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1、等比数列等比数列复习：复习：(1)什么叫等差数列什么叫等差数列?(2) 等差数列的通项公式是什么等差数列的通项公式是什么?如果一个数列从第如果一个数列从第2项起项起,每一项与它前一项的差等于同一个常每一项与它前一项的差等于同一个常数数,那么这个数列就叫做等差数列那么这个数列就叫做等差数列.其表示为其表示为:an=a1+(n-1)d(3)在等差数列在等差数列 a an n 中，若中，若m+n=p+qm+n=p+q（m，n，p，q是正整数是正整数），则则am+an= ap+ aq(4)(4)如果如果a, A, b 成等差数列成等差数列,那么那么A叫做叫做a与与b的等差中项的等差中项.观察数列观察数
2、列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.(2) 1，3，9，27，81 (6) (4) 5，5，5，5，5，5，(5) 1，-1，1，-1，1，观察这些数列有哪些特点观察这些数列有哪些特点?这就是说，这些数列具有这样的共同特点：这就是说，这些数列具有这样的共同特点： 从第从第2 2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数项起，每一项与前一项的比都等于同一常数。复习等差数列的有关概念 定义：如果一个数列从第定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（指与项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差
3、通常用字无关的数），这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母母d表示。表示。等差数列等差数列 的通项公式为的通项公式为当d0时，这是关于n的一个一次函数。 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成等差数列，成等差数列，那么那么A叫做叫做a与与b的等差中项。的等差中项。等差数列等差数列的前的前n项和项和当公差d=0时， ，当d0时， , 是关于n的二次函数且常数项为0. 变形虫分裂问题变形虫分裂问题 假设每经过一个单位时间每个变形虫都假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变
4、形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列另一类数列等比数列等比数列. . 一般的，如果一个数列从一般的，如果一个数列从第第2项起项起，每一项与它前一项的，每一项与它前一项的比等比等于同一个常数于同一个常数，这个数列就叫做，这个数列就叫做等比数列等比数列
5、。 这个这个常数常数叫做等比数列的叫做等比数列的 公比公比，公比通常用，公比通常用字母字母q表示。表示。(q0）或特点：特点：1、 “从第二项起从第二项起”与与“前一项前一项”之比之比为常数为常数q2、 隐含：任一项隐含：任一项且且3、 时，时， 为常数列为常数列观察数列观察数列 ( 1) 2，4，8，16，32，64.(2) 1，3，9，27，81，243，(3) (6) (4) 5，5，5，5，5，5，(5) 1，-1，1，-1，1，公比公比 q=2 递增数列递增数列公比公比 q=3 递增数列递增数列公比公比 d= x 公比公比 q=1 非零非零常数列常数列公公 比比q= -1 摆动摆动数
6、列数列因为x的正负性不确定，所以该数列的增减性等尚不能确定。公比公比 q= 递减数列递减数列考考你考考你由常数由常数所组成的数列所组成的数列一定为等比数列吗一定为等比数列吗? 不一定是等比数列。不一定是等比数列。若此常数列为若此常数列为00，则此数列从第二项起，则此数列从第二项起，第二项与它前一项的比将没有意义，故非第二项与它前一项的比将没有意义，故非零常数列才是等比数列。零常数列才是等比数列。因此，常数列一定是等差数列因此，常数列一定是等差数列, ,但但不一定但但不一定是等比数列是等比数列. .数列：数列：1，2，4，8，16，1234567891024681012141618200 数列：
7、数列： 12345678910123456789100数列：数列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100数列：数列：1，-1，1，-1，1，-1，1，12345678910123456789100qaa12= =2123qaqaa= = =3134qaqaa= = =111- - -= = =nnnqaqaa不完全归纳法不完全归纳法连乘法连乘法等比数列的通项公式等比数列通项公式为：等比数列通项公式为：mnmqa- -= =1 1、q=1q=1为常数列，为常数列，q0q1q1或或0q10q0,0,数列为递增；数列为递增； a a1 10,0,数列为递减；数列为
8、递减；0q1, a0q0,0,数列为递减；数列为递减； a a1 10,1,q1,数数列列等等差差数数列列等等比比数数列列定定义义公差（比）公差（比）定义变形定义变形通项公式通项公式一般形式一般形式 an+1-an=dd 叫叫公差公差q叫叫公比公比 an+1=an+d an+1=an q an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-m例例:求下列等比数列的第求下列等比数列的第4，5项：项：（2），）， （1） 5，-15，45， 例例:一个等比数列的第一个等比数列的第3项与第项与第4项分项分别是别是12与与18，求它的第，求它的第1项与第项与第2项
9、项. 用用 表示题中公比为表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有的等比数列，由已知条件，有解得解得 因此因此，答：这个数列的第答：这个数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是解解:世界杂交水稻之父袁隆平从从1976年至年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩，增产稻谷亿多亩，增产稻谷3500亿公斤。年增稻谷可养亿公斤。年增稻谷可养活活6000万人口。万人口。 西方世界称他的杂交稻是西方世界称他的杂交稻是“东方东方魔稻魔稻” ，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题，并认为是解决下个世纪世界性饥饿问题的法宝。的法宝。 例例:培育水稻新品种，如果第培育水稻新品
10、种，如果第1代得到代得到120粒种子，并粒种子，并且从第且从第1代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代代起，以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的的120粒种子，到第粒种子，到第5代大约可以得到这种新品种的种子多代大约可以得到这种新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？少粒（保留两个有效数字）？解：解：由于每代的种子数是它的由于每代的种子数是它的前一代种子数的前一代种子数的120倍，倍，因此，逐代的种子数组成因此，逐代的种子数组成等比数列，记为等比数列，记为 答：到第答：到第5代大约可以得到代大约可以得到这种新品种的种子这种新品种的种子 粒粒. 例例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次
11、降某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的价，单价由原来的174元降到元降到58元元. 这种电讯产品平这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是多少（精确到均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？）？ 解：解：将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个依将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个依(1-x)为的公比等比数列为的公比等比数列 ，由已知条件，有由已知条件，有因此因此，答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是答：上述电讯产品平均每次降价的百分率大约是31%.设平均每次降价的百分率是设平均每次降价的百分率是x，那么每次降价后的单价应是降价前的那么每次降价后的单价
12、应是降价前的(1-x)倍倍.若原价格为a，则降价x后的价格应为a-ax=a(1-x) 练习练习: :求下列数列的公比和通项：求下列数列的公比和通项： ，4.84.8 -27 -27，9 9，-3-3，1 1 5 5，2525，125,625125,625 2/3 2/3，1/21/2，3/83/8 观察如下的两个数之间，插入观察如下的两个数之间，插入一个什么数后者三个数就会成为一一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列：个等比数列：（1）1， ， 9 （2）-1， ，-4（3）-12， ，-3 （4）1， ，13261等比中项等比中项如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数G，使，使
13、a、G、b成等比数列，那么成等比数列，那么G叫做叫做a与与b的等比中项。的等比中项。因此，因此，如果如果G是是a与与b的等比中项，那么的等比中项，那么，即，即成等差数列时，成等差数列时，成等比数列成等比数列,且且1、 公比为的公比为的q等比数列中，等比数列中，等比数列的性质：等比数列的性质：例例:在等比数列在等比数列an中中若若an0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,求求a3+a5.数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列关关系系式式性性质质中中项项构造三数构造三数构造四数构造四数2b=a+cb2=aca，a+d，a+2da, aq, aq2a-d，a，a+d或或或或a-3
14、d，a-d，a+d， a+3dan=am +(n-m) dan=amqn-mm+n=s+t an+am=as+atm+n=s+t anam=asat例例: 有四个数，其中前三个数成等有四个数，其中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，并比数列，后三个数成等差数列，并且第一个数与第四个数的和是且第一个数与第四个数的和是21，第二个数与第三个数的和是第二个数与第三个数的和是18，求，求这四个数。这四个数。判断或证明数列判断或证明数列是否为等比是否为等比数列数列,一般是先求出通项公式一般是先求出通项公式,再再判断或证明判断或证明,判断证明的方法主要判断证明的方法主要有以下四种有以下四种:练习练习：已知：已知an为等比数列，为等比数列， (1) a5=2, a9=8, 求求a7= _ (2) a5=2,a10=10,则则a15=_(3)a1=1/8, q=2,a4与与a8的等比中项的等比中项_(4) a6=3, 则则a3a4a5a6a7a8a9=_(5) a4a15= -2, 则则a3a6a12a17=_(6) a9 a10 a11 a12=64, 则则 a8 a13= _ 小结：小结：1、定义、定义:2、通项公式、通项公式:mnmqa- -= =
