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1、微分方程 第七章 积分问题积分问题 微分方程问题微分方程问题 推广推广 1微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念引例引例 几何问题几何问题物理问题物理问题 第七章 2引例引例1. 一曲线通过点一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处在该曲线上任意点处的的解解: 设所求曲线方程为设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式则有如下关系式:(C为任意常数为任意常数)由由 得得 C = 1,因此所求曲线方程为因此所求曲线方程为由由 得得切线斜率为切线斜率为 2x , 求该曲线的方程求该曲线的方程 . 3引例引例2. 列车在平直路上以列车在平直路上以的速度行驶的速
2、度行驶, 制动制动时时获得加速度获得加速度求制动后列车的运动规律求制动后列车的运动规律.解解: 设列车在制动后设列车在制动后 t 秒行驶了秒行驶了s 米米 ,已知已知由前一式两次积分由前一式两次积分, 可得可得利用后两式可得利用后两式可得因此所求运动规律为因此所求运动规律为说明说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住能停住 , 以及制动后行驶了多少路程以及制动后行驶了多少路程 . 即求即求 s = s (t) .4常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程含未知函数的含未知函数的导数导数或或微分微分的方程叫做的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所
3、含未知函数导数的方程中所含未知函数导数的最高阶数最高阶数叫做叫做微分方程微分方程(本章内容本章内容)( n 阶阶显式显式微分方程微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地一般地 , n 阶常微分方程的形式是阶常微分方程的形式是的的阶阶.分类分类或或5引例引例2 使方程成为恒等式的函数使方程成为恒等式的函数. .通解通解 解中所含解中所含独立独立的的任意常数的个数任意常数的个数与方程与方程 确定通解中任意常数的条件确定通解中任意常数的条件. .n 阶方程的阶方程的初始条件初始条件( (或或初值条件初值条件) ):的的阶数阶数相同相同. .特解特解引例引例1 通解通解:特解特解:微分方程
4、的微分方程的解解 不含任意常数的解不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为其图形称为积分曲线积分曲线. .0422- -= =dtsd6例例1. 验证函数验证函数是微分方程是微分方程的解的解,的特解的特解 . 解解: 这说明这说明是方程的解是方程的解 . 是两个独立的任意常数是两个独立的任意常数,利用初始条件易得利用初始条件易得: 故所求特解为故所求特解为故它是方程的通解故它是方程的通解.并求满足初始条件并求满足初始条件 7求所满足的微分方程求所满足的微分方程 .例例2. 已知曲线上点已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与处的法线与 x 轴交点为轴交点为 Q，解解: 如图所示如图所示
5、, 令令 Y = 0 , 得得 Q 点的横坐标点的横坐标即即点点 P(x, y) 处的法线方程为处的法线方程为且线段且线段 PQ 被被 y 轴平分轴平分, P263 (习题习题12-1) 1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6 思考与练习思考与练习8例例3. 已知函数已知函数是微分方程是微分方程的解的解, 则则解解: ，故，故 将将 代入微分方程，代入微分方程，得得的表达式为（的表达式为（ ） (A) ; (B) ; (C) ; (D) .从而从而9转化转化 可分离变量微分方程可分离变量微分方程 第二节解分离变量方程解分离变量方程 可分离变量方程可分离变量方程
6、第七章 10分离变量方程的解法分离变量方程的解法:设设 y (x) 是方程是方程的的解解, 两边积分两边积分, 得得 则有恒等式则有恒等式 说明说明由由确定的隐函数确定的隐函数 y (x) 是是的解的解. 则有则有称称为方程为方程的隐式通解的隐式通解, 或通积分或通积分.= f (x)0 时时,上述过程可逆上述过程可逆,由由确定的隐函数确定的隐函数 x (y) 也也是是的解的解. 当当G(y) 与与F(x) 可微且可微且 (y) g(y)0 时时, 同样同样,当当 (x)11例例1. 求微分方程求微分方程的通解的通解.解解: 分离变量得分离变量得两边积分两边积分得得即即( C 为任意常数为任意
7、常数 )或或说明说明: 在求解过程中在求解过程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解变形变形, 因此可能增、因此可能增、减解减解.( 此式含分离变量时丢失的解此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )12例例2. 解初值问题解初值问题解解: 分离变量得分离变量得两边积分得两边积分得即即由初始条件得由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数为任意常数 )故所求故所求特解特解为为练习练习：已知曲线已知曲线过点过点，且其上任一点，且其上任一点处切线斜率为处切线斜率为 ，则，则13例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:解解: 令令 则则故有故有即即解得解得( C 为任意常数为任意常数 )
8、所求通解所求通解:14练习练习:解法解法 1 分离变量分离变量即即( C 0,积分得积分得故有故有得得 (抛物线抛物线)故反射镜面为旋转抛物面故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为于是方程化为(齐次方程齐次方程) 31顶到底的距离为顶到底的距离为 h ,说明说明:则将则将这时旋转曲面方程为这时旋转曲面方程为若已知反射镜面的底面直径为若已知反射镜面的底面直径为 d ,代入通解表达式得代入通解表达式得32( h, k 为待为待 *二、可化为齐次方程的方程二、可化为齐次方程的方程作变换作变换原方程化为原方程化为 令令 , 解出解出 h , k (齐次方程齐次方程)定常数定常数), 33求出其解后求出其
9、解后, 即得原方即得原方 程的解程的解.原方程可化为原方程可化为 令令(可分离变量方程可分离变量方程)注注: 上述方法可适用于下述更一般的方程上述方法可适用于下述更一般的方程 34例例4. 求解求解解解:令令得得再令再令 YX u , 得得令令积分得积分得代回原变量代回原变量, 得原方程的通解得原方程的通解:35得得 C = 1 , 故所求特解为故所求特解为思考思考: 若方程改为若方程改为 如何求解如何求解? 提示提示:36练习练习1.求微分方程求微分方程的通解。的通解。2.求微分方程求微分方程的特解。的特解。满足条件满足条件3.求初值问题求初值问题的特解。的特解。3.求初值问题求初值问题的特
10、解。的特解。(93,)(96,)(91,)(99, )37(2003,)设位于第一象限的曲线设位于第一象限的曲线过点过点其上任一点其上任一点 处的法线与处的法线与 轴的交点轴的交点为为 ，且线段且线段 被被 轴评轴评分。分。(1) 求曲线求曲线 的方程；的方程；(2) 求曲线求曲线 在在 上的弧长为上的弧长为 ，试用，试用表示曲线表示曲线 的弧的弧长长 。38(2001,)到坐标原点的距离，到坐标原点的距离，恒等于该点的切线在恒等于该点的切线在 轴的截距，轴的截距，且且 经过点经过点 。(1) 求曲线求曲线 的方程；的方程；(2) 求求 位于第一象限的一条切线，使该切线与位于第一象限的一条切线，使该切线与及两坐标轴所围图形的面积最小及两坐标轴所围图形的面积最小 。设设 是一条平面曲线，其上任一是一条平面曲线，其上任一点点 39练练 习习 题题40练习题答案练习题答案41
