《弹性力学平面问题的极坐标解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《弹性力学平面问题的极坐标解答（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第四章 平面问题的极坐标解答4 41 1 Differential Equations of Equilibrium in Polar CoordinatesDifferential Equations of Equilibrium in Polar Coordinates4 42 2 Geometrical Equations and Physical Equations in Polar CoordinatesGeometrical Equations and Physical Equations in Polar Coordinates4 43 3 Stress Function and
2、 Compatibility Equations in Polar Coordinates Stress Function and Compatibility Equations in Polar Coordinates 4 49 9 Effect of circular holes on stress distributionEffect of circular holes on stress distribution4. Solution of Plane Problems in Polar Coordinates4. Solution of Plane Problems in Polar
3、 Coordinates44 Coordinates Transformation of Stress Components45 Axisymmetrical Stresses and Cooresponding Displacements 46 Hollow Cylinder Subjected to Uniform Pressures411 Concentrated Normal Load on a Straight Boundary4 411 11 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力Py x abcro 例5. 图示半平面体，在边界上受集中力P作用，力与边界法线成角，取单位
4、厚度（力沿厚度均布，量纲为“力长度-1”），建立图示坐标系Concentrated Normal Load on a Straight Boundary用逆解法，首先假设应力函数用逆解法，首先假设应力函数分析：任一点的应力分量与分析：任一点的应力分量与P P、r r、 、 有关，从量纲来看，有关，从量纲来看，P P 力力 长度长度-1-1，r r 长度，长度， 、 无量纲，所以无量纲，所以应力分量的表达式只可能是应力分量的表达式只可能是P/rkP/rk，kk为无量纲项，可由为无量纲项，可由 和和 组成，所以组成，所以应力函数只能是应力函数只能是r r的一次式，即的一次式，即 将所设应力函数代入
5、相容方程得：将所设应力函数代入相容方程得：解此方程，求得：解此方程，求得：由此求应力分量：由此求应力分量：根据边界条件求待定常数根据边界条件求待定常数C C，D Dy x abcro P半平面体的边界条件：半平面体的边界条件：上述两个条件恒满足上述两个条件恒满足还有一组边界条件：在还有一组边界条件：在o o点附近，有集中力点附近，有集中力P P作用，其分布情况未知，但合力为作用，其分布情况未知，但合力为P Py x abcro P可作如下处理：取任一个半圆形截面可作如下处理：取任一个半圆形截面abcabc，其其上的面力与上的面力与P P构成平衡力系构成平衡力系x abcro Prr由应力边界条
6、件转换而来的平衡方程如下由应力边界条件转换而来的平衡方程如下：将将 r r的表达式代入，求得：的表达式代入，求得：应力分量的最后解答为：应力分量的最后解答为：当当r r趋近于零时，趋近于零时， r r无限大无限大所以上述公式的适用条件：离开所以上述公式的适用条件：离开o o点稍远处点稍远处（圣维南原理），且在弹性范围内（圣维南原理），且在弹性范围内讨论：讨论：P P力垂直于边界时的情况力垂直于边界时的情况y x oP1 1、求应力分量：、求应力分量：将将 =0=0 代入上式，得：代入上式，得：利用公式利用公式将其变换成直角坐标系中的应力分量：将其变换成直角坐标系中的应力分量： 2 2、求应变分
7、量、求应变分量( (将应力分量代入物理方程）将应力分量代入物理方程）3 3、求位移分量、求位移分量( (利用几何方程）利用几何方程）求得位移分量：求得位移分量：y x oP由于问题的对称性，由于问题的对称性，在在oxox轴上有：轴上有：所以位移分量为：所以位移分量为：常数常数I I可由竖直方向的约束条件确定，若竖可由竖直方向的约束条件确定，若竖直方向无约束，则直方向无约束，则I I不能确定，因为不能确定，因为I I代表竖代表竖直方向的刚体位移直方向的刚体位移因为I未确定，所以M点的沉陷也不能确定，但我们可以求两点间的相对沉陷4 4、求边界上任一点、求边界上任一点M M的沉陷的沉陷y x oPr
8、M在边界上另取一点在边界上另取一点B B，它距它距o o点为点为s s，如图如图y x oPrMBsM M、B B两点的相两点的相对沉陷为：对沉陷为：上述解答也称符拉芒解答上述解答也称符拉芒解答将上述变形公式中的E E/（1-2）； /（1- ），就得平面应变情况下应变或位移的公式4 410 10 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力图示半平面体，在其边界AB一段上受铅直的分布力，它在各点的集度为q y x oabA B q y x oabx y M A B q 如何求平面内任一点如何求平面内任一点M M（x x，y y）的应力？的应力？利用上节的应力利用上节的应力公式和叠加原理公
9、式和叠加原理1 1、在、在ABAB段上距段上距o o为为 处取微长度处取微长度d d ，其，其上所受的力上所受的力dPdP=q=q d d 可看作集中力，可看作集中力，如图如图 d d 2 2、由集中力、由集中力dPdP引起的应力（上节讨论过）引起的应力（上节讨论过）3 3、将集中力引起的应力叠加（积分）：、将集中力引起的应力叠加（积分）：这就是分布力引起的应力这就是分布力引起的应力4 4、求半平面体受均布单位力作用时的沉陷、求半平面体受均布单位力作用时的沉陷如图所示，单如图所示，单位力分布在长位力分布在长度为度为c c的半平的半平面体上（荷载面体上（荷载集度为集度为1/1/c c），），求距
10、均布力中求距均布力中点点I I为为x x的任一的任一点点K K的沉陷的沉陷c/2c/2xc/2+xsrx-c/2drdp=dr/cBK1/cI1 1、取微长度、取微长度drdr，其上所受的力其上所受的力dPdP= =drdr/c/c可看作可看作集中力，如图，集中力，如图，r r为微集中力到为微集中力到K K点的距离点的距离利用前述的公式（集中力引起的沉陷）利用前述的公式（集中力引起的沉陷）c/2c/2xc/2+xsrx-c/2drdp=dr/cBK1/cI2 2、利用公式，、利用公式，由由dPdP引起的沉陷引起的沉陷为：为：s s为微力到沉陷基点为微力到沉陷基点B B之间的距离之间的距离3 3
11、、积分求均布力引起的沉陷、积分求均布力引起的沉陷取取s sr r，即可将即可将s s看作常数，积分得看作常数，积分得其中：其中：4 4、求均布力中点、求均布力中点I I的沉陷：的沉陷：x=0x=0求得：求得：5 5、当、当x/cx/c为整数时，为整数时，F FKBKB的值可以从的值可以从P91P91表表4 41 1中取，沉陷仍公式仍为：中取，沉陷仍公式仍为：将上述变形公式中的E E/（1-2）； /（1- ），就得平面应变情况下沉陷公式小小 结结1 1、在解决具有圆曲线边界的平面问题时，、在解决具有圆曲线边界的平面问题时，采用极坐标，极坐标与直角坐标都是正交采用极坐标，极坐标与直角坐标都是正交
12、坐标，其物理量在两个坐标之间存在着教坐标，其物理量在两个坐标之间存在着教简明的转换关系，利用这种转换关系，可简明的转换关系，利用这种转换关系，可以很容易建立极坐标下的基本方程以很容易建立极坐标下的基本方程2 2、采用极坐标时，平面问题的基本方程采用极坐标时，平面问题的基本方程共有八个：共有八个：平衡微分方程：平衡微分方程：几何方程：几何方程：物理方程：物理方程：3 3、按应力求解平面问题，关键是要寻求按应力求解平面问题，关键是要寻求应力函数应力函数 （r r， ），），使之满足相容方程使之满足相容方程然后按公式：然后按公式：求应力分量求应力分量所求应力分量满足边界条件和位移单值所求应力分量满足
13、边界条件和位移单值条件条件4 4、轴对称问题，就是应力状态对称与过、轴对称问题，就是应力状态对称与过z z轴的任意平面，所以，应力分量只是轴的任意平面，所以，应力分量只是r r的函的函数，不随数，不随 而变化而变化 ，应力函数可设为，应力函数可设为 = = （r r）5 5、对圆环或圆筒、应力集中问题、半平面、对圆环或圆筒、应力集中问题、半平面体受集中力或分布力等问题进行了讨论体受集中力或分布力等问题进行了讨论6 6、构造应力函数的途径：利用材料力学的结、构造应力函数的途径：利用材料力学的结果、利用因次分析法、根据边界上应力的变果、利用因次分析法、根据边界上应力的变化规律、利用应力函数在边界上的力学性质化规律、利用应力函数在边界上的力学性质
