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1、第三章 多维随机变量及其分布关键词：二维随机变量分布函数 分布律 概率密度边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密度条件分布函数 条件分布律 条件概率密度随机变量的独立性Z=X+Y的概率密度M=max(X,Y)的概率密度N=min(X,Y)的概率密度11 二维随机变量问题的提出例1：研究某一地区学龄儿童的发育情况。仅研究身高H H的分布或仅研究体重W W的分布是不够的。需要同时考察每个儿童的身高和体重值，研究身高和体重之间的关系，这就要引入定义在同一样本空间的两个随机变量。例2：研究某种型号炮弹的弹着点分布。每枚炮弹的弹着点位置需要由横坐标和纵坐标来确定，而它们是定义在同一样本空间的两个随机变量。
2、2定义：设定义：设E E是一个随机试验，样本空间是一个随机试验，样本空间S=eS=e；设设X=X(e)X=X(e)和和Y=Y(e)Y=Y(e)是定义是定义在在S S上的随机变量，由它们构成的上的随机变量，由它们构成的向量向量(X,Y)(X,Y)叫做二维随机向量叫做二维随机向量或二维随机变量。或二维随机变量。0Se定义：设定义：设(X,Y)(X,Y)是二维随机变量对于任意实数是二维随机变量对于任意实数x,yx,y，二元函数二元函数 称为二维随机变量称为二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数。的分布函数。3几何意义几何意义几何意义几何意义(X,Y)(X,Y)平面上随机点的平面上随机点的 坐标坐
3、标 即为随机点即为随机点(X,Y)(X,Y)落在以点落在以点( (x,yx,y) )为顶点为顶点, ,位于位于该点左下方的无穷矩形区域该点左下方的无穷矩形区域G G内的概率值。内的概率值。4 分布函数 的性质x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)506 2. 二维离散型随机变量的联合分布中心问题中心问题中心问题中心问题：(X,Y)(X,Y)(X,Y)(X,Y)取这些取这些可能可能值的概率分别为多少？值的概率分别为多少？ 定义定义 若二维若二维 r.v.（X，Y）所有可能的取值是有）所有可能的取值是有限对或无限可列对，则称（限对或无限可列对，则称（X，Y）是二维离散
4、）是二维离散型随机变量。型随机变量。则则(1)公式法公式法二维（二维（二维（二维（X X X X，Y Y Y Y）的联合分布律的联合分布律的联合分布律的联合分布律: : : :(2)(2)(2)(2)表格法表格法表格法表格法X Y(X,Y)的概率分布表：的概率分布表：描述描述(X,Y)的取值规律的取值规律例例1 1： 将一枚硬币连掷三次，令将一枚硬币连掷三次，令X=X=“正面出现正面出现的次数的次数”，Y=Y=“正反面次数之差的绝对值正反面次数之差的绝对值”，试求试求(X,Y)(X,Y)的联合分布律。的联合分布律。（0,30,3）（）（1,11,1）（）（2,12,1）（）（3,33,3）P(
5、X=0,Y=3)=P(反反反反反反)=1/8解解: (X,Y)所有可能的取值为：所有可能的取值为：0123103/83/8031/8001/8XY例例2:2: 设随机变量设随机变量X X在在1,2,3,41,2,3,4中随机地取一个中随机地取一个数数, ,另一随机变量另一随机变量Y Y在在1 1到到X X中随机地取一整数中随机地取一整数. .求求(X,Y)(X,Y)的的分布律。分布律。分析 (X,Y)所有可能的取值为： (1,1); (2,1)、(2,2); (3,1)、(3,2)、 (3,3); (4,1)、(4,2)、 (4,3)、(4,4).解：解：设设X可能的取值为可能的取值为Y可能的
6、取值为可能的取值为则：则：123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为:XY 二维连续型随机变量14说明说明(2) 的性的性质质(1)分布函数分布函数 是连续函数是连续函数. (因为因为 (2)是积分上限函数是积分上限函数)反映反映(X,Y)落在落在 处附近的概率大小处附近的概率大小概率微分概率微分描述描述(X,Y)的取值规律的取值规律G181 例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度： 1920 例4：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度 (1) 求常数k；(2) 求概率 解：1212 边缘分布
7、 二维随机变量(X,Y)作为整体，有分布函数 其中X和Y都是随机变量，它们的分布函数 记为： 称为边缘分布函数边缘分布函数。事实上，22对于离散型随机变量(X,Y)，分布律为p11p12p1jp1p21p22p2jp2pi1pi2pijpi XYy1y2yjp1p2p.j1X,Y的边缘分布律为：注意：23我们常在表格上直接求边缘分布律我们常在表格上直接求边缘分布律我们常在表格上直接求边缘分布律我们常在表格上直接求边缘分布律XY1例例: : 求例求例1 1中二维随机变量中二维随机变量(X,Y)(X,Y)关于关于X X与与Y Y的的边缘分布律边缘分布律. .0123103/83/8031/8001
8、/81X X与与Y Y的边缘分布律如下的边缘分布律如下: :0123Y13对于连续型随机变量(X,Y)，概率密度为事实上，同理： X,Y的边缘概率密度为：27 例2：(X,Y)的联合分布律为 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； (3) YX-1100.20.1a120.1 0.2bX10.420.6Y0.3 0.5-1100.2(2) 解： (1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.428 例3：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度则称(X,Y)在G上服从均匀分布均匀分布。现设(X,Y)在有界区域上均匀分布，其概率密度为 求边
9、缘概率密度 解：29 30二维正态分布的图形二维正态分布的图形3132作业题P.84 2、3、5、6、8、9331. 当（当（X，Y）为离散型）为离散型三三. 二维随机变量的条件分布二维随机变量的条件分布定义定义 在在(X,Y)中，当一个随机变量取固定值的条件中，当一个随机变量取固定值的条件下，另一个随机变量的分布，此分布为下，另一个随机变量的分布，此分布为条件分布条件分布在在 条件下，条件下，X的条件分布的条件分布固定值固定值自变量自变量同理同理总和总和分量分量1/161/120031/1600041/161/121/8021/161/121/81/414321XY1/41/41/41/42
10、5/4813/487/483/48例例8 8 在例在例2 2中，中，求：求：(1) (1) 在在X=X=3 3的条件下的条件下Y Y的条件分的条件分布律；布律； (2) 求在求在Y=1的条件下的条件下X的条件分布律。的条件分布律。因为：因为：所以，所以，类似可求：类似可求：2.2.当（当（X X，Y Y）为连续型为连续型固定值固定值自变量自变量总和总和分量分量例例: :设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的的 概率密度为：概率密度为：解解独立性独立性独立性独立性复习复习复习复习: : 两个事件两个事件两个事件两个事件A A与与与与B B独立性的定义独立性的定义独立性的定义独立性的定
11、义P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性1 1 1 1、定义、定义、定义、定义：设设X X与与Y Y是两个随机变量是两个随机变量, ,若对任意的若对任意的(1)(1)(1)(1)由定义可知由定义可知由定义可知由定义可知：若：若X X与与Y Y独立独立, ,则则(2)(2)离散型离散型随机变量随机变量，X X与与Y Y相互独立的充要条件为相互独立的充要条件为: :(3)连续型随机变量，连续型随机变量，X与与Y相互独立的充要条件为相互独立的充要条件为:2 2、随机变量独立性的重要结论随机变量独立性的重要结论随机变量独立性的重要结论随机变量独
12、立性的重要结论(4) 联合分布和边缘分布的关系联合分布和边缘分布的关系联合分布联合分布边缘分布边缘分布条件：独立性条件：独立性例例: : 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的的概率密度为概率密度为: :YX01P(y=j)12P(X=i)YX01P(y=j)12P(X=i) ) 51 52 5354 一般一般n n维随机变量的一些概念和结果维随机变量的一些概念和结果 55 边缘分布边缘分布 如：56 相互独立相互独立 57作业题P.86：12、14、16、17(1)581. (X,Y)离散离散加法加法使使 对应的对应的(X,Y)的那些可能的那些可能值值, 其概率之和其概率之和5
13、两个随机变量的函数的分布59例例1:1:设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为: :0123103/83/8031/8001/8求求Z=X+Y的分布律的分布律.解解: :Z Z的所有取值为的所有取值为: :1, 2, 3, 4, 5, 6.60Z123456pk03/84/8001/861 2. (X,Y)连续型连续型方法方法: 分布函数法分布函数法 62 下面我们就几个具体的函数来讨论下面我们就几个具体的函数来讨论Z=X+Y的分布的分布由概率密度的定义可得由概率密度的定义可得Z的概率密度为：的概率密度为：固定固定 特别地，当特别地，当X和和Y相互独立时，上述两式
14、变为相互独立时，上述两式变为（称为（称为卷积公式卷积公式）：）：例例1:设设X和和Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,它们都服从它们都服从N(0,1),即有即有求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。解：解：由卷积公式由卷积公式结论结论: 分布的可加性分布的可加性例例2:设随机变量设随机变量X与与Y独立同分布，独立同分布，X的概率密的概率密度为：度为：求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。解：解：由卷积公式由卷积公式012. M=max(X,Y)2. M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)N=min(X,Y)的分布的分布 设设X,YX,Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独
15、立的随机变量, ,它们它们的分布函数分别为的分布函数分别为F FX X(x)(x)和和F FY Y(y(y) )。由于由于 现在来求现在来求M=M=max(X,Ymax(X,Y) )及及N=N=min(X,Ymin(X,Y) )的的分布函数。分布函数。(1)M=max(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：(2) N=min(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：例例1：设系统设系统L由两个相互独立的子系统由两个相互独立的子系统L1，L2联接联接而成，联接方式分别为而成，联接方式分别为: (1)串联串联;(2)并联并联;(3)备用备用(当当L1损坏时，损坏时，L2开始工作开始工作)，如图所示。，如
16、图所示。（1）（2） （3）L1，L2的寿命分别用的寿命分别用X，Y表示，已知它们的概率密表示，已知它们的概率密度分别为度分别为:试就以上三种联接方式分别写出试就以上三种联接方式分别写出L L的寿命的寿命Z Z的概率密度的概率密度. .解解:(1):(1)串联的情况串联的情况: Z = min (X,Y)X,Y的分布函数分别为：的分布函数分别为：Z = min (X,Y)的分布函数为：的分布函数为：Z的概率密度为的概率密度为:（2 2）并联的情况：）并联的情况：Z=max(X,Y)Z = max (X,Y)的分布函数为：的分布函数为：Z的概率密度为的概率密度为:（3 3）备用的情况：）备用的情
17、况：Z=X+YZ=X+YZ Z的概率密度为的概率密度为: : 81作业题P.87： 24题、 29题、36题82复习复习联合分布函数联合分布函数，联合分布律联合分布律，联合概率密度联合概率密度83复习复习-边缘分布边缘分布84复习复习-条件分布律，条件密度函数条件分布律，条件密度函数85(1)(1)由定义可知由定义可知：若X与Y独立,则(2)(2)离散型离散型随机变量随机变量，X X与与Y Y相互独立的充要条件为相互独立的充要条件为: :(3)连续型随机变量，连续型随机变量，X与与Y相互独立的充要条件为相互独立的充要条件为:随机变量独立性的重要结论随机变量独立性的重要结论随机变量独立性的重要结论随机变量独立性的重要结论861. (X,Y)离散离散加法加法使使 对应的对应的(X,Y)的那些可的那些可能值能值,其概率之和其概率之和5 两个随机变量的函数的分布87 2. (X,Y)连续型连续型方法方法: 分布函数法分布函数法 88 特别地，当特别地，当X和和Y相互独立时，上述两式变为相互独立时，上述两式变为（称为（称为卷积公式卷积公式）：）：89(2) X,Y相互独立时，相互独立时，M=max(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：90(3) X,Y相互独立时，相互独立时， N=min(X,Y)的分布函数为：的分布函数为：91
