矩阵理论第四讲最小多项式课件

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1、信息科学与工程学院矩阵理论-第四讲兰州大学信息科学与工程学院2004年1信息科学与工程学院上节内容回顾化方阵A为Jordan标准形特征向量法初等变换法多项式矩阵（ 矩阵）多项式矩阵的Smith标准型不变因子、初等因子行列式因子法 的相似变换矩阵P的求法1.在A的Jordan矩阵中构构造造k个个以 为对角元素的Jordan块2.k个Jordan块的阶数之阶数之和和等于2信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理任一方阵都是它的特征多项式的根Hamilton-Cayley定理设 ， ，则证明：由于 显然运算结果是一个运算结果是一个多项式多项式运算结果是一个运算结果是一个数数运算结果是一个

2、运算结果是一个矩阵矩阵运算结果是一个运算结果是一个零矩阵零矩阵3信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理任一方阵都是它的特征多项式的根证明： 考察J：4信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理将J写成如下形式：上式中 是A 的n个根，所以将矩阵A代入上式，形成一个矩阵多项式，：将 代入上式：5信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理6信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理7信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理8信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理任一方阵都是它的特征多项式的根证明：仿照常数矩阵的伴随矩阵的定义，定

3、义多项式矩阵的伴随矩阵：设 其中： 是 的行列式的第i行第j列元素的代数余子式，那么与常数矩阵类似：9信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理设 是矩阵A的特征矩阵的伴随矩阵，那么 是次数为n的多项式：再考察 ，其每个元素的次数均不超过n 1:10信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理 令:利用矩阵加法的定义 将 分解11信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理 考察等式 的右边：考察其左边：比较两边的系数：12信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理以 依次右乘这些等式：+=13信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理的应用化简矩

4、阵多项式的计算：当n阶方阵的矩阵多项式 中A的最高次幂超过n时，可用多项式的带余除法，将此矩阵多项式对应的多项式 表示为 与商 的积，再加上余式 的形式：那么根据Hamilton-Cayley定理这样可简化 的计算多项式的带余除法设 ， 为任意多项式， 不恒等于0，则必有两个多项式 和 ，使得式中 或 14信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理的应用举例：给出：求1. ；2. ；3. ； 15信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理的应用商： 16信息科学与工程学院Hamilton-Cayley定理的应用所以：第2个问题第3个问题：待定系数法17信息科学与工程学院方阵

5、的零化多项式和最小多项式方阵的零化多项式设 ， 是多项式，如果 成立，则称 为方阵A的零化多项式 是A的零化多项式 不恒等于零， 是A的零化多项式方阵的最小多项式设 ，在A的零化多项式中，次数最低的首一多项式称为A的最小多项式，记为设 ， 且 ， 成立，且 是唯一的 证明：采用反证法设 是A的任一零化多项式，假设 不能整除 ，则根据多项式的带余除法：18信息科学与工程学院方阵的零化多项式和最小多项式而 是A的最小多项式：与假设矛盾再证最小多项式的唯一性假设 也是A的最小多项式首先， 、 均成立其次， 与 次数相同，否则其中一个不是最小多项式因此， 、 的商为常数因子又因为 与 都是首一的，此常

6、数因子必等于1所以 19信息科学与工程学院方阵的零化多项式和最小多项式定理定理矩阵A的特征根也必定是A的最小多项式的根；A的最小多项式的根必定是A的特征根证明证明：根据矩阵多项式的特征值的定理，即设 是 的特征值 ，矩阵多项式 的特征值为并且，若 则A的任一特征值满足 是A的次数最低的、首一的零化多项式： 即：A的特征根也必定是A的最小多项式的根 又：设 是 的根，即 ，可得 是A的特征根20信息科学与工程学院方阵的零化多项式和最小多项式矩阵矩阵A的特征根也必定是的特征根也必定是A的最小多项式的根，由此可得到求最的最小多项式的根，由此可得到求最小多项式的一个方法：小多项式的一个方法：设 的所有

7、不同的特征值为 ，则其特征多项式可写为：那么A的最小多项式应该具有如下形式：这就是下述定理所描述的内容：定理定理设 ， 是A的所有互不相同的特征值，则其中 是A的Jordan标准形中含 的Jordan块的最高阶数21信息科学与工程学院方阵的零化多项式和最小多项式 可能相同可能相同22信息科学与工程学院方阵的零化多项式和最小多项式定理定理设 ， 是A的特征矩阵 的n 1阶行列式因子，则A的最小多项式为：23信息科学与工程学院方阵的零化多项式和最小多项式举例：举例：求的最小多项式方法1最小多项式只能有以下形式次数从低到高依次验证所以24信息科学与工程学院方阵的零化多项式和最小多项式举例：举例：求的

8、最小多项式方法2 (Jordan标准形法) ：A的Jordan标准形中含 的Jordan块的最高阶数25信息科学与工程学院方阵的零化多项式和最小多项式举例：举例：求的最小多项式方法1 (第n阶不变因子)26信息科学与工程学院方阵的零化多项式和最小多项式举例：举例：求的最小多项式方法2 (Jordan标准形法)：A的Jordan标准形中含 的Jordan块的最高阶数27信息科学与工程学院多项式矩阵的逆多项式矩阵的逆多项式矩阵的逆设 ，若 ，使得 成立则称 是可逆的，或称 是单模矩阵单模矩阵多项式矩阵的逆是唯一的多项式矩阵的逆是唯一的设 也是 的逆，则多项式矩阵可逆的充要条件多项式矩阵可逆的充要条

9、件 可逆证明：证明：必要性假设 可逆，则 ， 成立28信息科学与工程学院多项式矩阵的逆 充分性设 ，则 使得其中， 是 的伴随多项式矩阵29信息科学与工程学院初等矩阵及多项式矩阵的等价结论：结论： 对多项式方阵，满秩未必可逆初等多项式矩阵都是可逆的初等多项式矩阵都是单模的 初等阵，使得30信息科学与工程学院多项式矩阵的等价 与 有相同的行列式因子，或相同的不变因子证明：证明：必要性 多项式矩阵的Smith标准形的唯一性 与 有相同的不变因子多项式矩阵的行列式因子和不变因子之间的关系 与 有相同的行列式因子31信息科学与工程学院多项式矩阵的等价 充分性设 与 有相同的不变因子（因而有相同的行列式

10、因子），则它们与同一个Smith标准形等价，即矩阵的相似与其特征矩阵的等价之间的关系定理定理相似矩阵有相同的最小多项式证明： 多项式矩阵等价的传递性32信息科学与工程学院多项式矩阵的互质性简介右公因子右公因子(Right Common Factor)：设 与 ，如果存在多项式矩阵 、 以及 ，使得 及 成立则称多项式矩阵 是 与 的右公因子左公因子左公因子(Left Common Factor)设 与 ，如果存在多项式矩阵 、 以及 ，使得 及 成立则称多项式矩阵 是 与 的左公因子最大右公因子最大右公因子(greatest common right decomposition factor,

11、 gcrd ?)1. 是 与 的右公因子；2. 与 的任一其它的右公因子 都是 的右乘因子通过转置关系：研究其中之一即可33信息科学与工程学院多项式矩阵的互质性简介gcrd的存在性的存在性 及 ，其gcrd都存在。 gcrd的构造定理的构造定理若存在单模矩阵 ，使得则 即为 与 的一个gcrd证明：证明：先证 是右公因子。为此，把 的逆矩阵 写成分块矩阵：nnmgcrd34信息科学与工程学院多项式矩阵的互质性简介以 左乘定理中的等式两边，可得比较等式里边分块矩阵中的每一个分块，可知 是 与 的右公因子再证 是gcrd，即若 为 与 的另一右公因子，证明 是 的右乘因子，将代入 35信息科学与工

12、程学院多项式矩阵的互质性简介可得gcrd的求法的求法若对分块多项式矩阵进行一系列初等行变换，使其下面的m n分块成为零多项式块则就是求 与 的gcrd的变换矩阵， 就是所求的gcrdnnm36信息科学与工程学院多项式矩阵的互质性简介求求gcrd举例举例给出求 37信息科学与工程学院多项式矩阵的互质性简介求求gcrd举例举例 12238信息科学与工程学院多项式矩阵的互质性简介gcrd的基本性质的基本性质1.不唯一性。不唯一性。 单模矩阵 2. 满秩 满秩 单模 单模3. 若 ，则39信息科学与工程学院多项式矩阵的互质性简介gcrd的基本性质的基本性质4. 对 及 ，若则 可表示为事实上，由gcr

13、d的构造定理取 ， 即可 40信息科学与工程学院多项式矩阵的互质性简介多项式矩阵的互质多项式矩阵的互质称 与 是右互质的，若 为单模矩阵多项式矩阵的互质的多项式矩阵的互质的Bezout判别准则判别准则 与 右互质 使Bezout等式 成立证明：必要性 与 右互质 为单模矩阵，以其逆 左乘构造定理中的上分块矩阵等式可得41信息科学与工程学院多项式矩阵的互质性简介令则充分性得证充分性设Bezout等式成立：给定一个则 及 ，使得 成立代入Bezout等式从而 是单模矩阵 与 右互质 42信息科学与工程学院多项式矩阵的互质性简介多项式矩阵的互质的多项式矩阵的互质的Smith标准形判别准则标准形判别准

14、则 与 右互质 分块多项式矩阵的Smith标准形为即： 证明：证明：必要性 43信息科学与工程学院多项式矩阵的互质性简介由gcrd构造定理有： (1)其中， 是单模矩阵若 与 右互质 是单模矩阵设 的逆为 ，以其右乘(1)式由于等价的多项式矩阵具有相同的等价的多项式矩阵具有相同的Smith标准形标准形必要性得证Smith标准形标准形44信息科学与工程学院多项式矩阵的互质性简介充分性 若成立 与 （均为单模阵），使得成立，设 的逆为 ，以其右乘上式，可得由构造定理， ，且单模 与 右互质Smith标准形标准形45信息科学与工程学院多项式矩阵既约性简介多项式矩阵的行次数和列次数多项式矩阵的行次数和

15、列次数 对多项式矩阵 ，定义分别为 的第i行次数和 的第j列次数，分别记为：举例举例: 46信息科学与工程学院多项式矩阵既约性简介多项式矩阵的列次表示式多项式矩阵的列次表示式 多项式矩阵 可用其列次数表示为列次表示式其中， 是一对角阵对角阵； ：列次系数矩阵列次系数矩阵，其第j列为 的第j列中相应 于 项的系数组成的列 ； ：低次剩余多项式矩阵低次剩余多项式矩阵，且47信息科学与工程学院多项式矩阵既约性简介多项式矩阵的行次表示式多项式矩阵的行次表示式 多项式矩阵 可用其行次数表示为行次表示式其中， 是一对角阵对角阵； ：行次系数矩阵行次系数矩阵，其第i行为 的第i行中相应 于 项的系数组成的行

16、 ； ：低次剩余多项式矩阵低次剩余多项式矩阵，且 48信息科学与工程学院多项式矩阵既约性简介多项式方阵的行列式与其列次的关系多项式方阵的行列式与其列次的关系 多项式方阵 的行列式可表示为如下形式 多项式方阵的行列式与其行次的关系多项式方阵的行列式与其行次的关系 多项式方阵 的行列式可表示为如下形式多项式方阵的行次和与列次和的关系多项式方阵的行次和与列次和的关系 多项式方阵的行次和等于列次和49信息科学与工程学院多项式矩阵既约性简介多项式矩阵的既约性多项式矩阵的既约性 列既约设 ，若则称 是列既约的行既约设 ，若则称 是行既约的50信息科学与工程学院多项式矩阵既约性简介举例举例 是列既约的，但不

17、是行既约的是列既约的，但不是行既约的51信息科学与工程学院多项式矩阵既约性简介定理定理 对 ，则 是列既约的 是行既约的 证明：先证第一项由于故当且仅当当且仅当 时（即 满秩），有根据列既约的定义， 为列既约的同理可证第二项充要条件充要条件52信息科学与工程学院多项式矩阵既约性简介举例举例: 列次表示：列次表示：是列既约的，但不是行既约的是列既约的，但不是行既约的53信息科学与工程学院多项式矩阵既约性简介化非既约多项式矩阵为既约化非既约多项式矩阵为既约:通过对 进行适当的列（或行）初等变换，来降低某些列（或行）的次数，以满足既约性的定义适用于下列情形对满秩非既约多项式方阵 ，可以找到n阶单模矩阵 及 ，使得 与 为列既约或行既约54信息科学与工程学院多项式矩阵既约性简介举例举例:满秩满秩非既约非既约55信息科学与工程学院多项式矩阵既约性简介 列既约列既约列既约列既约56信息科学与工程学院 57