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1、引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为称为Q 在有向曲面 上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分;称为R 在有向曲面 上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分.称为P 在有向曲面 上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分;D672对坐标曲面积分3. 性质性质(1) 若之间无公共内点, 则(2) 用 表示 的反向曲面, 则(3) 若有向闭曲面 所围成的空间区域V被另一位于V内部的曲面分成了V1，V2，其边界曲面记作 1， 2，则D672对坐标曲面积分三、两类曲面积分的联系三、两类曲面积分的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画D672对坐标曲面积分四、对坐标的曲面积分的计算法四、对坐标的曲面积分的计算
2、法定理定理: 设光滑曲面取上侧,是 上的连续函数, 则证证:注意到直角坐标网划分有D672对坐标曲面积分 若则有 若则有(前正后负)(右正左负)说明说明:如果积分曲面 取下侧, 则D672对坐标曲面积分例例1. 计算其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方体的整个表面的外侧.解解: 利用对称性.原式 的顶部 取上侧 的底部 取下侧D672对坐标曲面积分解解: 把 分为上下两部分根据对称性 思考思考: 下述解法是否正确:例例2. 计算曲面积分其中 为球面外侧在第一和第八卦限部分. D672对坐标曲面积分D672对坐标曲面积分例例3. 设S 是球面的外侧 , 计算解解: 利用轮换对称性, 有D
3、672对坐标曲面积分例例4. 设是其外法线与 z 轴正向夹成的锐角, 计算解解: D672对坐标曲面积分例例5. 计算曲面积分其中 解解: 利用两类曲面积分的联系, 有 原式 =旋转抛物面介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. D672对坐标曲面积分 原式 =原式 =D672对坐标曲面积分课本例课本例7.7. 计算曲面积分其中其中S为球面为球面 在第一卦限在第一卦限的部分与各坐标面所围成立体表面的外侧的部分与各坐标面所围成立体表面的外侧.答案：答案：D672对坐标曲面积分D672对坐标曲面积分D672对坐标曲面积分D672对坐标曲面积分内容小结内容小结定义定义:1. 两类曲面积分
4、及其联系两类曲面积分及其联系 D672对坐标曲面积分性质性质:联系联系:思考思考:的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?两类曲面积分的定义一个与 的方向无关, 一个与D672对坐标曲面积分2. 常用计算公式及方法常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积)第二类 (对坐标)二重积分(1) 统一积分变量代入曲面方程 (方程不同时分片积分)(2) 积分元素投影第一类： 面积投影第二类： 有向投影(4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面 注注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化D672对坐标曲面积分当时，（上侧取“+”, 下侧取“”)类似可考虑在 yOz 面及 zOx 面上的二重积分转化公式 .D672对坐标曲面积分备用题备用题 求求取外侧 .解解:注意号其中D672对坐标曲面积分利用轮换对称性D672对坐标曲面积分D672对坐标曲面积分
