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1、二二 次次 曲曲 面面二次曲面的定义：二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之三元二次方程所表示的曲面称之相应地平面被称为相应地平面被称为一次曲面一次曲面讨论二次曲面性状的讨论二次曲面性状的截痕法截痕法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面一、基本内容一、基本内容营口地区成人高等教育 QQ群 54356621（一）椭球面（一）椭球面 椭球面与椭球面与三个坐标面
2、三个坐标面的交线：的交线：营口地区成人高等教育 QQ群 54356621椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面椭球面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆同理与平面同理与平面 和和 的交线也是椭圆的交线也是椭圆.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转而成轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的旋转椭球面与椭球面的区别区别：方程可写为方程可写为与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621球面球面截面上圆的方程截面上圆的方程方程可写
3、为方程可写为营口地区成人高等教育 QQ群 54356621（二）抛物面（二）抛物面（ 与与 同号）同号）椭圆抛物面椭圆抛物面用截痕法讨论：用截痕法讨论：（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点设设原点也叫椭圆抛物面的原点也叫椭圆抛物面的顶点顶点.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 不相交不相交.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得抛物线截得抛物线营口地区成人高等教育 QQ群 54356621与平面与平面
4、 的交线为抛物线的交线为抛物线.它的轴平行于它的轴平行于 轴轴顶点顶点（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截均可得抛物线均可得抛物线.同理当同理当 时可类似讨论时可类似讨论.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：椭圆抛物面的图形如下：营口地区成人高等教育 QQ群 54356621特殊地：当特殊地：当 时，方程变为时，方程变为旋转抛物面旋转抛物面（由（由 面上的抛物线面上的抛物线 绕它的轴绕它的轴旋转而成的）旋转而成的）与平面与平面 的交线为圆的交线为圆.当当 变动时，这种圆变动时，这种圆的的中心中心都在都在 轴上轴上.营口地区成人高等教
5、育 QQ群 54356621（ 与与 同号）同号）双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：用截痕法讨论：设设图形如下：图形如下：xyzo营口地区成人高等教育 QQ群 54356621（三）双曲面（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面（1）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点截得中心在原点 的椭圆的椭圆.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621与平面与平面 的交线为椭圆的交线为椭圆.当当 变动时，这种椭变动时，这种椭圆的圆的中心中心都在都在 轴上轴上.（2）用坐标面）用坐标面 与曲面相截与曲面相截截得中心在原点的双曲线截得中心在原点的双曲线.实轴与实轴与 轴相合，
6、轴相合，虚轴与虚轴与 轴相合轴相合.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621双曲线的双曲线的中心中心都在都在 轴上轴上.与平面与平面 的交线为双曲线的交线为双曲线.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.实轴与实轴与 轴平行轴平行,虚轴与虚轴与 轴平行轴平行.截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621截痕为一对相交于点截痕为一对相交于点 的直线的直线.（3）用坐标面）用坐标面 ， 与曲面相截与曲面相截均可得双曲线均可得双曲线.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621单叶双曲面图形单叶双曲面图形 xyoz平面平面
7、 的截痕是的截痕是两对相交直线两对相交直线.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621双叶双曲面双叶双曲面xyo营口地区成人高等教育 QQ群 54356621椭球面、抛物面、双曲面、椭球面、抛物面、双曲面、截痕法截痕法.（熟知这几个常见曲面的特性）（熟知这几个常见曲面的特性）二、小结二、小结营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题思考题方程方程表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题解答思考题解答表示双曲线表示双曲线.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621空间曲线及其方程空间曲线及其方程空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲
8、线上的点都满足曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程不能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例例2 2 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图
9、交线如图.营口地区成人高等教育 QQ群 54356621空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程营口地区成人高等教育 QQ群 54356621 动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解营口地区成人高等教育 QQ群 54356621螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距营口地区成人高等教育 QQ群 54356621消去变量消去
10、变量z后得：后得：曲线关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面设空间曲线的一般方程：设空间曲线的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影营口地区成人高等教育 QQ群 54356621如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面营口地区成人高等教育 QQ群 54356621类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影面上的面上的投影曲线投影曲线,面上的面上的投影曲线投影曲线,
11、空间曲线在空间曲线在 面上的面上的投影曲线投影曲线营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例例4 4 求曲线求曲线 在坐标面上的投影在坐标面上的投影.解解（1）消去变量）消去变量z后得后得在在 面上的投影为面上的投影为营口地区成人高等教育 QQ群 54356621所以在所以在 面上的投影为线段面上的投影为线段.（3）同理在）同理在 面上的投影也为线段面上的投影也为线段.（2）因为曲线在平面）因为曲线在平面 上，上，营口地区成人高等教育 QQ群 54356621截线方程为截线方程为解解如图如图,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621营口地区成人高等教育 QQ群 54356621补充
12、补充: : 空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影. .空空间间立立体体曲曲面面营口地区成人高等教育 QQ群 54356621例例6解解半球面和锥面的交线为半球面和锥面的交线为营口地区成人高等教育 QQ群 54356621一个圆一个圆,营口地区成人高等教育 QQ群 54356621空间曲线的一般方程、参数方程空间曲线的一般方程、参数方程四、小结四、小结空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题思考题营口地区成人高等教育 QQ群 54356621思考题解答思考题解答交线方程为交线方程为在在 面上的投影为面上的投影为营口地区成人高等教育 QQ群 54356621
