《可微性与偏导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《可微性与偏导数（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1 可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性, 这是多元函数微分学的基本概念. 然后给出二元函数对单个自变量的变化率, 即偏导数. 偏导数无论在理论上或应用上都起着关键作用. 一、一、可微性与全微分二、二、偏导数三、三、可微性条件四、四、可微性的几何意义及应用 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、一、可微性与全微分 定定义 1 设函数函数内有定内有定 义. .对于于内的点内的点 若若 f 在点在点的全增量的全增量(1)其中其中A, ,B是是仅与点与点有关的常数有关的常数, 的高的高阶无无穷小量小量, 则称称 f 在点在点可微可
2、微. 并称并称 (1) 式中关于式中关于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由由 (1), (2) 可可见, ,当当充分小充分小时, 全微分全微分 这里里(4)(2)为的的全微分全微分, 记作作可作可作为全增量全增量的近似的近似值, 于是有于是有:在使用上在使用上, 有时也把有时也把 (1) 式写成如下形式：式写成如下形式：(3)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1 考察考察解解 f在在点点处的全增量为处的全增量为由于由于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、偏导数 由一元函数微分学知道由一元函数微分学知道: 若若 则增量增量 现在来在来讨论: 当二
3、元函数当二元函数在点在点可微可微 时时, (1) 式中的常数式中的常数 A, B 应取怎样的值？应取怎样的值？为此为此, 在在 (4) 式中令式中令返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 (5) 容易看出容易看出, (5) 式右边的极限正是关于式右边的极限正是关于 x 的一元函数的一元函数类似地类似地, 又可得到又可得到 (6)它是关于它是关于 y 的一元函数的一元函数二元函数当固定其中一个自变量时二元函数当固定其中一个自变量时, 它对另一个自它对另一个自 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页变量的导数称为该函数的偏导数变量的导数称为该函数的偏导数, 一般定义如下一般定义
4、如下: 则当极限则当极限 存在存在时, 称此极限称此极限为关于关于x 的的偏偏导数数, 记作记作定义定义 2(7)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页类似地可定义类似地可定义关于关于 y 的偏导数的偏导数: 记作记作注注1 1 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注2 在上述定在上述定义中中,存在存在对 x (或或 y) 显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数界点处则往往无法考虑偏导数若函数若函数在区域在区域 D 上每一点上每一点 都存在都存在 对 x ( 或或对y ) 的偏的偏导数数, 则
5、得到得到在在 D 上上 对对 x (或对或对y) 的偏导函数的偏导函数 (也简称偏导数也简称偏导数), 记作记作 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页偏偏导数的几何意数的几何意义: 的几何的几何图象通常是象通常是 三三维空空间中的曲面中的曲面, 设为此曲面上一此曲面上一 点点, 其中其中曲面相交得一曲线：曲面相交得一曲线：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页如图如图17-1 所示，偏导数所示，偏导数的几何意义为的几何意义为:在平面在平面上上, 曲曲线 C 在点在点 P0 处的切的切线与与 x 轴 正向所成倾角正向所成倾角的正切，即的正切，即 图图17-1 返回返回返回返
6、回后页后页后页后页前页前页前页前页可同可同样讨论偏偏导数数的几何意的几何意义 (请读者自者自 行叙述行叙述)由偏导数的定义还知道由偏导数的定义还知道, 多元函数多元函数 f 对某一个自变对某一个自变 量求偏导数量求偏导数, 是先把别的自变量看作常数是先把别的自变量看作常数, 变成一变成一 元函数的求导元函数的求导. 因此第五章中有关求导数的一些基因此第五章中有关求导数的一些基 本法则本法则, 对多元函数求偏导数仍然适用对多元函数求偏导数仍然适用.例例2 于于 x 和关于和关于 y 的偏导数的偏导数. 解解 先求先求 f 在点在点 (1, 3) 处关于处关于 x 的偏导数的偏导数. 为此为此,
7、令令返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页y = 3, 得到得到求它在求它在 x = 1 的的 导数导数, 则得则得 再求再求 f 在在 (1, 3) 处关于处关于 y 的偏导数的偏导数. 为此令为此令 y = 3, 得得 求它在求它在 y =3 处的导数处的导数, 又得又得通常也可先分别求出关于通常也可先分别求出关于 x 和和 y 的偏导函数的偏导函数: 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页然后以然后以 (x, y) = (1, 3) 代入代入, 也能得到同样结果也能得到同样结果.例例3 求函数求函数的偏导数的偏导数.解解 把把依次看成幂函数和指数函数依次看成幂函数和指
8、数函数, 分别求得分别求得 例例4 求三元函数求三元函数的偏导数的偏导数. 解解 把把 y 和和 z 看作常数看作常数, 得得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页把把 z , x 看作常数看作常数, 得得 把把 x, y 看作常数看作常数, 得得 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、可微性条件 由可微定义易知由可微定义易知: : 若若 . .这表明这表明: : “ “ 连续是可微的一个必要条件连续是可微的一个必要条件”此外此外, 由由 (5), (6) 两式又可得到可微的另一必要两式又可得到可微的另一必要条条 件件: 定理定理 若二元函数若二元函数 f 在其定义域
9、内一点在其定义域内一点 ( x0, y0 ) 处可微处可微, 则则 f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在该点关于每个自变量的偏导数都存 在此时在此时, (1) 式中的式中的 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是, 函数函数 的全微分的全微分 (2) 可惟一地表可惟一地表示为示为与一元函数一样与一元函数一样, 若约定自变量的增量等于自变量若约定自变量的增量等于自变量 的微分，即的微分，即 则全微分又可写为则全微分又可写为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页若函数若函数 f 在区域在区域 D 的每一点的每一点 (x, y) 都可微都可微, 则称函则称函 数数 f
10、 在区域在区域 D 上可微，且上可微，且 f 在在 D 上的全微分为上的全微分为 (8)定理定理17. 1 的应用的应用: 对于函数对于函数 由于由于 它们分别在它们分别在都不可导，即都不可导，即故故返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页再看一个例子再看一个例子: 在原点的可微性在原点的可微性例例5 考察函数考察函数解解 按偏导数的定义先求出按偏导数的定义先求出 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同理可得同理可得若若 f 在原点可微在原点可微, 则则 不存在不存在 (第十六章第十六章2 例例3), 因此函数因此函数 f 在原点不在原点不 返回返回返回返回后页后页后页后页
11、前页前页前页前页可微可微. 以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的而以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的而 现在这个例子说明现在这个例子说明: 偏导数即使存在偏导数即使存在, 函数也不一函数也不一 定可微这就是说定可微这就是说, 当所有偏导数都存在时当所有偏导数都存在时, 还需还需 要添加适当的条件要添加适当的条件, 才能保证函数可微请看如下才能保证函数可微请看如下 定理定理: 定理定理 17.2 ( 可微的充分条件可微的充分条件 ) 若函数若函数在在 点点的某的某邻域内存在偏域内存在偏导数数 且它且它 们在点们在点连续连续, 则则可微可微.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前
12、页在第一个方括号里的是函数在第一个方括号里的是函数关于关于 x 的增量的增量; 在第二个括号里的是函数在第二个括号里的是函数 关于关于 y 的增量的增量. 第二步第二步 对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值 定理定理, 则则使得使得证证 第一步第一步 把全增量把全增量 写作写作返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 (9)第三步第三步 由于由于 因此有因此有 第四步第四步 将将 (10), (11) 代入代入 (9) 式式, 得到得到 由可微定由可微定义的等价式的等价式 (4), 便知函数便知函数 f (11)(10)返回返回返回返回后页后页后页后
13、页前页前页前页前页可微可微. 定理定理17.的应用的应用 容易验证例容易验证例2 中的函数中的函数 满足定理足定理 17.2 的条件的条件, 故在点故在点 (1, 3) 可微可微 (且在且在上上处处可微可微); 上满足定理上满足定理 17.2 的条件的条件, 亦在其定义域上可微；亦在其定义域上可微；例例4 中的函数中的函数注意注意 偏导数连续并不是可微的必要条件，例如偏导数连续并不是可微的必要条件，例如 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页它在原点它在原点 (0,0) 处可微可微, 但但却在却在该点不点不连续 (见本节习题见本节习题 7，请自行验证，请自行验证). 所以定理所以定理
14、 17.2 是是可可 微的充分性定理微的充分性定理若若的偏的偏导数数都都连续, 则 连续可微可微 在定理在定理 17.2 证明过程中出现的证明过程中出现的 (9) 式式, 实际上是二实际上是二 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页元函数的一个中值公式元函数的一个中值公式, 将它重新写成定理如下将它重新写成定理如下: (12)的某邻域内存在偏的某邻域内存在偏定理定理 17.3 设函数设函数和和 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页四、可微性的几何意义及应用 一元函数一元函数可微，在几何上反映可微，在几何上反映为曲曲线存在存在 不平行于不平行于 y 轴的切的切线. 对于二元
15、函数而言于二元函数而言, 可微性可微性 则反映为曲面与其切平面之间的类似关系则反映为曲面与其切平面之间的类似关系. 为此需为此需 要先要先给出切平面的定出切平面的定义, 这可以从切可以从切线定定义中中获得获得 启发启发. 在第五章在第五章1中中, 我们曾把平面曲线我们曾把平面曲线 S 在其上某一在其上某一 的切的切线 PT 定定义为过点点 P 的割的割线 PQ 当当 Q 沿沿 S 趋近趋近 P 时的极限位置时的极限位置 (如果存在的话如果存在的话). 这时这时,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页PQ 与与 PT 的夹角的夹角 也将随也将随 QP 而趋于零而趋于零(参见参见图图17
16、-2). 用用 h 和和 d 分别表示点分别表示点 Q 到直线到直线 PT 的距离的距离 和点和点 Q 到点到点 P 的距离的距离, 由于由于 仿照这个想法仿照这个想法, 我们引进曲面我们引进曲面 S 在点在点 P 的切平面的的切平面的 定义定义.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页图图 17 - 2 图图 17 - 3 定定义 3 设曲面曲面 S 上一点上一点 P, 为通通过点点 P 的一个的一个 平面平面, S 上的上的动点点 Q 到定点到定点 P 和到平面和到平面的的距离距离 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页分分别记为 d 和和 h(图17-3). 若当若当
17、Q 在在 S 上以任上以任意方意方 式式趋近于近于 P 时, 恒有恒有 则称平面称平面 为曲曲面面 S 在点在点 P 的的切平面切平面, 称称 P 为为切点切点. 定理定理 17.4 曲面曲面存在不平行于存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是的切平面的充要条件是: : 函数函数 在点在点可微可微. 证证 (充分性充分性) 若函数若函数在在 P0 可微可微, 由定义知道由定义知道 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页讨论过点讨论过点的平面的平面: 其中其中 X, Y, Z 是平面上点的流是平面上点的流动坐坐标. 下面下面证明它就明它就 是曲面是曲面的切平面的切平面. 由于由于 S
18、上动点上动点 到到的距离为的距离为 现在现在返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页P 到到 Q 的距离为的距离为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页根据定根据定义 3 便知便知平面平面 即即为曲面曲面P 的切平面的切平面(必要性必要性) 若曲面若曲面存在不平行于存在不平行于z 轴的切平面轴的切平面 第一步第一步 设 Q(x, y, z) 是曲面上任意一点是曲面上任意一点, 由由 Q 到到这 个平面的距离个平面的距离为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由切平面的定义知道由切平面的定义知道, 当当时时, 有有 因因此对于充分接近的此对于充分接近的 P 与与
19、Q, 有有 则得则得 令令 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第二步第二步 分析分析: 要证明要证明 在点在点可微可微, 事实事实 上就是需证上就是需证 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因此因此, 若能若能证得当得当 则有有第三步第三步 先证先证 可推得可推得 故有故有 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页第四步第四步 由上式由上式进一步可得一步可得 根据第二步的分析，根据第二步的分析，这就就证得得在点在点 可微可微. . 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 17.4 说明明: : 函数函数在点在点可微可微, , 则曲面曲面 处的
20、切平面方程为处的切平面方程为 (13)过切点切点 P 与切平面垂直的直与切平面垂直的直线称称为曲面在点曲面在点 P 的的 法线法线. 由切平面方程知道，由切平面方程知道，法向量法向量为为 于是过切点于是过切点 P 的法线方程为的法线方程为 (14)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二元函数全微分的几何意义二元函数全微分的几何意义: 如图如图17 4 所示所示, 当自当自 的全微分的全微分而在点而在点 变为变为时时, 函函变量变量 由由 是是 z 轴方向上的一段方向上的一段 NQ; 的增量的增量 数数 则是切平面则是切平面 上相应上相应的那的那一段一段增量增量 NM. 于于 而趋于
21、零而趋于零, 而且是较而且是较 高阶的无穷小量高阶的无穷小量.是是, 与与 dz 之差是之差是 MQ 那一段，它的长度将那一段，它的长度将随着随着 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页图图 17 4 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例6 试求抛物面求抛物面处 的切平面方程与法线方程，其中的切平面方程与法线方程，其中解解 由公式由公式 (13), 在点在点 M 处的切平面方程为处的切平面方程为 由公式由公式 (14), 在点在点 M 处的法线方程为处的法线方程为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页下面的例下面的例 8 和例和例 9 是利用是利用线性近似
22、公式性近似公式 (3) 所作的所作的 近似计算和误差估计近似计算和误差估计. 例例7 求求 的近似值的近似值. 解解 设设由公式由公式 (3)，有，有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例8 的的绝对误差限和相差限和相对误差限差限. 解解 依题意，测量依题意，测量 a, b, C 的绝对误差限分别为的绝对误差限分别为 由于由于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页将各数据代入上式将各数据代入上式, 得到得到 S 的绝对误差限为的绝对误差限为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为因为所以所以 S 的相对误差限为的相对误差限为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题 1. 已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和偏导数的连续性之间有如下关系偏导数的连续性之间有如下关系:偏导数连续偏导数连续可可 微微连连 续续偏导数存在偏导数存在返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页试举出一组函数试举出一组函数 能分别满足如下要求能分别满足如下要求: (i) (ii) (iii) (iv) 2. 可微性定义中可微性定义中, (1) 式与式与 (4) 式为何是等价的式为何是等价的?返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页作业P1241、偶数题5、68（1）、9（1）11、12*17
