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1、14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线1.假假设曲面方程曲面方程为过曲面上点过曲面上点 恣意作一条在曲面上的恣意作一条在曲面上的曲线曲线 ，(如图如图) 设其方程为设其方程为显然有然有在上式两端对在上式两端对 求导，得求导，得14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线由于由于 的恣意性，可见曲面上过的恣意性，可见曲面上过 的任一条曲线的任一条曲线 在在该点的切线都与该点的切线都与 正交，因此这些切线应在同一平面正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在上，这个平面称为曲面在 点的切平面，而点的切平面，而 就是就是切平面的法向量
2、。切平面的法向量。在在 点设点设 点对应于参数点对应于参数 有有14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线过过 点与切平面垂直的直线，称为曲面在点与切平面垂直的直线，称为曲面在 点的点的法线，其方程为法线，其方程为该法法线的一的一组方向数方向数为：从而曲面在从而曲面在 点的切平面方程为点的切平面方程为14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线综上所述假上所述假设曲面方程曲面方程为那么该曲面在那么该曲面在 点的切平面方程点的切平面方程为为过过 点的法线方程为点的法线方程为14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线设设 分别为曲面在分别为曲面在 点的法线与点的法线与 轴正向之轴正向之间
3、的夹角，那末在间的夹角，那末在 点的法线方向余弦为点的法线方向余弦为14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线2.假假设曲面方程曲面方程为容易把它化成容易把它化成刚刚讨论过的情形：的情形：于是曲面在于是曲面在 这里这里 点的切平面点的切平面方程为方程为法法线方程方程为14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线3.假假设曲面方程曲面方程为参数方参数方式：式：假设由方程组假设由方程组 可以确定两个函数：可以确定两个函数：于是可以将于是可以将 看成看成 的函数，从而可以将问题化为的函数，从而可以将问题化为刚刚曾经讨论过的情形。刚刚曾经讨论过的情形。代入方程代入方程 ，得，得因此需分别计算因此
4、需分别计算 对对 的偏导数。的偏导数。14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线将将 分别对分别对 求导，留意到求导，留意到 为为 的函数按隐函数求导法那么有的函数按隐函数求导法那么有解方程解方程组，得，得14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线法法线方程方程于是曲面在于是曲面在 点的切平面方程为点的切平面方程为14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线例例 1 求球面求球面 在点在点 的切平面的切平面及法线方程及法线方程.解解设那么所以在点所以在点 处处 球面的切平面方程为球面的切平面方程为法法线方程方程14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线4.曲面的曲面的夹角角 两个
5、曲面在交两个曲面在交线上某点上某点处的两个法的两个法线的的夹角称角称为这两两个曲面在个曲面在该点的点的夹角。角。 假假设两个曲面在两个曲面在该点的点的夹角等于角等于 90 度，那么称度，那么称这两个两个曲面在曲面在该点正交。假点正交。假设两曲面在交两曲面在交线的每一点都正交，那的每一点都正交，那么称么称这两曲面两曲面为正交曲面。正交曲面。例例 2 证明对恣意常数证明对恣意常数 ，球面，球面 与锥与锥面面 是正交的。是正交的。14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线即即证明明 球面球面 的法线方向数为的法线方向数为锥面锥面 的法线方向数为的法线方向数为在两曲面交线上的任一点在两曲面交线上的任一点 处，两法向量的内积处，两法向量的内积因因 在曲面上，上式右端等于在曲面上，上式右端等于 0 ，所以曲面与锥，所以曲面与锥面正交。面正交。14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线解切平面方程切平面方程为法法线方程方程为椭球面在给定点的切平面法向量为14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线解解 令令切平面方程切平面方程法法线方程方程14.5. 曲面的切平面与法曲面的切平面与法线解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程切平面方程为依依题意，切平面方程平行于知平面，得意，切平面方程平行于知平面，得
