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1、 第第9章章 平面弯杆弯平面弯杆弯 曲曲 变变 形与刚度计形与刚度计算算 9.1 挠曲线挠曲线 挠度和转角挠度和转角 9.2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 9.3 积分法求梁的变形积分法求梁的变形 9.4 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设梁的刚度条件与合理刚度设计计 9.6 用变形比较法解简单超静定用变形比较法解简单超静定梁梁1、梁的变形特点、梁的变形特点PxCC1w(x) w(x)挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度
2、挠曲线挠曲线 9.1 挠曲线挠曲线 挠度和转角挠度和转角平面假设平面假设小变形（小挠度）小变形（小挠度）挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线挠曲线方程挠曲线方程2，意义，意义工业厂房钢筋混凝土吊梁工业厂房钢筋混凝土吊梁普通机车主轴普通机车主轴符号给定：符号给定： 正值的挠度向下，负值的向上；正值的正值的挠度向下，负值的向上；正值的 转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向3，影响变形的因素，影响变形的因素4，计算变形的方法，计算变形的方法积分法、积分法、 叠加法、叠加法、能量法、能量法、1 1、挠曲线近似微分方程、挠曲线近似微分方
3、程挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程小变形小变形M 0M 0 9.2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程* 思考：思考：1、挠曲线方程（弹性曲线）挠曲线方程（弹性曲线） 9.3 积分法求梁的变形积分法求梁的变形2、边界条件、连续条件、边界条件、连续条件PDPABC* 注意问题注意问题什么时候需要分段积分？什么时候需要分段积分？如何确定极值？如何确定极值？PL1L2ABC例例9.1 9.1 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。角。 弯矩方程弯矩方程 微分方程的积分微分方程的积分边界条件、连续条件边界条件、连续条件PLxw 弹性曲线方程弹性曲线方
4、程 最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角xPLwLq0BA例例9.2 9.2 均布荷载下的简支梁，均布荷载下的简支梁，EIEI已知，已知，求挠度及两端求挠度及两端截面的转角。截面的转角。解：解：1 确定反力确定反力2 求出弯矩方程求出弯矩方程x3 3 微分方程的积分微分方程的积分4 4 边界条件、连续条件边界条件、连续条件5 梁的转角方程和挠曲线方程梁的转角方程和挠曲线方程6 梁的最大挠度：根据对称性梁的最大挠度：根据对称性7 梁两端的转角梁两端的转角例例9.3 9.3 集中力下的简支梁，集中力下的简支梁，EIEI已知，已知，求挠曲线方程求挠曲线方程和转角方程，最大挠度及最大转角。和转角方程，
5、最大挠度及最大转角。FalAB解：解：1 确定反力确定反力2 求出弯矩方程求出弯矩方程3 3 微分方程的积分微分方程的积分积分一次：积分一次：再积分一次：再积分一次：4 4 边界条件、连续条件边界条件、连续条件边界条件边界条件连续条件连续条件积分成数为积分成数为5 梁的转角方程和挠曲线方程梁的转角方程和挠曲线方程6 最大转角最大转角6 最大挠度最大挠度例、例、试试用用积积分法求分法求图图示梁的示梁的转转角方程和角方程和挠挠曲曲线线方程，并求方程，并求截面的截面的转转角和角和截面的截面的挠挠度。度。设设常量。常量。 解：解：1 确定反力确定反力2 求出弯矩方程求出弯矩方程3 3 微分方程的积分微
6、分方程的积分4 4 边界条件、连续条件边界条件、连续条件5 梁的转角方程和挠曲线方程梁的转角方程和挠曲线方程在小变形条件下，材料服从虎克定律在小变形条件下，材料服从虎克定律几个载荷共同作用的变形几个载荷共同作用的变形 = 各个载荷单独作用的变形之和各个载荷单独作用的变形之和叠加原理叠加原理 9.4 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形内力内力与外力与外力成线性关系成线性关系LBAxBAxBAx+=例例9.4 9.4 简支梁的简支梁的EIEI已知，已知，用叠加法用叠加法求梁跨中截面的位移和支座求梁跨中截面的位移和支座B B的转角。的转角。载荷分解如图载荷分解如图 均布载荷单独作用时均布载荷单独作用时
7、集中力偶单独作用时集中力偶单独作用时 叠加叠加+=例例9.59.5简支梁的简支梁的EIEI已知，已知，用叠加法求梁用叠加法求梁跨中截面的位移和两端截面的转角。跨中截面的位移和两端截面的转角。 载荷分解如图载荷分解如图 对称均布载荷单独作用时对称均布载荷单独作用时集中力偶单独作用时集中力偶单独作用时xxx 叠加叠加例例 用用叠加原理求叠加原理求A点转点转角和角和C点挠度点挠度。载荷分解如图载荷分解如图 查简单载荷变形表查简单载荷变形表=+PABqAB qPABCaa AAAqqPP=+BBBCaa叠加叠加 逐段刚性法：逐段刚性法： 研究前一段梁时，暂将后面的各研究前一段梁时，暂将后面的各段梁视为
8、刚体，前一段梁末端截面的段梁视为刚体，前一段梁末端截面的位移为后一段梁提供一个刚体位移；位移为后一段梁提供一个刚体位移；在研究后一段梁时，将已变形的前一在研究后一段梁时，将已变形的前一段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的变形叠加在前一段梁的所提供的刚性变形叠加在前一段梁的所提供的刚性位移上，从而得到后一段梁的总位移位移上，从而得到后一段梁的总位移9.6 用逐段刚性法求阶梯悬臂梁自由用逐段刚性法求阶梯悬臂梁自由端的挠度和转角端的挠度和转角把变形后的把变形后的AC刚性化刚性化把未变形把未变形CB刚性化刚性化求求ACAC的变形时，的变形时，CBCB刚化刚化 ACAC变形引
9、起变形引起CBCB的变形的变形求求CBCB的变形，把变形后的的变形，把变形后的ACAC刚化，刚化， 此时此时CBCB可可看成以看成以C C为固定端的悬臂梁为固定端的悬臂梁把变形后的把变形后的AC刚刚性化性化 B B截面的位移等于截面的位移等于ACAC段变形引起段变形引起CBCB的刚性位移和的刚性位移和CBCB自身弯曲引起的位移自身弯曲引起的位移9.7 用逐段刚性法求解简支外伸梁的用逐段刚性法求解简支外伸梁的挠度挠度把未变形把未变形BC刚性化刚性化把变形后的把变形后的AB刚性化刚性化求求ABAB的变形时，把的变形时，把BCBC刚化刚化 ABAB变形引起变形引起BCBC的变形的变形求求BCBC的变
10、形，把变形后的的变形，把变形后的ABAB刚化，刚化， 此时此时BCBC可可看成以看成以B B为固定端的悬臂梁为固定端的悬臂梁把变形后的把变形后的AB刚性化刚性化 C C截面的位移等于截面的位移等于ABAB段变形引起段变形引起BCBC的刚性位移和的刚性位移和BCBC自身弯曲引起的位移自身弯曲引起的位移 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设梁的刚度条件与合理刚度设计计 9.5 .1 梁的刚度条件梁的刚度条件 抗扭刚度抗扭刚度、校核刚度校核刚度* 三种计算三种计算、设计截面尺寸设计截面尺寸、设计载荷设计载荷PL=400mmP2=2kNACa=0.1m200mmDP1=1kNB例例 空心圆杆，空心圆杆，d
11、=40mm、D=80mm，E=210GPa，工程规定，工程规定C点的点的 w/L=0.00001, ,B点的点的 =0.001弧度弧度, ,校校核此杆的刚度。核此杆的刚度。校核刚度校核刚度不安全不安全 9.5 .2 梁的合理刚度设计梁的合理刚度设计梁跨度的选取梁跨度的选取 制作约束和加载方式的合理安排制作约束和加载方式的合理安排梁截面的合理选取梁截面的合理选取 梁材料的合理选取梁材料的合理选取建立静定基建立静定基 用反力代替多余约束用反力代替多余约束的结构的结构=q0LABq0LFBABLq0MABA1 1、处理方法、处理方法变形协调方程变形协调方程物理方程物理方程平衡方程平衡方程静定基静定基
12、 9.6 用变形比较法解简单超静定用变形比较法解简单超静定梁梁变形协调方程变形协调方程+q0LFBAB=FBABq0AB物理方程物理方程补充方程补充方程约束力确定后，约束力确定后，3 便成为静定结构，所以其便成为静定结构，所以其 它支座的约束反力可以方便求出它支座的约束反力可以方便求出求求图图示示CD杆的轴力杆的轴力FN，已知梁，已知梁ABC的抗弯刚度为的抗弯刚度为EI，杆，杆CD的抗拉、的抗拉、抗压刚度为抗压刚度为EA设设CDCD的轴力为的轴力为FN 协调方程协调方程物理关系物理关系代入协调方程代入协调方程一一长为长为 L 的的悬悬臂梁臂梁 CD，在其端点，在其端点 D 处经处经一一滚滚柱由下面另一柱由下面另一悬悬臂梁臂梁 AB实实行行弹弹性加固，性加固， 已知梁已知梁CD的抗弯的抗弯刚刚度度为为EI，梁，梁 AB的抗弯的抗弯刚刚度度为为2EI ，现现在梁在梁AB的的B端作用一垂直于端作用一垂直于AB梁、大小梁、大小为为P的力，求的力，求C 处处的的约约束反力。束反力。 附表：附表：解：解：1. 解除解除D处的弹性约束，处的弹性约束，则变形协调条件为则变形协调条件为4研究研究CD 杆杆2. 物理关系物理关系3. 代入变形协调条件代入变形协调条件
