计算力学第13课(2015)

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1、哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学航天与建筑工程学航天与建筑工程学航天与建筑工程学航天与建筑工程学院院院院王王王王滨生滨生滨生滨生E-mail:E-mail:wang_wang_，计算力学计算力学Computational Mechanics(13)(13) 2 本次课的主要问题：本次课的主要问题：本次课的主要问题：本次课的主要问题：差分原理差分原理应力函数的差分解应力函数的差分解基本内容基本内容基本内容基本内容 3 差分原理差分原理差分原理差分原理 设有设有设有设有x x的解析函数的解析函数的解析函数的解析函数y y= =f f( (x x) )，从微分学知道函数，

2、从微分学知道函数，从微分学知道函数，从微分学知道函数y y对对对对x x的导数为的导数为的导数为的导数为式中式中式中式中 dydy/ /dxdx是函数对自变量的导数，又称微商是函数对自变量的导数，又称微商是函数对自变量的导数，又称微商是函数对自变量的导数，又称微商 y y、 x x分别称为函数及自变量的差分分别称为函数及自变量的差分分别称为函数及自变量的差分分别称为函数及自变量的差分 y y/ / x x为函数对自变量的差商。为函数对自变量的差商。为函数对自变量的差商。为函数对自变量的差商。差分原理差分原理 4 常微分方程数常微分方程数常微分方程数常微分方程数值值解解解解 工程上很多数学表述

3、都可以工程上很多数学表述都可以工程上很多数学表述都可以工程上很多数学表述都可以归结为归结为常微分的定解常微分的定解常微分的定解常微分的定解问题问题，很，很，很，很多偏微分方程，也可以化多偏微分方程，也可以化多偏微分方程，也可以化多偏微分方程，也可以化为为常微分方程常微分方程常微分方程常微分方程问题问题来近似求解。来近似求解。来近似求解。来近似求解。 对对于一个常微分方程于一个常微分方程于一个常微分方程于一个常微分方程通常会有无通常会有无通常会有无通常会有无穷穷个解，如个解，如个解，如个解，如因此，要加上一个定解条件，如因此，要加上一个定解条件，如因此，要加上一个定解条件，如因此，要加上一个定解

4、条件，如差分原理差分原理 5 常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函常微分方程的解是一个函数，但是，计算机没有办法对函数进行运算，因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似数进行运算，因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似数进行运算，因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似数进行运算，因此，常微分方程的数值解并不是求函数的近似值，而是求解函数在某些节点上的近似值。值，而是求解函数在某些节点上的近似值。值，而是求解函数在某些节点上的近似值。值，而是求解函数在某些节点上的近似值。

5、 这种方法，称为这种方法，称为这种方法，称为这种方法，称为数值离散方法数值离散方法数值离散方法数值离散方法。求的是未知函数在一系列。求的是未知函数在一系列。求的是未知函数在一系列。求的是未知函数在一系列离散点上的值的近似。离散点上的值的近似。离散点上的值的近似。离散点上的值的近似。 得到高精度方法的一个得到高精度方法的一个得到高精度方法的一个得到高精度方法的一个直接想法是利用直接想法是利用直接想法是利用直接想法是利用TaylorTaylor展开展开展开展开。 假设式假设式假设式假设式 中的中的中的中的 f f( (x x, ,y y) ) 充分光滑，将充分光滑，将充分光滑，将充分光滑，将y y

6、( (x xi i+1+1) )在在在在x xi i点作点作点作点作TaylorTaylor展开，若取右端不展开，若取右端不展开，若取右端不展开，若取右端不同的有限项作为同的有限项作为同的有限项作为同的有限项作为y y( (x xi i+1+1) )的近似值，就可得到计算的近似值，就可得到计算的近似值，就可得到计算的近似值，就可得到计算y y( (x xi i+1+1) )的各种不的各种不的各种不的各种不同截断误差的数值公式。同截断误差的数值公式。同截断误差的数值公式。同截断误差的数值公式。差分原理差分原理 6 例如：取前两例如：取前两例如：取前两例如：取前两项项可得到可得到可得到可得到截断

7、截断截断截断误误差差差差为为O O( ( x x) )2 2 的公式的公式的公式的公式若取前三若取前三若取前三若取前三项项，可得到，可得到，可得到，可得到截断截断截断截断误误差差差差为为O O( ( x x) )3 3 的公式的公式的公式的公式类类似地，若取前似地，若取前似地，若取前似地，若取前p p+1+1项项作作作作为为y y( (x xi i+1+1) )的近似的近似的近似的近似值值，便得到，便得到，便得到，便得到差分原理差分原理 7 欧拉欧拉欧拉欧拉(Euler)(Euler)法法法法 寻寻求通求通求通求通过过某种方法去某种方法去某种方法去某种方法去获获得解得解得解得解y y( (x

8、 x) )在点在点在点在点x xi i上的近似上的近似上的近似上的近似值值y yi i，即，即，即，即为实现这为实现这一目一目一目一目标标，EulerEuler方法首先将微分算子离散化方法首先将微分算子离散化方法首先将微分算子离散化方法首先将微分算子离散化即即即即推广推广推广推广这这就是就是就是就是显显式的式的式的式的EulerEuler公式，又称差分格式。公式，又称差分格式。公式，又称差分格式。公式，又称差分格式。 显显然与然与然与然与y y( (x xi i+1+1) )的的的的TaylorTaylor展开式的前两展开式的前两展开式的前两展开式的前两项项完全相同，即局部完全相同，即局部完全

9、相同，即局部完全相同，即局部截断截断截断截断误误差差差差为为O O( ( x x) )2 2 。 Euler Euler公式可改写成公式可改写成公式可改写成公式可改写成差分原理差分原理 8 改改改改进进的欧拉法的欧拉法的欧拉法的欧拉法 对对方程方程方程方程y y = f= f( (x,yx,y) )，两，两，两，两边边由由由由x xi i到到到到x xi+i+1 1积积分，并利用分，并利用分，并利用分，并利用梯形公式梯形公式梯形公式梯形公式，有：有：有：有：故有公式：故有公式：故有公式：故有公式：此即改此即改此即改此即改进进的欧拉法。的欧拉法。的欧拉法。的欧拉法。差分原理差分原理 9 同理

10、，改同理，改同理，改同理，改进进EulerEuler公式可改写成公式可改写成公式可改写成公式可改写成局部截断局部截断局部截断局部截断误误差差差差为为O O( ( x x) )3 3 。 上述两上述两上述两上述两组组公式在形式上共同点：都是用公式在形式上共同点：都是用公式在形式上共同点：都是用公式在形式上共同点：都是用f f( (x,yx,y) )在某些点上在某些点上在某些点上在某些点上值值的的的的线线性性性性组组合得出合得出合得出合得出y y( (x xi i+1+1) )的近似的近似的近似的近似值值y yi i+1+1，且增加，且增加，且增加，且增加计计算的次数，可提算的次数，可提算的次数，

11、可提算的次数，可提高截断高截断高截断高截断误误差的差的差的差的阶阶。 欧拉法：每步欧拉法：每步欧拉法：每步欧拉法：每步计计算一次算一次算一次算一次f f( (x x, ,y y) )的的的的值值，为为一一一一阶阶方法。方法。方法。方法。 改改改改进进欧拉法：需欧拉法：需欧拉法：需欧拉法：需计计算两次算两次算两次算两次f f( (x x, ,y y) )的的的的值值，为为二二二二阶阶方法。方法。方法。方法。差分原理差分原理 10 龙龙格格格格- -库库塔塔塔塔(Runge-Kutta)(Runge-Kutta)法法法法 于是可考于是可考于是可考于是可考虑虑用函数用函数用函数用函数f f( (x

12、 x, ,y y) )在若干点上的函数在若干点上的函数在若干点上的函数在若干点上的函数值值的的的的线线性性性性组组合来合来合来合来构造近似公式构造近似公式构造近似公式构造近似公式，构造，构造，构造，构造时时要求近似公式在要求近似公式在要求近似公式在要求近似公式在( (x xi i, ,y yi i) )处处的的的的TaylorTaylor展开式展开式展开式展开式与解与解与解与解y y( (x x) )在在在在x xi i处处的的的的TaylorTaylor展开式的前面几展开式的前面几展开式的前面几展开式的前面几项项重合，从而使近似公重合，从而使近似公重合，从而使近似公重合，从而使近似公式达到所

13、需要的式达到所需要的式达到所需要的式达到所需要的阶阶数。既避免求高数。既避免求高数。既避免求高数。既避免求高阶导阶导数，又提高了数，又提高了数，又提高了数，又提高了计计算方法算方法算方法算方法精度的精度的精度的精度的阶阶数。数。数。数。 或者或者或者或者说说，在，在，在，在 x xi i, ,x xi+i+1 1 这这一步内多一步内多一步内多一步内多计计算几个点的斜率算几个点的斜率算几个点的斜率算几个点的斜率值值，然后，然后，然后，然后将其将其将其将其进进行加行加行加行加权权平均作平均作平均作平均作为为平均斜率，平均斜率，平均斜率，平均斜率，则则可构造出更高精度的可构造出更高精度的可构造出更高

14、精度的可构造出更高精度的计计算算算算格式。格式。格式。格式。 这这就是就是就是就是龙龙格格格格- -库库塔塔塔塔(Runge-Kutta)(Runge-Kutta)法的基本思想。法的基本思想。法的基本思想。法的基本思想。差分原理差分原理 11 一般一般一般一般龙龙格格格格- -库库塔方法的形式塔方法的形式塔方法的形式塔方法的形式为为称称称称为为p p阶龙阶龙格格格格- -库库塔方法。塔方法。塔方法。塔方法。其中其中其中其中a ai i，b bij ij，c ci i为为待定参数，要求上式待定参数，要求上式待定参数，要求上式待定参数，要求上式y yi+i+1 1在点在点在点在点( (x xi

15、i，y yi i) )处处作作作作TaylorTaylor展开，通展开，通展开，通展开，通过过相同相同相同相同项项的系数确定参数。的系数确定参数。的系数确定参数。的系数确定参数。 一一一一阶龙阶龙格格格格- -库库塔公式，也就是欧拉法塔公式，也就是欧拉法塔公式，也就是欧拉法塔公式，也就是欧拉法 二二二二阶龙阶龙格格格格- -库库塔公式，也就是改塔公式，也就是改塔公式，也就是改塔公式，也就是改进进的欧拉法的欧拉法的欧拉法的欧拉法差分原理差分原理 12 差分方法是一类重要的数值解法。差分方法是一类重要的数值解法。差分方法是一类重要的数值解法。差分方法是一类重要的数值解法。 寻求一系列离散节点寻求

16、一系列离散节点寻求一系列离散节点寻求一系列离散节点 x1 x2 xn上的近似解上的近似解上的近似解上的近似解y1，y2，yn，。 h=xn+1-xn称为步长称为步长称为步长称为步长。 初值问题差分方法的特点：初值问题差分方法的特点：初值问题差分方法的特点：初值问题差分方法的特点： 步进式步进式步进式步进式求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。推进。推进。推进。 描述这种算法，只要给出从已知信息描述这种算法，只要给出从已知信息描述这种算法，只要给出从已知信息描述这种算法

17、，只要给出从已知信息yn，yn-1， yn-2 ，计计计计算算算算yn+1的递推公式的递推公式的递推公式的递推公式差分格式差分格式差分格式差分格式。 求解的核心求解的核心求解的核心求解的核心消除导数，离散化方法消除导数，离散化方法消除导数，离散化方法消除导数，离散化方法。差分原理差分原理 13 有限差分法有限差分法有限差分法有限差分法(finite difference method)(finite difference method)微分方程和积分方程数值解的方法。微分方程和积分方程数值解的方法。微分方程和积分方程数值解的方法。微分方程和积分方程数值解的方法。 基本思想把弹性力学的基本方程

18、和边界条件基本思想把弹性力学的基本方程和边界条件基本思想把弹性力学的基本方程和边界条件基本思想把弹性力学的基本方程和边界条件( (一般均为微分一般均为微分一般均为微分一般均为微分方程方程方程方程) )近似地改用差分方程近似地改用差分方程近似地改用差分方程近似地改用差分方程( (代数方程代数方程代数方程代数方程) )来表示，把求解微分方程来表示，把求解微分方程来表示，把求解微分方程来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题，属于的问题改换成为求解代数方程的问题，属于的问题改换成为求解代数方程的问题，属于的问题改换成为求解代数方程的问题，属于数学数学数学数学上的近似。上的近似。上的近似

19、。上的近似。( (有有有有限单元法是以有限个单元的集合体来代替连续体，属于物理上限单元法是以有限个单元的集合体来代替连续体，属于物理上限单元法是以有限个单元的集合体来代替连续体，属于物理上限单元法是以有限个单元的集合体来代替连续体，属于物理上的近似的近似的近似的近似) )。 有限差分法的主要内容包括：有限差分法的主要内容包括：有限差分法的主要内容包括：有限差分法的主要内容包括： 根据问题的特点将定解区域作网格剖分根据问题的特点将定解区域作网格剖分根据问题的特点将定解区域作网格剖分根据问题的特点将定解区域作网格剖分 把原微分方程离散化为差分方程组把原微分方程离散化为差分方程组把原微分方程离散化为

20、差分方程组把原微分方程离散化为差分方程组 解差分方程组解差分方程组解差分方程组解差分方程组 此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性在性和差分

21、格式的相容性、收敛性和稳定性有限差分法简介有限差分法简介 14 构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式： 一阶向前差分一阶向前差分一阶向前差分一阶向前差分 一阶向后差分一阶向后差分一阶向后差分一阶向后差分 一阶中心差分和二阶中心差分一阶中心差分和二阶中心差分一阶

22、中心差分和二阶中心差分一阶中心差分和二阶中心差分 其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。合成不同的差分计算格式。合成不同的差分计算格式。合成不同的差分计算格式。 向前差分向前差分向前差分向前差分 向

23、后差分向后差分向后差分向后差分 中心差分中心差分中心差分中心差分上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。上面谈的是一阶导数，对应的称为一阶差分。有限差分法简介有限差分法简介 15 对一阶差分再作一阶差分，得到二阶差分，记为对一阶差分再作一阶差分，得到二阶差分，记为对一阶差分再作一阶差分，得到二阶差分，记为对一阶差分再作一阶差分，得到二阶差分，记为 2 2y y。 以向前差分为例，有以向前差分为例，有以向前差分为例，有以向前差分为例，有 依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差依此类推，任何阶差分都可由其

24、低一阶的差分再作一阶差依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差依此类推，任何阶差分都可由其低一阶的差分再作一阶差分得到。分得到。分得到。分得到。 例如例如例如例如n n阶前差分为阶前差分为阶前差分为阶前差分为差分原理差分原理 16 以一以一以一以一维的情况为例维的情况为例维的情况为例维的情况为例 向前差分向前差分向前差分向前差分 一阶差分一阶差分一阶差分一阶差分 二阶差分二阶差分二阶差分二阶差分 向后差分向后差分向后差分向后差分 一阶差分一阶差分一阶差分一阶差分 二阶差分二阶差分二阶差分二阶差分 中间差分中间差分中间差分中间差分 一阶差分一阶差分一阶差分一阶差分 二阶差分二阶差分二

25、阶差分二阶差分差分原理差分原理y yi i-2-2y yi i-1-1y yi iy yi i+1+1y yi i+2+2y yi i-2-2y yi i-1-1y yi iy yi i+1+1y yi i+2+2y yi i-2-2y yi i-1-1y yi iy yi i+1+1y yi i+2+2y yi i-2-2y yi i-1-1y yi iy yi i+1+1y yi i+2+2y yi i-2-2y yi i-1-1y yi iy yi i+1+1y yi i+2+2y yi i-2-2y yi i-1-1y yi iy yi i+1+1y yi i+2+2y yi i-1/

26、2-1/2y yi i+1/2+1/2 17 函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差函数的差分与自变量的差分之比，即为函数对自变量的差商。商。商。商。 一阶向前差商为一阶向前差商为一阶向前差商为一阶向前差商为 一阶向后差商为一阶向后差商为一阶向后差商为一阶向后差商为 一阶中心差商为一阶中心差商为一阶中心差商为一阶中心差商为 或或或或差分原理差分原理y yi i-2-2y yi i-1-1y yi iy yi i+1+1y yi i+2+2y yi i-1/2-1/2y yi i+1

27、/2+1/2 18 二阶差商多取中心式，即二阶差商多取中心式，即二阶差商多取中心式，即二阶差商多取中心式，即 对于多元函数对于多元函数对于多元函数对于多元函数f f( (x x, ,y y,),)的差分与差商也可以类推。如一阶向的差分与差商也可以类推。如一阶向的差分与差商也可以类推。如一阶向的差分与差商也可以类推。如一阶向前差商为前差商为前差商为前差商为差分原理差分原理 19 截断误差截断误差截断误差截断误差 差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为截差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为截差商与导数之间的误差表明差商逼近导数的程度，称为截差商与导数之间的误差表明差商逼近

28、导数的程度，称为截断误差。由函数的断误差。由函数的断误差。由函数的断误差。由函数的TaylorTaylor展开，可以得到截断误差相对于自变展开，可以得到截断误差相对于自变展开，可以得到截断误差相对于自变展开，可以得到截断误差相对于自变量差分量差分量差分量差分( (增量增量增量增量) )的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的量级，称为用差商代替导数的精度，简称为差商的精度。的精度。的精度。的精度。一阶向后差商也具有一阶精度。一阶向后差商也具有一阶精度。一阶向后差商也具有一阶精度。一阶向后差商也具有一阶

29、精度。差分原理差分原理 20 将将将将f f( (x x+ + x x) )和和和和f f( (x x- - x x) )的的的的TaylorTaylor展开式相减可得展开式相减可得展开式相减可得展开式相减可得可见一阶中心差商具有二阶精度。可见一阶中心差商具有二阶精度。可见一阶中心差商具有二阶精度。可见一阶中心差商具有二阶精度。可见二阶中心差商的精度也为二阶精度。可见二阶中心差商的精度也为二阶精度。可见二阶中心差商的精度也为二阶精度。可见二阶中心差商的精度也为二阶精度。差分原理差分原理 21 非均匀步长非均匀步长非均匀步长非均匀步长 在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，相应的差在有些

30、情况下要求自变量的增量本身是变化的，相应的差在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，相应的差在有些情况下要求自变量的增量本身是变化的，相应的差分和差商就是不等距的。分和差商就是不等距的。分和差商就是不等距的。分和差商就是不等距的。一阶向后差商一阶向后差商一阶向后差商一阶向后差商一阶中心差商一阶中心差商一阶中心差商一阶中心差商差分原理差分原理Ox 22 弹性体上，用相隔等间距弹性体上，用相隔等间距弹性体上，用相隔等间距弹性体上，用相隔等间距h h而平行于坐标轴的两组平行线织而平行于坐标轴的两组平行线织而平行于坐标轴的两组平行线织而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格，成正方形网格，成正方形

31、网格，成正方形网格， x x= = y y= =h h，如图。，如图。，如图。，如图。 设设设设f f= =f f( (x x，y y) )为弹性体内的某一个连续函数。该函数在平行为弹性体内的某一个连续函数。该函数在平行为弹性体内的某一个连续函数。该函数在平行为弹性体内的某一个连续函数。该函数在平行于于于于x x轴的一根网线上，如在轴的一根网线上，如在轴的一根网线上，如在轴的一根网线上，如在3-0-13-0-1上，它只随上，它只随上，它只随上，它只随x x坐标的改变而变化。坐标的改变而变化。坐标的改变而变化。坐标的改变而变化。在邻近节点在邻近节点在邻近节点在邻近节点0 0处，函数处，函数处，函

32、数处，函数f f可展为泰勒级数如下：可展为泰勒级数如下：可展为泰勒级数如下：可展为泰勒级数如下：应力函数的差分解应力函数的差分解 23 只考虑离开节点只考虑离开节点只考虑离开节点只考虑离开节点0 0充分近的那些节点，即充分近的那些节点，即充分近的那些节点，即充分近的那些节点，即( (x x- -x x0 0) )充分小。于充分小。于充分小。于充分小。于是可不计是可不计是可不计是可不计( (x x- -x x0 0) )的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：的三次及更高次幂的各项，则上式简写为：在节点在节点在节点在节点

33、3 3，x x= =x x0 0- -h h， 在节点在节点在节点在节点1 1， x x= =x x0 0+ +h h，代入上式得：，代入上式得：，代入上式得：，代入上式得：联立上两式，解得差分公式联立上两式，解得差分公式联立上两式，解得差分公式联立上两式，解得差分公式应力函数的差分解应力函数的差分解 24 同理，在网线同理，在网线同理，在网线同理，在网线4-0-24-0-2上可得到差分公式上可得到差分公式上可得到差分公式上可得到差分公式 差差差差分分分分公公公公式式式式中中中中分分分分母母母母为为为为2 2h h的的的的是是是是以以以以相相相相隔隔隔隔2 2h h的的的的两两两两节节节节点

34、点点点处处处处的的的的函函函函数数数数值值值值来来来来表示中间节点处的一阶导数值，可称为表示中间节点处的一阶导数值，可称为表示中间节点处的一阶导数值，可称为表示中间节点处的一阶导数值，可称为中点导数公式中点导数公式中点导数公式中点导数公式。 以以以以相相相相邻邻邻邻三三三三节节节节点点点点处处处处的的的的函函函函数数数数值值值值来来来来表表表表示示示示一一一一个个个个端端端端点点点点处处处处的的的的一一一一阶阶阶阶导导导导数数数数值值值值，可称为可称为可称为可称为端点导数公式端点导数公式端点导数公式端点导数公式。 中中中中点点点点导导导导数数数数公公公公式式式式与与与与端端端端点点点点导导导导

35、数数数数公公公公式式式式相相相相比比比比，精精精精度度度度较较较较高高高高。因因因因为为为为前前前前者者者者反反反反映映映映了了了了节节节节点点点点两两两两边边边边的的的的函函函函数数数数变变变变化化化化，而而而而后后后后者者者者却却却却只只只只反反反反映映映映了了了了节节节节点点点点一一一一边边边边的的的的函函函函数数数数变变变变化化化化。因因因因此此此此，尽尽尽尽可可可可能能能能应应应应用用用用前前前前者者者者，而而而而只只只只有有有有在在在在无无无无法法法法应应应应用用用用前前前前者者者者时时时时才才才才不得不应用后者。不得不应用后者。不得不应用后者。不得不应用后者。应力函数的差分解应力

36、函数的差分解 25 以上以上以上以上4 4式是基本差分公式，从而可导出其它的差分公式如下：式是基本差分公式，从而可导出其它的差分公式如下：式是基本差分公式，从而可导出其它的差分公式如下：式是基本差分公式，从而可导出其它的差分公式如下：应力函数的差分解应力函数的差分解 26 当不计体力时，将弹性力学平面问题归结为在给定边界条当不计体力时，将弹性力学平面问题归结为在给定边界条当不计体力时，将弹性力学平面问题归结为在给定边界条当不计体力时，将弹性力学平面问题归结为在给定边界条件下求解双调和方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将件下求解双调和方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将件下求解双调和

37、方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将件下求解双调和方程的问题。用差分法解平面问题，就应先将双调和方程变换为差分方程，而后求解。双调和方程变换为差分方程，而后求解。双调和方程变换为差分方程，而后求解。双调和方程变换为差分方程，而后求解。 一旦求得弹性体全部节点的一旦求得弹性体全部节点的一旦求得弹性体全部节点的一旦求得弹性体全部节点的 值后，就可按应力分量差分公值后，就可按应力分量差分公值后，就可按应力分量差分公值后，就可按应力分量差分公式式式式( (对节点对节点对节点对节点0)0)算得弹性体各节点的应力。算得弹性体各节点的应力。算得弹性体各节点的应力。算得弹性体各节点的应力。应力函数的差分解

38、应力函数的差分解 27 可见，用差分法解平面问题，共有两大任务：可见，用差分法解平面问题，共有两大任务：可见，用差分法解平面问题，共有两大任务：可见，用差分法解平面问题，共有两大任务： 建立差分方程建立差分方程建立差分方程建立差分方程 将将将将(D.1)(D.3)(D.1)(D.3)代入双调和方程代入双调和方程代入双调和方程代入双调和方程 对于弹性体对于弹性体对于弹性体对于弹性体边界以内边界以内边界以内边界以内的每一节点，都可以建立这样一个差的每一节点，都可以建立这样一个差的每一节点，都可以建立这样一个差的每一节点，都可以建立这样一个差分方程。分方程。分方程。分方程。 应力函数的差分解应力函

39、数的差分解 28 联立求解这些线性代数方程，就能求得各内节点处的值联立求解这些线性代数方程，就能求得各内节点处的值联立求解这些线性代数方程，就能求得各内节点处的值联立求解这些线性代数方程，就能求得各内节点处的值 一般建立和求解差分方程，在数学上不会遇到很大困难。一般建立和求解差分方程，在数学上不会遇到很大困难。一般建立和求解差分方程，在数学上不会遇到很大困难。一般建立和求解差分方程，在数学上不会遇到很大困难。但是，当对于边界内一行的但是，当对于边界内一行的但是，当对于边界内一行的但是，当对于边界内一行的( (距边界为距边界为距边界为距边界为h h的的的的) )节点，建立的差分方节点，建立的差

40、分方节点，建立的差分方节点，建立的差分方程还将涉及边界上各节点处的程还将涉及边界上各节点处的程还将涉及边界上各节点处的程还将涉及边界上各节点处的 值，并包含边界外一行的虚节点值，并包含边界外一行的虚节点值，并包含边界外一行的虚节点值，并包含边界外一行的虚节点处的处的处的处的 值。值。值。值。 为了求得为了求得为了求得为了求得边界上边界上边界上边界上各节点处的各节点处的各节点处的各节点处的 值，须要应用应力边界条件，值，须要应用应力边界条件，值，须要应用应力边界条件，值，须要应用应力边界条件，即：即：即：即： 应力函数的差分解应力函数的差分解 29 由右图可见由右图可见由右图可见由右图可见于是

41、，上式可改写为于是，上式可改写为于是，上式可改写为于是，上式可改写为由此得由此得由此得由此得应力函数的差分解应力函数的差分解 30 关于边界上任一点处的关于边界上任一点处的关于边界上任一点处的关于边界上任一点处的 / / y y， / / x x值，可将上式从值，可将上式从值，可将上式从值，可将上式从A A点到点到点到点到B B点点点点对对对对s s积分得到：积分得到：积分得到：积分得到：应力函数的差分解应力函数的差分解 31 由高等数学可知由高等数学可知由高等数学可知由高等数学可知将此式也从将此式也从将此式也从将此式也从A A点到点到点到点到B B点沿点沿点沿点沿s s进行积分，就得到边

42、界上任一点进行积分，就得到边界上任一点进行积分，就得到边界上任一点进行积分，就得到边界上任一点B B处的处的处的处的 值。为此利用分部积分法，得：值。为此利用分部积分法，得：值。为此利用分部积分法，得：值。为此利用分部积分法，得：整理得：整理得：整理得：整理得：可见，已知可见，已知可见，已知可见，已知 即可根据面力分量及导数求得即可根据面力分量及导数求得即可根据面力分量及导数求得即可根据面力分量及导数求得应力函数的差分解应力函数的差分解 32 由分析可知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应由分析可知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应由分析可知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应

43、由分析可知，把应力函数加上一个线性函数，并不影响应力。因此，可设想把应力函数加上力。因此，可设想把应力函数加上力。因此，可设想把应力函数加上力。因此，可设想把应力函数加上a a+ +bxbx+ +cycy，然后调整，然后调整，然后调整，然后调整a a，b b，c c三个数值，使得三个数值，使得三个数值，使得三个数值，使得这样这样这样这样应力函数的差分解应力函数的差分解 33 从图看出，前面从图看出，前面从图看出，前面从图看出，前面3 3式右边的积分式分别表示式右边的积分式分别表示式右边的积分式分别表示式右边的积分式分别表示A A与与与与B B之间的之间的之间的之间的x x方方方方向的面力之和

44、、向的面力之和、向的面力之和、向的面力之和、A A与与与与B B之间的之间的之间的之间的y y方向的面力之和、方向的面力之和、方向的面力之和、方向的面力之和、A A与与与与B B之间的面之间的面之间的面之间的面力对于力对于力对于力对于B B点的矩。点的矩。点的矩。点的矩。 至此，解决了计算至此，解决了计算至此，解决了计算至此，解决了计算边界上边界上边界上边界上各节点各节点各节点各节点的值的问题。的值的问题。的值的问题。的值的问题。应力函数的差分解应力函数的差分解 34 边界外边界外边界外边界外一行虚节点处一行虚节点处一行虚节点处一行虚节点处 的值，则可用的值，则可用的值，则可用的值，则可用边

45、界上边界上边界上边界上节点处的节点处的节点处的节点处的 / / y y或或或或 / / x x值和值和值和值和边界内边界内边界内边界内一行相应节点处一行相应节点处一行相应节点处一行相应节点处 的值来表示。例如，对于的值来表示。例如，对于的值来表示。例如，对于的值来表示。例如，对于图中的虚节点图中的虚节点图中的虚节点图中的虚节点1414，因为有，因为有，因为有，因为有所以有所以有所以有所以有当求出全部节点上的当求出全部节点上的当求出全部节点上的当求出全部节点上的 值以后，我们就值以后，我们就值以后，我们就值以后，我们就可按应力分量的差分公式计算应力分量。可按应力分量的差分公式计算应力分量。可按应

46、力分量的差分公式计算应力分量。可按应力分量的差分公式计算应力分量。应力函数的差分解应力函数的差分解 35 用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行：用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行：用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行：用差分法解弹性平面问题时，可按下列步骤进行： 1. 1.在在在在边界上边界上边界上边界上任意选定一个节点作为基点任意选定一个节点作为基点任意选定一个节点作为基点任意选定一个节点作为基点A A，取，取，取，取 然后由面力的矩及面力之和算出然后由面力的矩及面力之和算出然后由面力的矩及面力之和算出然后由面力的矩及面力之和算出边界上边界上边界上边界上所有各节点处所有

47、各节点处所有各节点处所有各节点处 的值，的值，的值，的值，以及所必需的一些以及所必需的一些以及所必需的一些以及所必需的一些 / / y y及及及及 / / x x值，即垂直于边界方向的导数值。值，即垂直于边界方向的导数值。值，即垂直于边界方向的导数值。值，即垂直于边界方向的导数值。 2. 2.应用公式应用公式应用公式应用公式(D.6)(D.6)，将，将，将，将边界外边界外边界外边界外一行虚节点处的一行虚节点处的一行虚节点处的一行虚节点处的 值用值用值用值用边界内边界内边界内边界内的的的的相应节点处的相应节点处的相应节点处的相应节点处的 值来表示。值来表示。值来表示。值来表示。 3. 3.对对对

48、对边界内边界内边界内边界内的各节点建立差分方程的各节点建立差分方程的各节点建立差分方程的各节点建立差分方程(D.5)(D.5)，联立求解这些节，联立求解这些节，联立求解这些节，联立求解这些节点处的值。点处的值。点处的值。点处的值。应力函数的差分解应力函数的差分解 36 4. 4.按照公式按照公式按照公式按照公式(D.6)(D.6)，算出，算出，算出，算出边界外边界外边界外边界外一行的各虚节点处的一行的各虚节点处的一行的各虚节点处的一行的各虚节点处的 值。值。值。值。 5. 5.按照公式按照公式按照公式按照公式(D.4)(D.4)计算应力的分量。计算应力的分量。计算应力的分量。计算应力的分量。

49、应力函数的差分解应力函数的差分解 37 说明说明说明说明 以上是针对单连体导出的结果。以上是针对单连体导出的结果。以上是针对单连体导出的结果。以上是针对单连体导出的结果。 如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界如果一部分边界是曲线的，或是不与坐标轴正交，则边界附近将出现不规则的内节点。对于这样的节点，差分方程附近将出现不规则的内节点。对于这样的节点，差分方程附近将出现不规则的内节点。对于这样的节点，差分方程附近将出现不规则的内节点。对于这样的节点，差分方程(D.4)(D.4)必须加

50、以修正。必须加以修正。必须加以修正。必须加以修正。应力函数的差分解应力函数的差分解 38 差分方程的相容性、收敛性、稳定性差分方程的相容性、收敛性、稳定性差分方程的相容性、收敛性、稳定性差分方程的相容性、收敛性、稳定性 相容性相容性相容性相容性 对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程。一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程。一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程。一个基本要求是它们能够任

51、意逼近微分方程。 导数与其差分近似式之间存在截断误差。因此，差分方程导数与其差分近似式之间存在截断误差。因此，差分方程导数与其差分近似式之间存在截断误差。因此，差分方程导数与其差分近似式之间存在截断误差。因此，差分方程的解并不是严格的，而是近似地满足原来的偏微分方程。但是，的解并不是严格的，而是近似地满足原来的偏微分方程。但是，的解并不是严格的，而是近似地满足原来的偏微分方程。但是，的解并不是严格的，而是近似地满足原来的偏微分方程。但是，当时间步长当时间步长当时间步长当时间步长 t t和空间步长和空间步长和空间步长和空间步长 x x都趋近于零时，差分方程的截断误都趋近于零时，差分方程的截断误都

52、趋近于零时，差分方程的截断误都趋近于零时，差分方程的截断误差也趋近于零，差分方程的极限形式就是原偏微分方程。这时，差也趋近于零，差分方程的极限形式就是原偏微分方程。这时，差也趋近于零，差分方程的极限形式就是原偏微分方程。这时，差也趋近于零，差分方程的极限形式就是原偏微分方程。这时，认为差分方程与偏微分方程是相容的，这种相容性表示差分方认为差分方程与偏微分方程是相容的，这种相容性表示差分方认为差分方程与偏微分方程是相容的，这种相容性表示差分方认为差分方程与偏微分方程是相容的，这种相容性表示差分方程程程程“ “收敛收敛收敛收敛” ”于原偏微分方程。于原偏微分方程。于原偏微分方程。于原偏微分方程。是

53、收敛性的必要条件。是收敛性的必要条件。是收敛性的必要条件。是收敛性的必要条件。有限差分法有限差分法 39 收敛性收敛性收敛性收敛性 一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解。任意逼近微分方程的解。任意逼近微分方程的解。任意逼近微分方程的解。 差分方程的解，即当步长差分方程的解，即当步长差分方程的解，即当步长差分方程的解，即当步长 t t00 、 x x0 0时收敛于原偏微分方时收敛于原偏微分方时收敛于原偏微分方时收

54、敛于原偏微分方程的解。程的解。程的解。程的解。有限差分法有限差分法 40 稳定性稳定性稳定性稳定性 差分格式的计算过程是逐步推进的，在计算第差分格式的计算过程是逐步推进的，在计算第差分格式的计算过程是逐步推进的，在计算第差分格式的计算过程是逐步推进的，在计算第n n+1+1步的近似步的近似步的近似步的近似值时要用到第值时要用到第值时要用到第值时要用到第n n步的近似值步的近似值步的近似值步的近似值 ，直到与初始值有关。，直到与初始值有关。，直到与初始值有关。，直到与初始值有关。 前面各步若有舍入误差，必然影响到后面各步的值，如果前面各步若有舍入误差，必然影响到后面各步的值，如果前面各步若有舍

55、入误差，必然影响到后面各步的值，如果前面各步若有舍入误差，必然影响到后面各步的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的。盖，这种格式是不稳定的。盖，这种格式是不稳定的。盖，这种格式是不稳定的。 相反如果误差的传播是可以控制的，或者说若这种误差积相反如果误差的传播是可以控制的，或者说若这种误差积相反如果误差的传播是可以控制的，或者说若这种误差积相反如果误差的传播是可以控制的，或者说若这种误差积

56、累保持有界，就认为格式是稳定的，只有在这种情形，差分格累保持有界，就认为格式是稳定的，只有在这种情形，差分格累保持有界，就认为格式是稳定的，只有在这种情形，差分格累保持有界，就认为格式是稳定的，只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。有限差分法有限差分法 41 优点优点优点优点 差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法；差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法；差分法是解微分方

57、程边值问题和弹性力学问题的有效方法；差分法是解微分方程边值问题和弹性力学问题的有效方法； 差分法简便易行；差分法简便易行；差分法简便易行；差分法简便易行； 对于某些结构，为了更精确地分析局部的应力状态，可以对于某些结构，为了更精确地分析局部的应力状态，可以对于某些结构，为了更精确地分析局部的应力状态，可以对于某些结构，为了更精确地分析局部的应力状态，可以用差分法进行分析；用差分法进行分析；用差分法进行分析；用差分法进行分析；缺点缺点缺点缺点 对于曲线边界和斜边界等产生的不等间距网格的处理，比对于曲线边界和斜边界等产生的不等间距网格的处理，比对于曲线边界和斜边界等产生的不等间距网格的处理，比对于

58、曲线边界和斜边界等产生的不等间距网格的处理，比较麻烦和易于出错；较麻烦和易于出错；较麻烦和易于出错；较麻烦和易于出错； 比较适用于求解二维问题或平面问题；比较适用于求解二维问题或平面问题；比较适用于求解二维问题或平面问题；比较适用于求解二维问题或平面问题； 比较适用于等间距网格，对于应力变化较为剧烈时，需要比较适用于等间距网格，对于应力变化较为剧烈时，需要比较适用于等间距网格，对于应力变化较为剧烈时，需要比较适用于等间距网格，对于应力变化较为剧烈时，需要采用二次网格进行计算。采用二次网格进行计算。采用二次网格进行计算。采用二次网格进行计算。有限差分法有限差分法 42 有限差分法有限差分法项目

59、项目 有限差分法有限差分法有限元法有限元法试函数试函数局部近似局部近似局部近似局部近似程序难易程度程序难易程度很好很好好好程序灵活性程序灵活性好好很好很好精确性精确性差差好好计算效率计算效率好好好好适宜的方程适宜的方程各类型各类型椭圆型椭圆型主要优点主要优点经济、程序简单经济、程序简单灵活性好灵活性好主要缺点主要缺点较难推广到高阶较难推广到高阶不经济不经济 43 以位势问题为例，例如对于各向同性二维稳态导热方程，以位势问题为例，例如对于各向同性二维稳态导热方程，以位势问题为例，例如对于各向同性二维稳态导热方程，以位势问题为例，例如对于各向同性二维稳态导热方程，如果物体内部热源密度为如果物体内

60、部热源密度为如果物体内部热源密度为如果物体内部热源密度为0 0，方程可写成如下形式：，方程可写成如下形式：，方程可写成如下形式：，方程可写成如下形式：如方程和边界条件如下，按等步长如方程和边界条件如下，按等步长如方程和边界条件如下，按等步长如方程和边界条件如下，按等步长0.250.25，求解各节点的温度。，求解各节点的温度。，求解各节点的温度。，求解各节点的温度。方程及边界条件如下：方程及边界条件如下：方程及边界条件如下：方程及边界条件如下：算例算例 44 T T2,42,4T Ti i, ,j jT T0,30,3T T0,20,2T T0,10,1T T0,00,0T T0,40,4T

61、T4,34,3T T4,44,4T T4,24,2T T4,14,1T T1,01,0T T2,02,0T T3,03,0T T4,04,0T T1,41,4T T3,43,4x xy y算例算例 45 T T2,42,4T Ti i, ,j jT T0,30,3T T0,20,2T T0,10,1T T0,00,0T T0,40,4T T4,34,3T T4,44,4T T4,24,2T T4,14,1T T1,01,0T T2,02,0T T3,03,0T T4,04,0T T1,41,4T T3,43,4x xy y算例算例 46 算例算例 如图所示的混凝土深梁为例，应用应力函数的差

62、分解求出如图所示的混凝土深梁为例，应用应力函数的差分解求出如图所示的混凝土深梁为例，应用应力函数的差分解求出如图所示的混凝土深梁为例，应用应力函数的差分解求出应力分量。已知混凝土深梁上边受有均布向下的铅直荷载应力分量。已知混凝土深梁上边受有均布向下的铅直荷载应力分量。已知混凝土深梁上边受有均布向下的铅直荷载应力分量。已知混凝土深梁上边受有均布向下的铅直荷载q q，并，并，并，并由下角点处的反力维持平衡。由下角点处的反力维持平衡。由下角点处的反力维持平衡。由下角点处的反力维持平衡。 47 算例算例 (1)(1)计算边界上各结点的计算边界上各结点的计算边界上各结点的计算边界上各结点的 值。值。值

63、。值。取取取取A A为基点，且为基点，且为基点，且为基点，且由上面公式所得的计算结果见下表。由上面公式所得的计算结果见下表。由上面公式所得的计算结果见下表。由上面公式所得的计算结果见下表。 000AB,CDE,F,G,H,IJKLM / x0-3qh- / y00-000 000002.5qh22.5qh24.5qh2 48 算例算例 (2) (2)计算边界外以行各虚结点处的值，有计算边界外以行各虚结点处的值，有计算边界外以行各虚结点处的值，有计算边界外以行各虚结点处的值，有 49 算例算例 (3) (3)边界内各结点的差分方程边界内各结点的差分方程边界内各结点的差分方程边界内各结点的差分

64、方程 50 算例算例 联立求解上式，可得联立求解上式，可得联立求解上式，可得联立求解上式，可得( (以以以以qhqh2 2为单位为单位为单位为单位) ) (4) (4)计算结点外一行各结点处的值。计算结点外一行各结点处的值。计算结点外一行各结点处的值。计算结点外一行各结点处的值。 (5) (5)计算应力。对于结点计算应力。对于结点计算应力。对于结点计算应力。对于结点MM 51 算例算例 同理可得同理可得同理可得同理可得沿着梁的中线沿着梁的中线沿着梁的中线沿着梁的中线MAMA，的变化如下图和右图所示，的变化如下图和右图所示，的变化如下图和右图所示，的变化如下图和右图所示 52 小结小结公共信箱：公共信箱：公共信箱：公共信箱：密码：密码：密码：密码：tlx000tlx000