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1、第六节第六节 n n重贝努利试验重贝努利试验 设设E E是随机试验，如果在相同的条件下将是随机试验，如果在相同的条件下将试验试验E E重复进行若干次，且各次试验的结果互不重复进行若干次，且各次试验的结果互不 影响，即每次试验结果发生的概率都不依赖于其影响，即每次试验结果发生的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则由这若干次试验构成的试它各次试验的结果，则由这若干次试验构成的试验序列称为独立试验序列验序列称为独立试验序列独立试验序列独立试验序列例例1.1.设事件设事件A是随机试验是随机试验E的小概率事件，在每次试验中的小概率事件，在每次试验中发生的概率为发生的概率为p, ,现将试验现将试验E在相同
2、条件下重复进行在相同条件下重复进行n次，次，且这且这n次试验构成的随机试验序列是独立试验序列，求这次试验构成的随机试验序列是独立试验序列，求这n次试验中事件次试验中事件A至少发生一次的概率至少发生一次的概率解：解：设设Ai：第：第i次试验中次试验中A发生，发生，i =1,2, , =1,2, , n; ; B：n次次试验中事件试验中事件A至少发生一次，则至少发生一次，则 (逆事件的概率逆事件的概率)(相互独立性相互独立性)(对偶律对偶律)此例说明：不能忽视小概率事件此例说明：不能忽视小概率事件, ,小概率事件迟早要小概率事件迟早要发生发生 前面第三节我们讲过前面第三节我们讲过小概率原理：小概率
3、事件在小概率原理：小概率事件在一次试验中实际上几乎是不可能发生的一次试验中实际上几乎是不可能发生的. .由此可见日常生活中由此可见日常生活中“提高警惕提高警惕, , 防防火防盗火防盗”的重要性的重要性. .由于时间无限由于时间无限, , 自然界发生地震、海啸、空难、泥石自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的、早晚的事，不用奇流等都是必然的、早晚的事，不用奇怪，不用惊慌怪，不用惊慌. .同样同样, ,人生中发生车祸、人生中发生车祸、失恋、患绝症、炒股大亏损等都是正失恋、患绝症、炒股大亏损等都是正常现象常现象, , 大可不必怨天尤人大可不必怨天尤人. . 设设E是随机试验，在相同的条件下将
4、试验是随机试验，在相同的条件下将试验E重复进重复进行行n次，若次，若1 1）由这）由这n次试验构成的试验序列是独立试验序列次试验构成的试验序列是独立试验序列2 2）每次试验有且仅有两个结果：事件）每次试验有且仅有两个结果：事件 和事件和事件3 3）每次试验事件）每次试验事件A 发生的概率都是常数发生的概率都是常数 p, ,即即 则称该试验序列为则称该试验序列为n重贝努利（重贝努利（BernoulliBernoulli）试验，）试验，简称为贝努利试验或贝努利概型简称为贝努利试验或贝努利概型n重贝努利试验重贝努利试验n重贝努利（重贝努利（Bernoulli ）试验的例子）试验的例子p，现在此时间段
5、内对经过的，现在此时间段内对经过的n 辆机动车进行观察辆机动车进行观察每辆车是否经过这个十字路口是相互独立的，而且观每辆车是否经过这个十字路口是相互独立的，而且观察结果有且只有两种可能：出事故察结果有且只有两种可能：出事故 、平安经过、平安经过所以这是一个贝努利试验所以这是一个贝努利试验2.2.某射手每次射击命中目标的概率都是某射手每次射击命中目标的概率都是 p，现对同一目，现对同一目标独立射击标独立射击 n 次，观察射击结果次，观察射击结果所以这是一个贝努利试验所以这是一个贝努利试验此射手独立射击此射手独立射击n次，每次射击命中目标的概率都次，每次射击命中目标的概率都是是p，所以这，所以这n
6、次射击构成独立试验序列，每次射击次射击构成独立试验序列，每次射击有且仅有两个结果：射中有且仅有两个结果：射中 、未射中、未射中n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A恰好发生恰好发生k次的概率次的概率定理定理 在在n n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的概率为发生的概率为P(A)=p (0p1),则事件则事件A在在 n 次试验中恰好发生次试验中恰好发生k次次的概率为：的概率为：证明：证明：其中其中 在指定的在指定的k 次中是次中是 而在其余而在其余 n-k 次中为次中为 ，例如若前，例如若前k 次为次为 ，后，后n-k 次为次为 ，则，则 在在n 次试验中，事件次试验中，事件A在指定
7、的在指定的k 次中发生，而在次中发生，而在其余其余n-k次中不发生次中不发生, ,可用样本点表示为可用样本点表示为: :事实上，在事实上，在n 次试验中，这种次试验中，这种“事件事件A在指定的在指定的k 次中次中发生，而在其余发生，而在其余n-k 次中不发生次中不发生”的指定方法共有的指定方法共有“事件事件A在在n 次试验中恰好发生次试验中恰好发生k 次次”的概率恰是这的概率恰是这个概率之和，所以个概率之和，所以对应于每一种指定方法，其概率皆为对应于每一种指定方法，其概率皆为例例2.2.某篮球运动员进行投篮练习，设每次投篮某篮球运动员进行投篮练习，设每次投篮的命中率为，独立投篮的命中率为，独立
8、投篮5 5次，求次，求（1 1）恰好）恰好4 4次命中的概率；次命中的概率；（2 2）至少）至少4 4次命中的概率；次命中的概率；（3 3）至多）至多4 4次命中的概率次命中的概率. .解：解：将每次投篮看作一次试验，则每次试验只有两将每次投篮看作一次试验，则每次试验只有两种结果：种结果： “命中命中”、“不中不中”.因此，因此，运动员运动员独立投篮独立投篮5次可看作贝努利试验：次可看作贝努利试验：n=5，p设设A: :恰好恰好4 4次命中，次命中，B: :至少至少4 4次命中，次命中，C: :至多至多4 4次命中次命中（1）（2）（3）例例3.3.对一工厂的产品进行重复抽样检查，共取对一工厂
9、的产品进行重复抽样检查，共取200200件样品，检查结果发现其中有件样品，检查结果发现其中有4 4件废品，问我件废品，问我们能否相信此工厂出废品的概率不超过们能否相信此工厂出废品的概率不超过0.005.0.005.解：解：假设此工厂出废品的概率为，将每次检查看假设此工厂出废品的概率为，将每次检查看作一次试验，则每次试验只有两种结果作一次试验，则每次试验只有两种结果:“废品废品”,“正品正品”. 因此，对因此，对200200件样品进行件样品进行检查可看作贝努利试验：检查可看作贝努利试验：n=200，p，200件件产品中有产品中有4件废品的概率为件废品的概率为这是小概率事件这是小概率事件, ,一般
10、在一次试验中不一般在一次试验中不会发生会发生. . 现在居然发生了现在居然发生了, , 由实际推由实际推断原理，可认为假定不成立断原理，可认为假定不成立, ,从而推断从而推断此工厂的废品率不超过是不可信的此工厂的废品率不超过是不可信的. . 1 1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。系及运算。第一章第一章 小小 结结2 2 给出了随机事件的频率及概率的定义和基本性给出了随机事件的频率及概率的定义和基本性 质。质。 3 3 给出了古典概型，要会计算这类概率。给出了古典概型，要会计算这类概率。5 5 给出了随机事件独立性的概念，要会利用事件给出了随机事件独立性的概念，要会利用事件 独立性进行概率计算独立性进行概率计算。6 6 引进贝努里概型及引进贝努里概型及n n重贝努里试验的概念，要会重贝努里试验的概念，要会 计算与之相关事件的概率。计算与之相关事件的概率。4 4 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率 公式和贝叶斯公式公式和贝叶斯公式。
