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1、第五节第五节定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 第五五章 表示为表示为一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 1) 所求量所求量 U 是与区间是与区间a , b上的某分布上的某分布 f (x) 有关的有关的2) U 对区间对区间 a , b 具有具有可加性可加性 , 即可通过即可通过“分割分割, 取近似取近似, 求和求和, 取极限取极限”定积分定义定积分定义一个整体量一个整体量 ;元素法：元素法： 一般地，如果所求量一般地，如果所求量符合下列条件：符合下列条件：(1) (1
2、) 与变量与变量的变化区间的变化区间有关；有关；(2) (2) 对于区间对于区间具有可加性，具有可加性， 从而从而U U 计算出所求量。计算出所求量。(3) (3) 部分量部分量的近似值可表示为的近似值可表示为那么可以考虑用定积分来表达这个量那么可以考虑用定积分来表达这个量的值的值, ,二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ?第一步第一步 利用利用“化整为零化整为零 , 以常代变以常代变” 求出局部量的求出局部量的微分表达式微分表达式近似值近似值第二步第二步 利用利用“ 积零为整积零为整 , 无限累加无限累加 ” 求出整体量的求出整体量的积分表达式积分表达式这种分析方法成为这
3、种分析方法成为元素法元素法 (或或微元分析法微元分析法)元素的几何形状常取为元素的几何形状常取为: 条条, 带带, 段段, 环环, 扇扇, 片片, 壳壳 等等精确值精确值具体的步骤如下具体的步骤如下：并进一步确定它的变化区间并进一步确定它的变化区间2 2）设想把区间）设想把区间分成分成个小区间，取其中任一小个小区间，取其中任一小，求出相应于这个小区间的部分量，求出相应于这个小区间的部分量的近似值的近似值. . 如果如果 ，则，则 3 3）于是作定积分，得）于是作定积分，得这个方法通常称为元素法（或微元法）这个方法通常称为元素法（或微元法）. . 1)1)根据具体问题，选取与根据具体问题，选取与
4、 有关的积分变量，如有关的积分变量，如 ，一、平面图形的面积一、平面图形的面积1. 直角坐标情形直角坐标情形设曲线设曲线与直线与直线及及 x 轴所围曲轴所围曲则则边梯形面积为边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为右下图所示图形面积为 例例1. 计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限所围在第一象限所围所围图形的面积所围图形的面积 . 解解: 由由得交点得交点Oxy图图1-4 1例例2. 计算抛物线计算抛物线与直线与直线的面积的面积 . 解解: 由由得交点得交点所围图形所围图形为简便计算为简便计算, 选取选取 y 作积分变量作积分变量,则有则有2.当曲边梯形的曲边由参数方程当曲边梯形的曲边由参数
5、方程 给出时给出时, 按按顺时针方向顺时针方向规定起点和终点的参数值规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积则曲边梯形面积例例3. 求椭圆求椭圆解解: 利用对称性利用对称性 , 所围图形的面积所围图形的面积 . 有有利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得应用定积分换元法得当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式例例4+. 求由摆线求由摆线的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 .解解:3. 极坐标情形极坐标情形求由曲线求由曲线及及围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 .在区间在区间上任取小区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为例例5. 计算心形线计算心形线所围图形的所围图形的面积面积 . 解解:(利用对称性利用对称性)例例6. 求双纽线求双纽线所围图形面积所围图形面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 ,则所求面积为则所求面积为思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆用定积分表示该双纽线与圆所围公共部分的面积所围公共部分的面积 .答案答案:
