:C ?Cn.n? mmnn！证明: ? C ?,m （! n? m） !mnm?1m?1m?1n !?Cn?n? mn? m (m?1)!(n? m?1)!m?1n !?(m
15、?1)! (n? m)(n? m?1)!n !m? Cn.m !(n? m) !课堂小结课堂小结组组合的概念合的概念排列排列联联系系组组合是合是选择选择的的结结果，排列是果，排列是选择选择后再排序后再排序的的结结果果组组合合组组合数的概念合数的概念课堂练习：课堂练习：1 1：计算（：计算（1 1）C21526（2 2）C ? C383628（3 3）C ? C37（4 4）3C ? 2C252. 2. 若若8名学生每名学生每2人互通一次电话，共通人互通一次电话，共通3. 3. 设集合设集合次电话次电话A?a,b,c,d,e?,B ? A， 已知已知a? B， 且且B中含有中含有 3 3 个元素
16、，个元素， 则集合则集合B有有 个个. . 4. 4. 从从 2 2，3 3，5 5，7 7 四个数字中任取两个不同的数相乘，有四个数字中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不个不同的积；任取两个不同的数相除，有同的数相除，有n个不同的商，则个不同的商，则m：n= . = . 5.5.写出从写出从a,b,c,d,e中每次取中每次取 3 3个元素且包含字母个元素且包含字母a，不包含字母，不包含字母b的所有组合的所有组合 6. 6. 学校开设了学校开设了 6 6门任意选修课，要求每个学生从中选学门任意选修课，要求每个学生从中选学3 3门，共有多少种选法？门，共有多少种选法？ 7. 7. 已知平面内已知平面内A A， B B， C C， D D这这4 4个点中任何个点中任何 3 3个点都不在一条直线上，写出由其中每个点都不在一条直线上，写出由其中每3 3点为顶点的所有三角形点为顶点的所有三角形. . 8. 8. 圆上有圆上有 1010个点：个点： 过每过每 2 2个点画一条弦，一共可以画多少条弦？个点画一条弦，一共可以画多少条弦？ 过每过每 3 3点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？点画一个圆内接三角形，一共有多少个圆内接三角形？ 作业作业P27，A组组2， 9
