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1、第三章第三章集中量数集中量数n第一节第一节算术平均数算术平均数一、概念一、概念二、计算方法二、计算方法 三、加权算术平均数三、加权算术平均数 四、算四、算术平均数的性平均数的性质 n第二节第二节 中位数中位数中位数的计算方法中位数的计算方法第三节第三节几何平均数几何平均数一、概念一、概念二、计算公式二、计算公式三、几何平均数在教育上的应用三、几何平均数在教育上的应用习习 题题描描述述一一组组数数据据集集中中趋趋势势的的量量数数，称称为为集集中中量量数数。集集中中量量数数是是统统计计总总体体各各统统计计事事项项某某一一数数量量标标志志的的代代表表值值，它它概概括括说说明明总总体体某某一一数数量量
2、标标志志的的综综合合特特征征，反反映映研研究究对对象象在在一一定定时时间间、地地点点、条件下的一般水平。条件下的一般水平。常常用用的的集集中中量量数数有有：算算术术平平均均数数、中中位位数数、众众数数、几几何何平平均均数数和和调调和和平平均均数数等等等等,本本章章只只介介绍算术平均数、中位数和几何平均数。绍算术平均数、中位数和几何平均数。第一节算术平均数第一节算术平均数一、概念概念二、二、计算方法计算方法 1 1、对原始数据计算算术平均数对原始数据计算算术平均数2 2、对次数分布表计算算术平均数对次数分布表计算算术平均数 三、三、加权算术平均数加权算术平均数 四、四、算算术平均数的性平均数的性
3、质一、概念一、概念一一组组同同质质数数据据值值的的总总和和，除除以以数数据据总总个个数数所所得得的的商商称称为为算算术术平均数平均数。统统计计学学中中常常用用（读读谬谬）表表示示总总体体平平均均数数，用用（读读X杠杠）表示样本平均数。表示样本平均数。设设变变量量代代表表各各次次观观测测的的结结果果，为为观观测测的次数的次数（）（）式中式中，为一组数据的算术平均数；，为一组数据的算术平均数；表示从的连加到的；即表示从的连加到的；即（）（）二、计算方法二、计算方法1.对原始数据计算算术平均数对原始数据计算算术平均数例例 1 已已 知知 一一 组组 数数 据据 值值 分分 别别 为为 80、 90、
4、 75、 68、57,求该组数据的算术平均数。求该组数据的算术平均数。解：根据公式（）得解：根据公式（）得2.对次数分布表计算算术平均数对次数分布表计算算术平均数如如果果数数据据已已经经整整理理成成次次数数分分布布表表的的形形式式，可根据公式（）来计算算术平均数。可根据公式（）来计算算术平均数。（）（）式式中中，表表示示对对次次数数分分布布表表计计算算的的算算术术平平均数；均数；表示各组的组中值；表示各组的组中值；表示各组对应的次数；表示各组对应的次数；表示总次数。表示总次数。例例2某班某班62名学生成绩的次数分布表如下，名学生成绩的次数分布表如下，求该班学生成绩的算术平均数。求该班学生成绩的
5、算术平均数。解：将表中合计的结果代入公式（）解：将表中合计的结果代入公式（）。三、加权算术平均数三、加权算术平均数把把表表示示统统计计事事项项重重要要性性程程度度大大小小的的量量数数称称为为权数。权数。一一组组同同质质数数据据中中，每每一一数数值值与与其其对对应应权权数数乘乘积积的的总总和和，除除以以权权数数之之和和所所得得的的商商，称称为为加加权权算算术术平均数，用符号表示平均数，用符号表示,公式公式（）（）式中，表示加权算术平均数；式中，表示加权算术平均数；W为每一数值为每一数值X所对应的权重。所对应的权重。表示数据与对应权数乘积的总和；表示数据与对应权数乘积的总和；例例3某年级某年级5个
6、班的语文考试成绩如下，求该年个班的语文考试成绩如下，求该年级语文平均成绩。级语文平均成绩。解：根据公式（）得解：根据公式（）得四、算术平均数的性质四、算术平均数的性质1常数的算术平均数等于该常数。常数的算术平均数等于该常数。即即2一一组组数数据据中中，每每一一个个数数值值加加上上（或或减减去去）一一个个常常数数后后所所得得到到的的新新的的一一组组数数据据，其其算算术术平平均均数数等等于于原原一一组组数数据据的的算算术术平平均均数数加加上上（或或减减去）这个常数。去）这个常数。若若，则，则3一一组组数数据据中中，每每一一个个数数值值乘乘上上一一个个常常数数后后所所得得到到的的新新的的一一组组数数
7、据据，其其算算术术平平均均数数等等于于原原一一组组数数据的算术平均数乘以这个常数。据的算术平均数乘以这个常数。若若则则4离差（各数值与平均数的差）之和为零。离差（各数值与平均数的差）之和为零。即即5、离差平方和为最小。、离差平方和为最小。即设为任一定值，对于，则有即设为任一定值，对于，则有第二节第二节 中位数中位数n中位数的计算方法中位数的计算方法对原始数据计算中位数对原始数据计算中位数对次数分布表数据计算中位数对次数分布表数据计算中位数第二节第二节中位数中位数一一组组按按大大小小顺顺序序排排列列的的数数据据中中，居居中中间间位位置置对对应应的数据值即为的数据值即为中位数中位数，用符号表示，用
8、符号表示。中位数的计算方法中位数的计算方法1对原始数据计算中位数对原始数据计算中位数步骤：步骤：将数据按大小顺序排列将数据按大小顺序排列计算中间位置序号计算中间位置序号找出中间位置对应的数据值找出中间位置对应的数据值例例如如有有一一组组数数值值为为18、4、5、7、8、12、10,计计算算其中位数。其中位数。排序排序4、5、7、8、10、12、18中间位置序号中间位置序号由由左左向向右右第第4号号对对应应的的数数据据即即为为中中位位数数，=8。再再如如，一一组组数数值值为为4、5、7、8、10、12、18、19，其其中中间间位位置置序序号号为为，说说明明中中间间位位置置在在第第4和和第第5位位
9、之之间间，那那么么中中位位数数是是第第 4与与 第第 5位位 对对 应应 数数 据据 值值 和和 的的 一一 半半 ， 即即 。2、对次数分布表数据计算中位数、对次数分布表数据计算中位数如如果果一一组组数数据据已已经经列列成成了了次次数数分分布布表表，那那么么处处在在50%（即即）这这点点上上的的数数值值就就是是中中位位数数。中中位位数数是是次次数数分分布布的的二二等等分分点点，有有一一半半数数据据在在中中位位数数之之上上，另另一一半半数数据据在在中中位位数数以下。其计算公式为：以下。其计算公式为：（）（）式中，表示中位数；式中，表示中位数；表示中位数所在组的精确下限；表示中位数所在组的精确下
10、限；表示中位数所在组对应的向上累积次数；表示中位数所在组对应的向上累积次数；表示中位数所在组对应的次数；表示中位数所在组对应的次数；表示组距；表示组距；为总次数。为总次数。例例4根据下列次数分布表中数据计算中位数。根据下列次数分布表中数据计算中位数。解：解：寻寻找找中中位位数数所所在在组组，因因由由向向上上累积次数可知中位数所在组为这一组。累积次数可知中位数所在组为这一组。赋赋值值，代入公式（）得代入公式（）得第三节、几何平均数第三节、几何平均数n一、一、概念概念n二、二、计算公式计算公式三、几何平均数在教育上的应用三、几何平均数在教育上的应用1.1.求平均发展速度和平均增长率求平均发展速度和
11、平均增长率2.2.进行预测估计进行预测估计第三节、几何平均数第三节、几何平均数一、概念一、概念 个个数数值值的的连连乘乘积积的的次次方方根根，称称为为几几何何平平均均数数，用用符符号号表表示示。几几何何平平均均数数也也是是平平均均数数的的一一种种，如如果果一一组组数数据据值值按按比比例例递递增增或或递递减减，表表示示其其平平均均水水平平时时应应使使用用几几何何平平均均数数。几几何何平平均均数数一一般般用用于于计计算算平平均均发发展展速速度度、平平均均增增长长速速率率等等统统计计指标。指标。二、计算公式二、计算公式几何平均数的计算公式为：几何平均数的计算公式为：（）（）式中，为式中，为n个数据值
12、。个数据值。例如例如2、6、18这三个数的几何平均数为这三个数的几何平均数为如果数据的个数较多，求几何平均数时就需开如果数据的个数较多，求几何平均数时就需开高次方，通常需借助计算器来完成。高次方，通常需借助计算器来完成。三、几何平均数在心理和教育上三、几何平均数在心理和教育上的应用的应用1.求平均发展速度和平均增长率求平均发展速度和平均增长率平平均均发发展展速速度度是是各各阶阶段段发发展展速速度度的的平平均值。均值。平均增长率平均增长率平均发展速度平均发展速度1。设设为各阶段某种统计量值，其中为初期量、为各阶段某种统计量值，其中为初期量、为末期量，为末期量，为各阶段环比发展速度。即为各阶段环比
13、发展速度。即的几何平均数便是平均发展速度。的几何平均数便是平均发展速度。(3.7)说说明明只只要要知知道道初初期期量量和和末末期期量量，就就可可以以用用公公式式（）求求平平均均发发展速度。展速度。若以表示平均增长率，则若以表示平均增长率，则=MG1（）（）（）例例5某高校某高校1980年年1985年在校生人数如表年在校生人数如表34。求年平均增长率。求年平均增长率。解：解：先先求求逐逐年年发发展展速速度度。用用每每一一年年与与其其上上一一年年量量值值的的环比求出逐年的发展速度列入表环比求出逐年的发展速度列入表34的第的第3列。列。计计算算平平均均发发展展速速度度。将将表表中中第第3列列数数据据
14、代代入入公公式式（）得：（）得：也可由公式（）直接计算。也可由公式（）直接计算。计算平均增长率计算平均增长率所所以以，19801985年年我我国国普普通通高高等等院院校校的的在在校校生生人人数是以每年平均数是以每年平均8%的速度递增。的速度递增。例例619951999年年某某小小学学的的教教学学设设备备数数见见表表35,求求年年平平均均增增长长率率。若若按按此此比比率率增增加加，问问2001年该小学的教学设备数是多少？年该小学的教学设备数是多少？2.进行预测估计进行预测估计解：解：（1）求平均发展速度）求平均发展速度，由公式（）。由公式（）。（2）计算平均增长率）计算平均增长率，由公式（）得由
15、公式（）得即年平均增长率为即年平均增长率为22.23%。（ 3） 计计 算算 2001年年 该该 小小 学学 的的 教教 学学 设设 备备 数数 。 已已 知知 求求由公式（）得由公式（）得（件件），即即2001年年的的科科研研事事业业费费可可能能达达到到187件。件。习习题题1有有三三组组个个数数相相同同的的同同质质数数据据，其其算算术术平平均均数数分分别别为为、，则总体算术平均数为：、，则总体算术平均数为： 2.2.有有个个数数据据、，它它们们的中位数为：的中位数为： 3、已已知知某某小小学学经经过过6年年，在在校校学学生生人人数数由由468人人发发展展为为1245人，其增长率为：人，其增长率为：A17.71%B11.17%C17.17%D11.71%4某班一次考试成绩的次数分布表为：某班一次考试成绩的次数分布表为：计算平均成绩；计算平均成绩；计算中位数。计算中位数。
