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1、第第6节节 向量的内积与正交化向量的内积与正交化一一 向量的内积、长度及向量间的夹角向量的内积、长度及向量间的夹角定义定义 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数。内积也称作点积点积或点乘点乘，并记作 x y。 由于向量又可看作矩阵，借用矩阵记号，向量(列矩阵)x, y 的内积又可写成 (x,y) = xT y。内积具有下列性质(其中 x, y, z 为 n 维向量，k 为实数)：(1) (x,y) = (y, x);(2) (kx, y) = k (x, y);(3) (x+y, z) = (x, z)+(y,z);(4) (x, x)0，当且仅当 x=0 时, (x,x)=0。内积
2、还满足施瓦茨施瓦茨(Schwarz)不等式不等式定义：定义向量 的长度长度(范数范数, 模模)为向量的长度具有下述性质：(1) 非负性：当 x0 时，| x |0；当 x=0 时，|x|=0；(2) 齐次性： |k x | = |k| |x|；(3) 施瓦茨不等式：|(x,y)| |x| |y|；(4) 三角不等式：|x+y| |x| + |y|。 在二、三维空间中有向量夹角的概念，在更高维的向量空间中，夹角并没有直观的含义。 但由施瓦茨不等式，当 x0, y0时，有称该角度为非零向量x与y的夹角夹角。 当(x,y)=0时，x与y的夹角为 ,此时称向量x与y正交正交，记为 。 由于零向量与任意
3、同维向量的内积为0，所以规定规定零向零向量与任意同维向量正交。量与任意同维向量正交。二二 正交的向量组及向量组的正交化正交的向量组及向量组的正交化 若一组向量两两正交，且不含0向量，则称该向量组为正交向量组。定理定理：正交的向量组必线性无关。例：例：在 n维向量空间中可以找到 n 个两两正交的向量。这是因为1)对任意的 有非零解，从而任取一非零解作为 则 正交；2) 又因方程组 亦有非零解，从而可确定与 正交的 ；3) 如此下去进一步确定出 ，即得 n 个两两正交的非零向量组。 若现已有线性无关的向量组 ，也可以构建一个与之等价的且两两正交的向量组：以上过程称为施密特施密特(Schimidt)
4、正交化过程正交化过程。进一步，可将 单位化（规范化），对施密特正交化过程，应注意向量组 与向量组 等价，其中 t=1, r例：例：例： 可得：定理定理：方阵 A 为正交阵的充分必要条件是 A 的列(行)向量都是单位向量，且两两正交。三三 正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换定义：如果 n 阶矩阵 A 满足 ATA = E则称 A 为正交矩阵正交矩阵，简称正交阵正交阵。 对正交阵 A 按列自然分块，则有正交矩阵有如下性质：1) 若 A 为正交矩阵，则 |A|=1 或 |A|= -1；2) A为正交矩阵，则 AT=A-1 也为正交矩阵；3) 若A，B为同阶正交矩阵，则 AB 也为正交矩阵。定义：若 P 为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换。性质性质：正交变换保持线段长度不变。 设 y=Px 为正交变换，则有由于任意两点的距离均不变，从而正交变换不改变图形的形状，这是正交变换的优良特性。
