new20140925（何继刚）谈函数教学的“过程性”与“整体性”(1)

《new20140925（何继刚）谈函数教学的“过程性”与“整体性”(1)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《new20140925（何继刚）谈函数教学的“过程性”与“整体性”(1)（107页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、谈函数教学的谈函数教学的“过程性过程性”与与“整体性整体性” 扬州大学附属中学扬州大学附属中学 何继刚何继刚2014.9.25.2014.9.25.前言前言 新课程新在哪？新课程新在哪？ 王尚志老形容道：王尚志老形容道： 从跑道到跑的过程：传统与变革从跑道到跑的过程：传统与变革 课程不再是跑道，而成为跑的过程课程不再是跑道，而成为跑的过程自身。学习则成为知识创造过程之中自身。学习则成为知识创造过程之中的的“探险探险”。 背景：知识就是力量背景：知识就是力量 运用知识创造新的知识、运用知识运用知识创造新的知识、运用知识去解决问题。去解决问题。反反馈原理馈原理 肯定表述：任何系统只有通过反馈信息，

2、肯定表述：任何系统只有通过反馈信息，才能实现控制。才能实现控制。 否定表述：没有反馈信息的系统，要实否定表述：没有反馈信息的系统，要实现控制是不可能的。现控制是不可能的。整整体原理体原理 肯定表述：任何系统都有结构，系统整肯定表述：任何系统都有结构，系统整体的功能不等于各孤立部分的功能之和。体的功能不等于各孤立部分的功能之和。 否定表述：没有结构的，没有整体功能否定表述：没有结构的，没有整体功能的系统是不可能的。的系统是不可能的。有有序原理序原理 肯定表述：任何系统只有开放，与外界肯定表述：任何系统只有开放，与外界有信息交换，才可能有序。有信息交换，才可能有序。 否定表述：与外界无信息交换的封

3、闭系否定表述：与外界无信息交换的封闭系统，要使之有序是不可能的。统，要使之有序是不可能的。 系统由较低级的结构转变为较高级的结构，系统由较低级的结构转变为较高级的结构，称之为有序。称之为有序。 系统由较高级的结构转变为较低级的结系统由较高级的结构转变为较低级的结构，称之为无序。构，称之为无序。 数学结构性教学原则数学结构性教学原则 数学结构性教学原则，就是从数学知识结构和学生的数学结构性教学原则，就是从数学知识结构和学生的数学认知结构出发设计和组织教学，以完善和发展学生原数学认知结构出发设计和组织教学，以完善和发展学生原有数学认知结构为目的。即教师要从数学知识体系高度有数学认知结构为目的。即教

4、师要从数学知识体系高度“结构化结构化”的特点和学生认知结构的形成、发展规律出发，的特点和学生认知结构的形成、发展规律出发，站在整体、系统和结构的高度把握和处理教材，引导学生站在整体、系统和结构的高度把握和处理教材，引导学生充分感受和把握数学的知识结构和方法结构，体验数学知充分感受和把握数学的知识结构和方法结构，体验数学知识的发生发展全程，同时努力提高学生原有认知结构的可识的发生发展全程，同时努力提高学生原有认知结构的可利用性、稳定性与清晰性，为新知识融入已有的认知结构利用性、稳定性与清晰性，为新知识融入已有的认知结构创造条件，以最大限度地避免因教学的盲目性而走不必要创造条件，以最大限度地避免因

5、教学的盲目性而走不必要的弯路，尽可能地扩大、健全学生头脑中的数学知识的内的弯路，尽可能地扩大、健全学生头脑中的数学知识的内容、观念和体系，完善和发展学生的数学认知结构，提高容、观念和体系，完善和发展学生的数学认知结构，提高教学效益。学生的数学认知结构既是学习数学的重要前提教学效益。学生的数学认知结构既是学习数学的重要前提和手段，又是学习数学的重要目标和结果。和手段，又是学习数学的重要目标和结果。 学生学习数学的认知过程是一个吸收学生学习数学的认知过程是一个吸收信息、加工信息、输出信息的系统，教学信息、加工信息、输出信息的系统，教学设计应促进这个系统成为信息反馈、可调设计应促进这个系统成为信息反

6、馈、可调控的学习系统；成为互动的开放系统；成控的学习系统；成为互动的开放系统；成为合理联系、综合并且结构优化的系统。为合理联系、综合并且结构优化的系统。 一一、高中数学教学的整体性、高中数学教学的整体性1、整体把握高中数学教学目标整体把握高中数学教学目标 三维目标是一个整体，应该贯穿在高中三维目标是一个整体，应该贯穿在高中数学教育的始终，数学教学必须时刻为落实数学教育的始终，数学教学必须时刻为落实数学课程标准的目标做润物细无声的工作。数学课程标准的目标做润物细无声的工作。 （1）课堂教学设计要落实课堂教学设计要落实 “四基四基” “五能五能” “二意识二意识” “四基四基”的内容：数学的基础知

7、识、基本的内容：数学的基础知识、基本技能、基本数学思想方法和基本数学经验。技能、基本数学思想方法和基本数学经验。 “五能五能”是指五个基本能力：运算求解能是指五个基本能力：运算求解能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能力。括能力、数据处理能力。 “二意识二意识”是指发展数学应用意识和创新是指发展数学应用意识和创新意识。意识。 案例案例1 集合概念的教学集合概念的教学 从从“集合集合”在数学中的作用看：在数学中的作用看：“集合集合论论”是数学的一个研究分支是数学的一个研究分支; “集合论集合论”是是“数理逻辑数理逻辑”的组成部分的组成部分

8、; 集合是表述其他数学集合是表述其他数学内容的一种内容的一种“符号语言符号语言”。从。从 “集合集合”在高在高中数学课程定位来看：中数学课程定位来看： 高中数学只将集合作高中数学只将集合作为一种语言来学习为一种语言来学习, 使用集合语言使用集合语言, 可以简洁、可以简洁、准确地表达数学的一些内容。从准确地表达数学的一些内容。从 “集合集合”在在实现目标的作用来看：实现目标的作用来看： 学生学会使用最基本学生学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的集合语言表示有关的数学对象,发展运用语发展运用语言进行交流言进行交流的能力。集合语言是符号语言的能力。集合语言是符号语言,它与图形语言它与图形语言

9、（Venn图）有密切联系。图）有密切联系。 在教学中要充分体现和发挥在教学中要充分体现和发挥“集合集合”在实在实现目标的如下作用：现目标的如下作用：“集合集合”的观念可以体的观念可以体现数学中的现数学中的“分类思想分类思想”；可以帮助我们把可以帮助我们把每一类事物描述清楚，如：数集、点集、量每一类事物描述清楚，如：数集、点集、量的范围、平面直角坐标系中的点集、方程的的范围、平面直角坐标系中的点集、方程的根、不等式的解集、函数的定义域、值域。根、不等式的解集、函数的定义域、值域。“集合集合”概念的教学，应分解到高中数学学习概念的教学，应分解到高中数学学习的全过程。的全过程。“集合集合”概念的教学

10、可作如下整概念的教学可作如下整体体设计：第一过程，作为起始课，引导学生掌设计：第一过程，作为起始课，引导学生掌握集合的含义和表示握集合的含义和表示, 理解集合的基本关系，理解集合的基本关系，掌握集合的基本运算。第二过程是一个长期掌握集合的基本运算。第二过程是一个长期过程过程, 用用 “集合集合”的观念学习其它数学内容的的观念学习其它数学内容的过程（体现过程（体现“集合集合”在后继学习中的作用）：在后继学习中的作用）：如在必修中，用如在必修中，用“集合集合”概念学习：函数定概念学习：函数定义域、单调区间、图形、应用中描述等；在义域、单调区间、图形、应用中描述等；在必修中用必修中用“集合集合”概念

11、学习：点概念学习：点 直线直线;直线包含于平面直线包含于平面等等; 平面点集的表示平面点集的表示; 直直线、线、圆圆及其部分点集等及其部分点集等; 在必修中用在必修中用“集合集合”概念学习：数据分类；直方图、扇形图等；概念学习：数据分类；直方图、扇形图等；在必修中用在必修中用“集合集合”概念学习：三角函数概念学习：三角函数周期、零点集、极值点集、单调区间等；向周期、零点集、极值点集、单调区间等；向量与平面点集等；在必修中用量与平面点集等；在必修中用“集合集合”概概念学习：一元二次不等式解集，目标函数的念学习：一元二次不等式解集，目标函数的可行域等。可行域等。 集合、逻辑语句、算法语句等语言类知

12、集合、逻辑语句、算法语句等语言类知识识 、方法性知识、方法性知识 、程序性知识、程序性知识 、策略性知识，、策略性知识，将伴随所有数学知识的学习。将伴随所有数学知识的学习。 （2）教学设计要搭建情感、态度、价值教学设计要搭建情感、态度、价值 观与数学课程结合的平台观与数学课程结合的平台 王尚志老师在解读王尚志老师在解读“课程标准课程标准”时指出时指出，高中数学教学不仅要开展接受、记忆、模仿高中数学教学不仅要开展接受、记忆、模仿和练习等重要的数学学习活动，还应倡导自和练习等重要的数学学习活动，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这

13、些方式有助于发挥同学学习数学的方式。这些方式有助于发挥同学们学习的主动性，使同学们的学习过程成为们学习的主动性，使同学们的学习过程成为在教师引导下的在教师引导下的“再创造再创造”过程。过程。“通过不同形通过不同形式的自主学习式的自主学习、探究活动，体验数学发现和探究活动，体验数学发现和创造的历程创造的历程。 （3）整体把握数学素养和能力的培养整体把握数学素养和能力的培养 数学素养是指，运用数学解决日常生活、数学素养是指，运用数学解决日常生活、工作、进一步学习中的问题的能力，它包括工作、进一步学习中的问题的能力，它包括一系列重要的能力：推理、交流、建模、知一系列重要的能力：推理、交流、建模、知识

14、重构、联系能力，还包括：发现和提出问识重构、联系能力，还包括：发现和提出问题、阅读、整体理解。数学素养还体现在理题、阅读、整体理解。数学素养还体现在理解数学本质、掌握数学方法、技能（如：模解数学本质、掌握数学方法、技能（如：模型型待定系数法；变量替换待定系数法；变量替换换元法；降幂换元法；降幂配方法；消元配方法；消元加减、代入消元等通性通加减、代入消元等通性通法法 ）等方面。）等方面。2.整体把握数学课程整体把握数学课程内容内容（1）高中数学课程内容的基本脉络）高中数学课程内容的基本脉络主线主线 函函 数数 几几 何何 运运 算算 算算 法法 统统 计计 概概 率率 应应 用用高中数学课程内容

15、的基本结构高中数学课程内容的基本结构高中数学课程内容主线函数（2）整体把握课程）整体把握课程结构结构高中课程基本结构高中课程基本结构必修内容的基本结构必修内容的基本结构必修与选修系列必修与选修系列1内容的基本结构内容的基本结构必修与选修系列必修与选修系列2内容的基本结构内容的基本结构选修系列选修系列3内容的基本结构内容的基本结构选修系列选修系列4内容的基本结构内容的基本结构（2）整体把握课程）整体把握课程结构结构（3）整体把握课程：养成好的习惯）整体把握课程：养成好的习惯 学习数学有很多好的习惯：学习数学有很多好的习惯： 其中整体把握课程是学习数学的一个重其中整体把握课程是学习数学的一个重要的

16、好习惯。它也是学好数学的好方法。要的好习惯。它也是学好数学的好方法。能够帮助提高学习数学的效率。能够帮助提高学习数学的效率。研究是什么研究是什么研究是一种态度：对任何事情都要问一个为什么的态度研究是一种态度：对任何事情都要问一个为什么的态度研究是一种行动：总是在寻找怎样才能做得更好的行动研究是一种行动：总是在寻找怎样才能做得更好的行动教师研究什么教师研究什么:怎样教？怎样教好？怎样教的更好怎样教？怎样教好？怎样教的更好怎样指导学生学？怎样指导学生学好？怎样指导学生学怎样指导学生学？怎样指导学生学好？怎样指导学生学得更好？得更好？ 教师的使命和责任：教师的使命和责任： 把学生的每一次激动，变成他

17、们毕生的喜爱！把学生的每一次激动，变成他们毕生的喜爱！（4）倡导积极主动、勇于探索的学习方式）倡导积极主动、勇于探索的学习方式二、函数教学的二、函数教学的“过程性过程性”与与“整体性整体性” 学生函数认知发展的阶段性学生函数认知发展的阶段性 中学阶段，学生的思维发展水平从具体形象思维中学阶段，学生的思维发展水平从具体形象思维逐步过渡到抽象逻辑思维，表现最突出的是抽象逻辑逐步过渡到抽象逻辑思维，表现最突出的是抽象逻辑思维的发展。具体来说，初中学生虽然可以从事抽象思维的发展。具体来说，初中学生虽然可以从事抽象逻辑思维活动，但在很大程度上，他们仍然需要依赖逻辑思维活动，但在很大程度上，他们仍然需要依

18、赖具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。实践表具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。实践表明，这一阶段的大部分学生的思维仍停留在形象思维明，这一阶段的大部分学生的思维仍停留在形象思维上，很难上升到较高的抽象思维。而刚进入高中的学上，很难上升到较高的抽象思维。而刚进入高中的学生，他们的思维刚刚脱离了经验型的逻辑思维，学会生，他们的思维刚刚脱离了经验型的逻辑思维，学会了对一些事物进行浅层次的抽象，还无法上升到辩证了对一些事物进行浅层次的抽象，还无法上升到辩证逻辑思维阶段。随着学习的深入，高中生逐步能用理逻辑思维阶段。随着学习的深入，高中生逐步能用理论作为指导来分析各种事实材料，进行抽象的逻辑思

19、论作为指导来分析各种事实材料，进行抽象的逻辑思维。综上，中学生的这种认知发展的阶段性特点往往维。综上，中学生的这种认知发展的阶段性特点往往限制了他们对于抽象函数概念的理解与把握，从而导限制了他们对于抽象函数概念的理解与把握，从而导致初中、高中学生在初学函数时会对函数对应变化的致初中、高中学生在初学函数时会对函数对应变化的形式化相依关系深感困难。形式化相依关系深感困难。 学生函数认知结构层次学生函数认知结构层次 学生掌握概念的难易顺序是：识别概念优于说明概念的特征，对概念学生掌握概念的难易顺序是：识别概念优于说明概念的特征，对概念外延的掌握优于对概念内涵的掌握；对概念内涵的掌握，要看概念的内涵外

20、延的掌握优于对概念内涵的掌握；对概念内涵的掌握，要看概念的内涵（本质属性）的多少，以及各本质属性之间的结构是在怎样的。一般的说，（本质属性）的多少，以及各本质属性之间的结构是在怎样的。一般的说，本质属性越多的概念，越容易形成；非本质属性越多，概念形成的难度就本质属性越多的概念，越容易形成；非本质属性越多，概念形成的难度就越大，析取概念比合取概念难于形成，蕴含概念比析取概念难于形成，对越大，析取概念比合取概念难于形成，蕴含概念比析取概念难于形成，对于所有概念，都是先掌握具体概念后掌握抽象概念；先掌握形式概念后再于所有概念，都是先掌握具体概念后掌握抽象概念；先掌握形式概念后再掌握辩证概念。掌握辩证

21、概念。 据此来看函数概念的学习。首先，函数包含两个本质属性据此来看函数概念的学习。首先，函数包含两个本质属性变量和变量和对应法则，记忆希望非本质属性，比如集合、定义域、值域等；其次，定对应法则，记忆希望非本质属性，比如集合、定义域、值域等；其次，定义的文字表示是个蕴含式；最后，纵观中学数学的内容，在函数概念学习义的文字表示是个蕴含式；最后，纵观中学数学的内容，在函数概念学习之前，基本上是常量数学时期的内容，所学的数学概念属于形式逻辑的范之前，基本上是常量数学时期的内容，所学的数学概念属于形式逻辑的范畴，函数研究变量，变量的本质是辩证法在数学中的运用，即嘎不是函数畴，函数研究变量，变量的本质是辩

22、证法在数学中的运用，即嘎不是函数是个辩证概念。是个辩证概念。 当学生的概念认识水平受到认识发展阶段性限制时，不理解函数概念当学生的概念认识水平受到认识发展阶段性限制时，不理解函数概念或在认识上感觉困难是非常正常的。学生也只有通过大量客观事例，认识或在认识上感觉困难是非常正常的。学生也只有通过大量客观事例，认识变量的概念，理解量与量的相依关系，才能形成函数概念的描述性定义，变量的概念，理解量与量的相依关系，才能形成函数概念的描述性定义，获得朴素、直观的认识；通过描点法绘制图像，建立起数形之间的联系；获得朴素、直观的认识；通过描点法绘制图像，建立起数形之间的联系；积累一些具体经验素材后，才能建立起

23、函数概念比较准确的定义，从而带积累一些具体经验素材后，才能建立起函数概念比较准确的定义，从而带到较深刻的理解。到较深刻的理解。 函数是中学数学的核心内容，是高中数学函数是中学数学的核心内容，是高中数学中的一条主线中的一条主线. “像函数这样的核心概念需要多像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会、螺旋式上升，逐步加深理次接触、反复体会、螺旋式上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用解，才能真正掌握，灵活应用”. 因此，函数的因此，函数的教学必须要强调整体性和联系性教学必须要强调整体性和联系性. 1由由“静态静态”的式与方程到的式与方程到“动态动态”的函数的函数,形成动静互化的认知过程形成动

24、静互化的认知过程. 在教学中可列举如下具有函数关键特征的在教学中可列举如下具有函数关键特征的例子，一个是路程与时间的关系例子，一个是路程与时间的关系 一个一个是是 圆面积和半径的关系圆面积和半径的关系. . 通过分析这两通过分析这两个个式子式子的共同属性引入常量和变量的概念的共同属性引入常量和变量的概念. . 在此基础上，抽象出初中阶段函数的定义，在此基础上，抽象出初中阶段函数的定义，引入引入“函数函数”与与“自变量自变量”的概念的概念.以上定义突出了以上定义突出了三个要点：三个要点：(1)在某变化过程中有两个变量在某变化过程中有两个变量 ;(2)其中变量其中变量 在某范围内取值在某范围内取值

25、;(3)对于对于 在这个范围在这个范围内的每一个确定的值内的每一个确定的值, 另一个变量都有唯一确另一个变量都有唯一确定的值和它对应定的值和它对应 在初中学习了在初中学习了“函数与图象函数与图象”以后以后,明确算式明确算式只是函数的一种表示方法，列表法、图像法都可只是函数的一种表示方法，列表法、图像法都可以表示函数，求方程的根实际上可以看作是求已以表示函数，求方程的根实际上可以看作是求已知函数的值为零时的自变量的值知函数的值为零时的自变量的值. 逐步让逐步让学生认识到，我们可将很多问题和知识都统一到学生认识到，我们可将很多问题和知识都统一到函数的范畴中函数的范畴中. 例例1 引入函数概念之前引

26、入函数概念之前, 表达式表达式 在学生已有的认知图式中就是两个定数相加的在学生已有的认知图式中就是两个定数相加的和为和为8, 没有认识到两个变量之间没有认识到两个变量之间, 随随 的增大，的增大， 减小的相互制约的关系，也没有认识到上述减小的相互制约的关系，也没有认识到上述问题中的问题中的 不能同时取到最大（最小）值这不能同时取到最大（最小）值这一事实一事实. 由此可以看到，找变量容易，找关系难由此可以看到，找变量容易，找关系难. 找找关系，有两层含意，一是找两变量间的代数规关系，有两层含意，一是找两变量间的代数规律、几何意义；二是律、几何意义；二是“建立函数模型建立函数模型.”我们可以我们可

27、以通过通过 “函数建模函数建模”揭示揭示“变量关系变量关系”的表象的表象, 增强增强揭示两个变量相互依存关系的理解力揭示两个变量相互依存关系的理解力, 实现由实现由过程表征向关系表征的转变过程表征向关系表征的转变. 2由动态的由动态的“变量说变量说”到静态的到静态的“对应说对应说”，形成微观和抽象化的认知过程形成微观和抽象化的认知过程 高一新课本必修高一新课本必修1给出了函数的新定给出了函数的新定义，突现了义，突现了“对应关系对应关系”.对初中函数定义进行对初中函数定义进行的抽象化、精确化，是一种微观表现形式的抽象化、精确化，是一种微观表现形式, 是是一种由动态回归静态的扬弃，是螺旋式上升一种

28、由动态回归静态的扬弃，是螺旋式上升. 这阶段的函数教学这阶段的函数教学, 我们要实现二个方面我们要实现二个方面的转变：的转变： 其一其一, 实现函数宏观表征向函数的微观表实现函数宏观表征向函数的微观表征的转变征的转变. 初中的函数定义刻画了函数的外部初中的函数定义刻画了函数的外部特征特征, 可以认为：可以认为：“函数是变量函数是变量”, “ 函数是变函数是变化过程化过程”, 等等等等, 然而然而, 对数学的进一步研究对数学的进一步研究, 需要在宏观的基础上需要在宏观的基础上, 微观地研究函数微观地研究函数, 因此因此, 很有必要用很有必要用“对应关系对应关系”来理解函数来理解函数, 实现函数实

29、现函数宏观表征向函数的微观表征的转变宏观表征向函数的微观表征的转变, 使学生对使学生对函数的认知得到进一步地提升，如函数的认知得到进一步地提升，如: 是函数是函数吗？吗？ 学生很困惑：关系式中没有变量学生很困惑：关系式中没有变量, 没有没有变化，怎么是函数呢？应用变化，怎么是函数呢？应用“对应关系对应关系”来理来理解解, 是函数就十分显然了是函数就十分显然了. 又如狄立克莱函数又如狄立克莱函数的定义等问题，就需要用的定义等问题，就需要用“对应说对应说”进行理解进行理解. 其二，实现具象表征向其二，实现具象表征向 “形式化形式化”表征的表征的转变转变.从认知心理学的角度看，函数的形式化从认知心理

30、学的角度看，函数的形式化表示不是同化过程，而是顺应的过程表示不是同化过程，而是顺应的过程.从变量从变量到函数抽象的符号表示的过程来看，中间有到函数抽象的符号表示的过程来看，中间有“过程说过程说”“关系说关系说”“对应说对应说”多个抽象层次，这多个抽象层次，这是学生产生理解障碍，思维受阻的两个根本是学生产生理解障碍，思维受阻的两个根本原因原因. 要突破抽象的函数语言带来的思维障碍，要突破抽象的函数语言带来的思维障碍，可以在学习函数的性质（单调性、奇偶性、可以在学习函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）以及应用的过程中，学习周期性等）以及应用的过程中，学习“形式化形式化”表征表征.通过多种训练方式

31、，引导学生认识通过多种训练方式，引导学生认识 “形形式化式化”函数语言的本质函数语言的本质. 3由由“过程过程”到到“对象对象”，形成宏观与微观、，形成宏观与微观、动态与静态互补的认知过程动态与静态互补的认知过程 函数概念具有二重性，既代表定义域的函数概念具有二重性，既代表定义域的元素按对应法则与值域中元素作对应的过程元素按对应法则与值域中元素作对应的过程,又代表特定对应的关系结构，所以认识这个又代表特定对应的关系结构，所以认识这个概念也应分为两个侧面，即作为过程的一面概念也应分为两个侧面，即作为过程的一面和作为对象的一面，研究表明，形成一个概和作为对象的一面，研究表明，形成一个概念，往往要经

32、过由过程开始，然后转变为对念，往往要经过由过程开始，然后转变为对象的认知过程，掌握函数概念的最后一个层象的认知过程，掌握函数概念的最后一个层次，就是把函数作为一个次，就是把函数作为一个“整体的对象整体的对象”来看来看待待. 例例2 作函数作函数 的图像的图像, 若用描点法若用描点法, 则需要列表则需要列表, 然后描点连线然后描点连线, 这是典型的过程性这是典型的过程性思维方式；如果先画思维方式；如果先画 的图像，再通过平的图像，再通过平移和放缩等变换，作出已知函数的图像，这就移和放缩等变换，作出已知函数的图像，这就是结构化思维方式是结构化思维方式. 有时动态函数，转化为静态方程，问题即有时动态

33、函数，转化为静态方程，问题即可解决可解决. 有时静态方程，用动态的函数观点审有时静态方程，用动态的函数观点审视视, 往往会更深刻，如：往往会更深刻，如： 例例3 （2009浙江理第（浙江理第（I）题）已知函数）题）已知函数 其中其中 设函数设函数 若若 在区间在区间 上不单调，求上不单调，求 的取值范围的取值范围. 分析分析 将函数将函数 作为作为“对象对象”考察考察. 因因 又因又因 在区间在区间 上不单调，所以上不单调，所以 在在 上有实上有实 数解数解, 且无重根且无重根, 动态函数动态函数 转化为关于转化为关于 的静态方程的静态方程 得得 由此得到由此得到 下面再将下面再将 作为作为“

34、过程过程”的函数思考的函数思考, 令令 有有 记记 则则 在在 上单调递减上单调递减, 在在 上单调递增上单调递增, 所以所以有有 于是于是 得得 而当而当 时有时有 在在 上有两个相等的实根上有两个相等的实根 故舍去故舍去, 所所以以 综上所述，学生对函数概念的理解，需综上所述，学生对函数概念的理解，需要一个循序渐进、螺旋式上升的过程，提高要一个循序渐进、螺旋式上升的过程，提高学生对函数的理解能力、应用能力的关键，学生对函数的理解能力、应用能力的关键，是要引导学生经历认识变量、突出关系、区是要引导学生经历认识变量、突出关系、区别函数与算式、掌握别函数与算式、掌握 对应对应 、把握形式化、把握

35、形式化描述、形成函数对象等螺旋上升的认知过程描述、形成函数对象等螺旋上升的认知过程.在经历每个认知过程时在经历每个认知过程时,只要我们精心创设情只要我们精心创设情境境 让学生经历让学生经历“具体情境具体情境抽象化抽象化符号表示符号表示深化应用深化应用”这一系列认知实践这一系列认知实践, 把形式化、符把形式化、符号化思想渗透到初中、高中函数教学的每个号化思想渗透到初中、高中函数教学的每个环节环节, 就能促进学生函数观念的形成、发展、就能促进学生函数观念的形成、发展、提高，就能提高学生应用函数动态与静态的提高，就能提高学生应用函数动态与静态的辩证关系解决问题的能力，使学生的思维朝辩证关系解决问题的

36、能力，使学生的思维朝更深刻的方向发展更深刻的方向发展. 案例案例2 对函数单调性的概念，通过引导对函数单调性的概念，通过引导学生理解多个层次及其各层次间的关系学生理解多个层次及其各层次间的关系, 来促来促进学生形成对函数单调性完整的认识进学生形成对函数单调性完整的认识, 实现函实现函数单调性从具象到数单调性从具象到 “形式化形式化”的转变的转变. 第一层次，图形化理解第一层次，图形化理解. 从图形的走势来从图形的走势来理解函数的单调性理解函数的单调性. 这是理解函数单调性的基这是理解函数单调性的基础，它可以帮助学生形成形象化的视觉经验础，它可以帮助学生形成形象化的视觉经验. 第二层次，关系化理

37、解第二层次，关系化理解.从从 与与 的关系的关系来理解函数的单调性来理解函数的单调性. “随着随着 的增大，相应的增大，相应的的 值也随着增大值也随着增大” 这句话就是从这句话就是从 与与 的的变化关系来表征函数的单调递增的特性变化关系来表征函数的单调递增的特性. 以上以上理解利用函数概念的本质引导学生从图形观理解利用函数概念的本质引导学生从图形观察的视角转移到察的视角转移到 与与 的变化关系上来，带的变化关系上来，带动了思维活动向深刻的方向发展，从而为更动了思维活动向深刻的方向发展，从而为更深层次地理解单调性奠定了基础深层次地理解单调性奠定了基础. 第三层次，离散化理解第三层次，离散化理解.

38、 这是单调性形式这是单调性形式定义的基础定义的基础.它将它将 与与 的整体关系离散成两的整体关系离散成两个点中个点中 与与 的数量比较关系的数量比较关系. 整体的变化依整体的变化依赖关系变成两个点中赖关系变成两个点中 与与 的大小对应比较的大小对应比较关系关系, 图形上的感知转向解析关系上的认知图形上的感知转向解析关系上的认知. 用用“两个点的两个点的任取任取”将点的连续运动转变成两将点的连续运动转变成两个相对静止的离散点中个相对静止的离散点中 与与 的数量比较关的数量比较关系系. 在教学中要引导学生充分认识用解析的方在教学中要引导学生充分认识用解析的方式定义函数的单调性有如下优点：第一，解式

39、定义函数的单调性有如下优点：第一，解析的方式可以反映图形的特征；第二，解析析的方式可以反映图形的特征；第二，解析的方式还可以表达离散的情形；第三，成为的方式还可以表达离散的情形；第三，成为一种判断的工具；第四，方式更精确一种判断的工具；第四，方式更精确. 第四层次，差商理解第四层次，差商理解. 用差商用差商 描述描述“ 时，时， ” , 将基于将基于 的大小的大小关关系来讨论对应的系来讨论对应的 的大小关系的方法转变成的大小关系的方法转变成了一个统一的差商式子了一个统一的差商式子 与与0比较的关系比较的关系. 差商的结果不仅可以用来判断函数的增减性差商的结果不仅可以用来判断函数的增减性, 而且

40、可以反映而且可以反映 关于关于 的变化率的变化率. 它还有显明它还有显明的几何意义的几何意义. 第五层次第五层次, 导数理解导数理解. 从从 到到 的转变的转变, 表达了表达了“任意任意”的含意：的含意： “过程与连续过程与连续”， 在整个区间上的取值表达了在整个区间上的取值表达了“过程过程”，而，而 可以变的很小，表达了连续，可以变的很小，表达了连续， 无限变小无限变小, 出现了导数概念，导数完成了非出现了导数概念，导数完成了非常重要的对函数增减性的微观认识常重要的对函数增减性的微观认识, 从从“ 时，时， ” 到到 再到再到 经历了由经历了由具象到抽象的过程，这也反映了函数符号内含具象到抽

41、象的过程，这也反映了函数符号内含的不断丰富，内含充实的过程的不断丰富，内含充实的过程，也促进了学生也促进了学生对函数认知的提升对函数认知的提升. 从教材来看，从教材来看，在高中阶段函数的单调性在高中阶段函数的单调性的教学分成两个阶段：第一阶段，用运算的的教学分成两个阶段：第一阶段，用运算的性质研究单调性；第二阶段，用导数的性质性质研究单调性；第二阶段，用导数的性质研究单调性研究单调性。 在高中数学教学的整体设计中，突出函数在高中数学教学的整体设计中，突出函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、实与方程、数列、不等式、线性规划、算法、实际问题的联系，包括与概率统计中的随机变量际问题的联系，包括

42、与概率统计中的随机变量的联系，并用函数（映射）的思想去理解这些的联系，并用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，可以使学生加深对于函数过这些内容的学习，可以使学生加深对于函数思想的认识。在整个高中数学教学中思想的认识。在整个高中数学教学中, 若持续若持续不断地引导学生体会、理解不断地引导学生体会、理解“函数思想函数思想”会十分会十分有效地提升学生的数学素养。有效地提升学生的数学素养。案例案例3 应用函数的观点联系综合应用函数的观点联系综合 可以在函数与其它知识的交汇点处选题，可以在函数与其它知识的交汇点处选

43、题，进行整体化教学设计，体现函数思想在数学进行整体化教学设计，体现函数思想在数学中的核心地位和价值。中的核心地位和价值。三、三、函数应用函数应用（1） 以二次函数为主线以二次函数为主线 例例1、 (辽宁卷，理辽宁卷，理) 已知函数已知函数 （1）证明：当）证明：当 时，时， 在在上是增函数；上是增函数； （2）对于给定的闭区间）对于给定的闭区间 ，试说明，试说明存在实数存在实数 当当 时，时， 在闭区间在闭区间 上是减函数；上是减函数；（3 3）证明：）证明：（1 1）证明：当）证明：当 时，时， 在在上是增函数；上是增函数；（2 2）对于给定的闭区间）对于给定的闭区间 试说明存在实数试说明存

44、在实数 当当 时，时， 在闭区间在闭区间 上是减函数；上是减函数；（2 2）对于给定的闭区间）对于给定的闭区间 试说明存在实数试说明存在实数 当当 时，时， 在闭区间在闭区间 上是减函数；上是减函数；（3 3）证明）证明：（3 3）证明）证明：（3 3）证明）证明：（3 3）证明）证明： 说明：本例是以二次函数为主线的函数问题说明：本例是以二次函数为主线的函数问题 二次函数是高中生所学的最正规、最完二次函数是高中生所学的最正规、最完备的函数之一，它最能体现学生对函数思想备的函数之一，它最能体现学生对函数思想的把握，是联系高中与大学知识的主要纽带的把握，是联系高中与大学知识的主要纽带. 二次函数

45、的基本性质，二次函数与方程根的二次函数的基本性质，二次函数与方程根的讨论，二次函数与二次不等式、二次方程的讨论，二次函数与二次不等式、二次方程的综合问题都是考查的重点综合问题都是考查的重点.（2）以导数方法为背景）以导数方法为背景 例例2 2、（湖南卷、（湖南卷, ,文）已知函数文）已知函数 在区间在区间 、 内各有一个极值点内各有一个极值点. (1) 求求 的最大值；的最大值； (2) 当当 时时, 设函数设函数 在点在点 处的切线为处的切线为 若若 在点在点 处穿过函处穿过函 数数 的图象（即动点在点的图象（即动点在点 附近沿曲线附近沿曲线 运动运动, 经过点经过点 时时, 从从 的一侧进

46、入另的一侧进入另一侧），求函数一侧），求函数 的表达式的表达式. 自从有了自从有了“导数导数”这一这一 强有力的数学工强有力的数学工具之后，与一元三次函数相关的问题充分突具之后，与一元三次函数相关的问题充分突现了它的综合性与思维训练价值现了它的综合性与思维训练价值. 综观综观2007年高考数学试卷，它和导数、年高考数学试卷，它和导数、不等式、数列、曲线方程相结合，有利于更不等式、数列、曲线方程相结合，有利于更加深入考查复杂的数学方法和技能加深入考查复杂的数学方法和技能. 说明：本例以三次函数为主线的问题说明：本例以三次函数为主线的问题. 例例3 、已知函数、已知函数f(x)的定义域为的定义域为

47、 ，对于定义域中的每个对于定义域中的每个x都满足都满足 ，若，若函数函数 ，判断函数，判断函数g(x)的奇偶性的奇偶性.解：解： 不妨设不妨设f(x)、 g(x) 定义域分别为定义域分别为D1、D2.若若 ，则，则 ，且，且 .即即 .又因为又因为 ，所以，所以 故故 .所以所以g(x) 是奇函是奇函数数.说明说明 ：以抽象函数为主线的问题：与：以抽象函数为主线的问题：与 抽抽 象函数相关象函数相关的值域、定义域、单调性、周期性、图象的对称性及的值域、定义域、单调性、周期性、图象的对称性及与不等式、方程根的综合与不等式、方程根的综合.在学习中要对抽象函数的规在学习中要对抽象函数的规律性知识进行

48、总结律性知识进行总结.如：如： （1）常见的抽象函数所对应的具体函数；）常见的抽象函数所对应的具体函数； （2）抽象函数的点（轴）对称问题；）抽象函数的点（轴）对称问题； （3）抽象函数的周期问题；）抽象函数的周期问题； （4）自对称与互对称问题等）自对称与互对称问题等. 因为抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背因为抽象函数一般以中学阶段所学的基本函数为背景，所以在掌握相关函数知识的基础上，往往需要综景，所以在掌握相关函数知识的基础上，往往需要综合运用函数、方程、不等式的性质及数学思想方法，合运用函数、方程、不等式的性质及数学思想方法，挖掘隐含条件，寻找解题的突破口。挖掘隐含条件，寻找解题

49、的突破口。 例例4、 设函数设函数 f(x)=ex- e-x （1）证明：）证明： 的导数的导数 （2）若对所有）若对所有 都有都有 ，求，求a的取值范围的取值范围.说说明明：本本例例是是函函数数与与不不等等式式、导导数数交交汇汇的的问问题题. .它它体体现现了了函函数数的的性性质质、均均值值不不等等式式等等知知识识与与导导数数的的基基本本性性质质的的应应用用，对对提提升升学学生生综综合合分分析析、推推理理论论证证的的能力是很有价值的问题能力是很有价值的问题. . 例例5、已知、已知 是曲线是曲线y=ex上的点，上的点， 是数列是数列 的前的前n项和，且满足项和，且满足 （1）证明：数列）证明

50、：数列 是常数数列；是常数数列；（2）确定）确定a的取值集合的取值集合M，使，使 时，数列时，数列 是单调递增数列；是单调递增数列； （3）证明：当）证明：当 时，弦时，弦 的斜率的斜率 随随n单调递增单调递增.说明：本例（说明：本例（0707湖南卷理）是函数与数列、导数的湖南卷理）是函数与数列、导数的的综合的综合. .函数图象和性质的主导作用以及导数的工具函数图象和性质的主导作用以及导数的工具性功能更加突出性功能更加突出. . 例例6、已知函数、已知函数 处取得极大值，在处取得极大值，在 处取得极小值，且处取得极小值，且 （1）证明：）证明： （2）求）求 的取值范围的取值范围.说明说明 本

51、例是函数与解析几何、导数、线性规划交本例是函数与解析几何、导数、线性规划交汇的问题汇的问题. . （3）方法的拓展性方法的拓展性 案例案例4 (苏教版选修苏教版选修2-2 2.1.2 例例2)已知已知 均为正实数，均为正实数， ，求证：，求证： （4）认知的循环性认知的循环性 案例案例5 函函数概念的学习。数概念的学习。 案例案例6 数学思想方法在不断应用的过程中，数学思想方法在不断应用的过程中，经过数学认知的循环往复，数学思想方法就经过数学认知的循环往复，数学思想方法就会掌握的越来越好。会掌握的越来越好。 （5）知识的联系性知识的联系性与化归转化思想与化归转化思想 案例案例7 已知正数已知正

52、数 满足满足 则则 的取值范围是的取值范围是 . 分析：条件分析：条件 可化为：可化为： 设设 则问题转化为：则问题转化为：已知已知 满足满足则则 的取值范围的取值范围 . 的最小值在的最小值在 作出作出 所在平面区域（如图），所在平面区域（如图）， 设过切点设过切点 的切线为的切线为 由此解得由此解得 处取得，即为处取得，即为 则则 此时，点此时，点 在在 上上 之间之间. 当当 对应点对应点 时，时，在在 处取得最大值处取得最大值7.的取值范围为的取值范围为 即即 的取的取值范围是值范围是说明说明 本题主要考查将问题中不等式的本题主要考查将问题中不等式的关系转化为我们熟悉的线性规划问题的关

53、系转化为我们熟悉的线性规划问题的化归、转化意识和能力化归、转化意识和能力 . 其关键在于不其关键在于不等式的等价变形和转化的合理性等式的等价变形和转化的合理性. （7）结构的合理性结构的合理性促促认知结构的优化认知结构的优化 案例案例8 通过一题多解、多题一解或阶段性通过一题多解、多题一解或阶段性小结，不断调整知识结构、方法结构、思想小结，不断调整知识结构、方法结构、思想结构，以此优化学生的认知结构。结构，以此优化学生的认知结构。四四、高中数学教学的开放性设计高中数学教学的开放性设计 它体现在教学目标的设计要与时俱进，螺它体现在教学目标的设计要与时俱进，螺旋式上升。旋式上升。 案例案例9 函数

54、概念函数概念的的教学设计。教学设计。 1、教学目标设计的开放性。教学目标设计的开放性。 开放性课堂教学的关键是教师要不断强开放性课堂教学的关键是教师要不断强化开放式教学理念，尤其要在开放式课堂教化开放式教学理念，尤其要在开放式课堂教学的设计上下功夫。学的设计上下功夫。 开放性数学课堂教学设计，要通过多方开放性数学课堂教学设计，要通过多方面的设计来体现其开放性。我们在进行教学面的设计来体现其开放性。我们在进行教学目标设计的同时目标设计的同时, 不仅重视教师活动的设计，不仅重视教师活动的设计，更重视学生活动的设计。更重视学生活动的设计。 2、开放性数学课堂教学结构的设计。开放性数学课堂教学结构的设

55、计。 （1）教师活动的设计教师活动的设计 注重教学方法的开放性。教师应树立积注重教学方法的开放性。教师应树立积极探索创新的精神，应对旧有的知识不断挖极探索创新的精神，应对旧有的知识不断挖掘，重新体会教材内容结构，自觉进行教学掘，重新体会教材内容结构，自觉进行教学理念的更新与教学方法的革新，以开拓进取理念的更新与教学方法的革新，以开拓进取的观念抛弃那种封闭的、因循守旧的思维模的观念抛弃那种封闭的、因循守旧的思维模式，在实践中不断探索和总结教学规律。式，在实践中不断探索和总结教学规律。 （2）学生活动的设计学生活动的设计 要设计好学生的活动，就必须了解学生现有的知要设计好学生的活动，就必须了解学生

56、现有的知识背景和思维水平，了解学生个体之间的智力、个性识背景和思维水平，了解学生个体之间的智力、个性差异以及他们之间的伙伴关系。在开放式教学中，合差异以及他们之间的伙伴关系。在开放式教学中，合理搭配学生，组织学生协作小组，使学生活动有效。理搭配学生，组织学生协作小组，使学生活动有效。 在开放性课堂教学活动的设计中，教师可根据教在开放性课堂教学活动的设计中，教师可根据教学内容有针对性地选择某活动方式，使学生活动更具学内容有针对性地选择某活动方式，使学生活动更具开放性。例如开放性。例如:我们可以对一些理解性内容我们可以对一些理解性内容, 让学生观让学生观察、思考、讨论后口答，学生自由发言，相互补充

57、修察、思考、讨论后口答，学生自由发言，相互补充修正；对一些比较直观的内容，可以让学生在动手操作正；对一些比较直观的内容，可以让学生在动手操作体会之后，再要求学生用数学语言来描述；对一些综体会之后，再要求学生用数学语言来描述；对一些综合性较强的内容，可先让学生独立探索，然后小组讨合性较强的内容，可先让学生独立探索，然后小组讨论，最后各组推选一名代表在全班汇报讲解。论，最后各组推选一名代表在全班汇报讲解。 案例案例10 让学生展示，开放学生的言论时空让学生展示，开放学生的言论时空。 案例案例11 可让学习小组合作准备，推举一名可让学习小组合作准备，推举一名 代表来主讲；代表来主讲；案例案例12 在

58、学完某一章或某一个内容之后在学完某一章或某一个内容之后,可可 以用专题研究的形式让学生来主讲。以用专题研究的形式让学生来主讲。 案例案例13 可就某一个问题可就某一个问题, 让学生各抒让学生各抒已已见见 。 3、开放性数学课堂教学内容的设计开放性数学课堂教学内容的设计 数学课堂教学内容结构的开放，体现在数学课堂教学内容结构的开放，体现在当前教学内容结构的承上启下或安放可持续当前教学内容结构的承上启下或安放可持续的学习接口，还体现在与其它章节的联系性、的学习接口，还体现在与其它章节的联系性、与其它模块的联系性、与其它学科的联系性。与其它模块的联系性、与其它学科的联系性。 4、引入新课的开放性问题

59、的设计引入新课的开放性问题的设计 在实际教学中在实际教学中, 首先要创设一种问题情景首先要创设一种问题情景, “启其心启其心扉扉”, 使学生处在使学生处在“心求通而未得，口欲言而不能心求通而未得，口欲言而不能”的境的境地地, 然后启发学生回忆、联想然后启发学生回忆、联想, 从已经掌握的知识或经从已经掌握的知识或经验积累中验积累中, 寻找可借鉴的方法或思路来进行尝试寻找可借鉴的方法或思路来进行尝试, 使问使问题得以顺利解决。题得以顺利解决。开放性问题的设计，从内容上看，不能脱离学生已开放性问题的设计，从内容上看，不能脱离学生已有的知识基础，不能脱离教材和课程标准，应遵循课程有的知识基础，不能脱离

60、教材和课程标准，应遵循课程标准的要求，与课本相协调。教师应深入钻研课程标准标准的要求，与课本相协调。教师应深入钻研课程标准与教材，精心设计教学程序，在引入新课时将封闭的概与教材，精心设计教学程序，在引入新课时将封闭的概念、公式、法则进行逐层分解，围绕教学内容设计出一念、公式、法则进行逐层分解，围绕教学内容设计出一些开放性问题，让学生来探索，使每个学生都能积极参些开放性问题，让学生来探索，使每个学生都能积极参与，以克服数学学习内容枯燥单调的弱点，提高教学效与，以克服数学学习内容枯燥单调的弱点，提高教学效率。率。 实施开放性教学，教师可通过设计开放实施开放性教学，教师可通过设计开放性作业，启发引导

61、学生并调控学生的学习活性作业，启发引导学生并调控学生的学习活动。动。 开放性应用问题需要人们去发现或假定。开放性应用问题需要人们去发现或假定。 （1）设计开放性应用问题的作业。在平时设计开放性应用问题的作业。在平时的教学中可以给学生留一些开放性应用问题的教学中可以给学生留一些开放性应用问题作业，不必限制时间，也不必要求个人独立作业，不必限制时间，也不必要求个人独立完成，允许学生请教别人或查阅资料。完成，允许学生请教别人或查阅资料。 5、开放性的作业的设计开放性的作业的设计 案例案例14 问题的已知条件开放、隐问题的已知条件开放、隐蔽或不完备蔽或不完备 。 布鲁纳提倡发现学习布鲁纳提倡发现学习,

62、 他认为他认为“发现并不发现并不限于寻求人类尚未知晓的事物。确切地说，限于寻求人类尚未知晓的事物。确切地说，它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方法。法。”在数学教学的解题教学中在数学教学的解题教学中, 开放型问题开放型问题对于培养和考查学生的思维能力与创新能力对于培养和考查学生的思维能力与创新能力具有重要的作用，因而经常出现。开放型问具有重要的作用，因而经常出现。开放型问题可以简单归纳如下：题可以简单归纳如下：条件开放题。这类条件开放题。这类开放题的结论明确，要求的是使结论成立的开放题的结论明确，要求的是使结论成立的条件，解决这类问题的方法一般是从结论入

63、条件，解决这类问题的方法一般是从结论入手手, 逆推其条件逆推其条件, 其解题过程类似于分析法。其解题过程类似于分析法。 6、例题设计的开放化例题设计的开放化 结论开放题。这类开放题条件明确，结论开放题。这类开放题条件明确，需要求的是相应的结论，根据所求结论情况需要求的是相应的结论，根据所求结论情况又可以分成以下几种类型：又可以分成以下几种类型： 解题策略开放题。设计使一个人很难解题策略开放题。设计使一个人很难穷尽所有的答案和解题策略，没有现成解题穷尽所有的答案和解题策略，没有现成解题模式可套用，而又需要学生用创造性策略去模式可套用，而又需要学生用创造性策略去求解的问题，促进学生仁者见仁，智者见

64、智，求解的问题，促进学生仁者见仁，智者见智，形成既有个人的独立思考和积极探索，又有形成既有个人的独立思考和积极探索，又有学生之间、师生之间群体互动的学习与探究学生之间、师生之间群体互动的学习与探究的局面。的局面。 综上所述，开放性课堂教学设计，一方综上所述，开放性课堂教学设计，一方面要通过对教与学的活动进行设计，使课堂面要通过对教与学的活动进行设计，使课堂教学为学生创设一个思教学为学生创设一个思想想见解、情感体验、见解、情感体验、意志欲望、行为方式受到尊重，有利于群体意志欲望、行为方式受到尊重，有利于群体交流的开放的活动环境，通过合作讨论交流的开放的活动环境，通过合作讨论，为为学生创造暴露思维过程的空间；另一方面要学生创造暴露思维过程的空间；另一方面要在问题设计和讨论时，保在问题设计和讨论时，保持开放状态，给学持开放状态，给学生创新思维提供更广阔的数学天地，使学生生创新思维提供更广阔的数学天地，使学生得到更充分的发展。得到更充分的发展。谢谢 谢谢