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1、16.1混料设计的概念混料设计的概念6.1.1混料设计混料设计（MixtureDesign） 混料是指若干种不同成分的物质混合或合成一种稳定的混料是指若干种不同成分的物质混合或合成一种稳定的物质或产品。在化工、医药、材料、食品、冶金、陶瓷等物质或产品。在化工、医药、材料、食品、冶金、陶瓷等领域中，如不锈钢由铁、铬、镍、碳等元素组成；礼花的领域中，如不锈钢由铁、铬、镍、碳等元素组成；礼花的闪光剂由镁、钠、锶和固定剂组成；混凝土由水泥、石子、闪光剂由镁、钠、锶和固定剂组成；混凝土由水泥、石子、沙子和水组成；其它如中药、饲料等。沙子和水组成；其它如中药、饲料等。 这些产品的每种成分的多少是用相对量表
2、示的，这种相这些产品的每种成分的多少是用相对量表示的，这种相对量就是所用成分在总量中所占比例。然而在这种试验中对量就是所用成分在总量中所占比例。然而在这种试验中各成分的比例不能自由变动，它们受到一个约束：各成分的比例不能自由变动，它们受到一个约束：所有成所有成分比例的和为分比例的和为1 1。2 定义定义：设在一个试验中有：设在一个试验中有p p个成分，用个成分，用 表表示，若试验中每一因子的取值满足如下条件：示，若试验中每一因子的取值满足如下条件： 那么称这一试验为混料试验。那么称这一试验为混料试验。 使性能达到最好的每种成分的比例通常需要通过试验使性能达到最好的每种成分的比例通常需要通过试验
3、来确定。对这样的混料试验进行的设计称为来确定。对这样的混料试验进行的设计称为混料设计混料设计，又称又称配方设计配方设计。混料试验设计中的成分又被称为因子，。混料试验设计中的成分又被称为因子，通常混料试验中的成分不少于三种。通常混料试验中的成分不少于三种。 一般混料中微量成分含量的确定，通常采用普通的因一般混料中微量成分含量的确定，通常采用普通的因子设计，不用混料设计。因为它们的成分比例很小，它子设计，不用混料设计。因为它们的成分比例很小，它们的变化几乎不会引起大比例成分的显著变化。们的变化几乎不会引起大比例成分的显著变化。36.1.2单形、单形的顶点与坐标单形、单形的顶点与坐标 混料设计中的一
4、些基本概念。混料设计中的一些基本概念。 （1）单形与单形的顶点单形与单形的顶点 方程方程 的图形是一个的图形是一个p维平面，而维平面，而()为为p维平面上点的坐标。在该维平面上点的坐标。在该p维平面上满足维平面上满足 的区域构成的图形称为单形。单形是一种正多边形的区域构成的图形称为单形。单形是一种正多边形( (正多面正多面体体) )，如：正三角形、正四面体等，其高度为，如：正三角形、正四面体等，其高度为1 1。 若单形上点的若单形上点的p个坐标中有一个为个坐标中有一个为1 1，其它都为，其它都为0 0，则称，则称这种点为单形的顶点，即这种点为单形的顶点，即p维单形的顶点的坐标为：维单形的顶点的
5、坐标为：4 p=4时的单形是三维空间中的一个的正四面体（见图时的单形是三维空间中的一个的正四面体（见图6.1.1b）。）。 p=3时，其图形为三维空间中的一个平面上的等边三角形，时，其图形为三维空间中的一个平面上的等边三角形，其三个顶点的坐标分别为其三个顶点的坐标分别为（1,0,0），），(0,1,0)，(0,0,1)，从而该从而该等边三角形就是三维空间上的一个单形（见图等边三角形就是三维空间上的一个单形（见图6.1.1a）。）。6.1.15 这种坐标系就是这种坐标系就是p p =3=3时单形上的坐标系，时单形上的坐标系， 便是便是单形上点在这个坐标系下的坐标。单形上点在这个坐标系下的坐标。
6、（2）单形上点的坐标单形上点的坐标 我们可以在单形上建立坐标系。我们可以在单形上建立坐标系。 在在p p =3=3时，单形是平面上的一个正时，单形是平面上的一个正三角形，设其高为三角形，设其高为1 1，记其三个顶点，记其三个顶点分别为分别为X1X1、X2X2、X3X3，它们的坐标分别，它们的坐标分别是是(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)。又设。又设P P 是该三角形的一个内点，定义是该三角形的一个内点，定义P P到边到边X2X3X2X3的距离为的距离为x1 1，到边，到边X1X3X1X3的距离为的距离为 x2 2，到边，到边X1X2X1
7、X2的距离为的距离为x3 3，此时三个，此时三个距离之和恰为该正三角形的高，即存距离之和恰为该正三角形的高，即存在在 。6 在在p p因子的混料试验中，若设超正面体的高为因子的混料试验中，若设超正面体的高为1 1，其，其p p个顶个顶点记为：点记为： A1 1=(1,0,0,=(1,0,0,0),0) A2 2=(0,1,0,=(0,1,0,0),0) Ap p=(0,0,0,=(0,0,0,1),1) 其中若干个点就可以构成其中若干个点就可以构成p p维空间中的一个超平面。维空间中的一个超平面。记单形上任一内点记单形上任一内点P的坐标为的坐标为 ，那么这里，那么这里x1 1是是P点到点到A
8、A2 2A A3 3A Ap p的距离，的距离，x2 2是是P点到点到A A1 1A A3 3A Ap p的距离，的距离，xp p是是P点到点到A A1 1A A2 2A Ap-1p-1的距离。的距离。76.1.3混料试验的统计模型混料试验的统计模型设试验中考察的指标为设试验中考察的指标为y，那么，那么y与与p个因子个因子的的关系可以表示为：关系可以表示为： 这里，这里，是随机误差，通常假定它服从是随机误差，通常假定它服从。称称为响应函数，其图形也称为响应曲为响应函数，其图形也称为响应曲面，当响应函数中的未知参数用估计值代替后便得到回归方面，当响应函数中的未知参数用估计值代替后便得到回归方程，
9、也称响应曲面方程。程，也称响应曲面方程。由于由于形式往往是未知的，通常用形式往往是未知的，通常用的一个的一个d次多项式表示，此时一个混料试验由因子数次多项式表示，此时一个混料试验由因子数p与响应与响应多项式的次数多项式的次数d来确定，以后用来确定，以后用Mp,d表示一个混料试验。表示一个混料试验。8 利用混料试验的特点，多项式中的参数可以得到简化，利用混料试验的特点，多项式中的参数可以得到简化，此时给出的多项式模型称为此时给出的多项式模型称为Scheffe正则多项式模型正则多项式模型 。 对对p因子一次混料试验因子一次混料试验Mp,1，Scheffe利用利用 把把p元一次多项式模型化为元一次多
10、项式模型化为Scheffe一次正则多项式模型：一次正则多项式模型： 同理，同理， p因子二次混料试验因子二次混料试验Mp,2的的Scheffe二次正则多项二次正则多项式模型为：式模型为： 同理，同理， p因子三次混料试验因子三次混料试验Mp,3的的Scheffe三次正则多项三次正则多项式模型为：式模型为： 一般的混料试验多用一次、二次多项式模型，对于混料一般的混料试验多用一次、二次多项式模型，对于混料二次多项式模型而言，其待估参数的个数要比一般二次多项式模型而言，其待估参数的个数要比一般p元二次元二次多项式模型少多项式模型少p+1+1个。个。96.2单形格子设计单形格子设计（SimplexLa
11、tticeDesign）6.2.1试验设计方法试验设计方法 单形格子设计是单形格子设计是ScheffeScheffe提出的一种混料设计，它奠定了提出的一种混料设计，它奠定了混料设计的基础。混料设计的基础。Mp,d的单形格子设计，为的单形格子设计，为d阶格子设计，阶格子设计，它将单形的边划分成它将单形的边划分成d等份，在等分点做与其它边平行的直等份，在等分点做与其它边平行的直线，形成许多格子，故名线，形成许多格子，故名单形格子设计单形格子设计。 如：如：p=3=3，一阶、二阶和三阶单形格子设计的点分布图。，一阶、二阶和三阶单形格子设计的点分布图。M3,1M3,2M3,310（1）Mp,1的设计的
12、设计在在Mp,1中仅含中仅含p个未知参数，这时的单形格子设计是个未知参数，这时的单形格子设计是由由p个单形顶点组成的设计。其设计方案如下：个单形顶点组成的设计。其设计方案如下： 11（2） Mp,2的设计的设计在在Mp,2中含中含p(p+1)/2个未知参数，这时的单形格子个未知参数，这时的单形格子设计由两类点组成：一类点是设计由两类点组成：一类点是p个单形顶点，另一类点个单形顶点，另一类点是两个坐标为是两个坐标为1/2，其它坐标为，其它坐标为0的点，这类点共有的点，这类点共有p(p-1)/2个，其设计方案如下：个，其设计方案如下：12（3）一般来讲，单形格子设计一般来讲，单形格子设计Mp,d
13、共有共有个试验个试验点，有如下几个特点：点，有如下几个特点：1）每个每个Mp,d设计的试验次数恰好等于响应函数中未设计的试验次数恰好等于响应函数中未知参数个数，即此为饱和设计。其试验点对称地排列在单知参数个数，即此为饱和设计。其试验点对称地排列在单形上，构成单形的一个格子形上，构成单形的一个格子。2）试验点的分量与模型的次数试验点的分量与模型的次数d有关，每一成分有关，每一成分xi的取值的取值为为1/d的倍数，即只能取的倍数，即只能取0，1/d，2/d，(d- -1)/d，1，并，并且在设计中因子成分量的各种配合都要用到。且在设计中因子成分量的各种配合都要用到。 3）方程中的二次项方程中的二次
14、项xixj，不能理解为不能理解为xi与与xj的交互作用，的交互作用，因为它们受到约束条件因为它们受到约束条件的限制。的限制。注意：注意：这里各这里各xi可以看成是类似于回归设计中一种编码值。可以看成是类似于回归设计中一种编码值。136.2.2数据分析数据分析 用用最最小小二二乘乘的的方方法法求求出出参参数数的的估估计计，由由于于现现在在仍仍是是饱饱和和设设计计，宜宜采采用用逐逐步步回回归归分分析析，剔剔除除不不显显著著的的回回归归项项，使使残残差差平平方方和和和和自自由由度度为为不不为为0 0时时，可可以以进进行行各各项项显显著著性性检检验验。或者设置重复，估计误差方差，进行各项显著性检验。或
15、者设置重复，估计误差方差，进行各项显著性检验。 例例6.2.1 M 3,2单形格子设计的参数估计单形格子设计的参数估计14 试验中单一成分的试验点安排两次重复，有两种成分的试验中单一成分的试验点安排两次重复，有两种成分的试验点安排三次重复，试验点安排三次重复， 试验结果见下表。试验结果见下表。试验点试验点成分比例成分比例 试验指标试验指标x1x2x3Y110011.012.420108.810.0300116.816.040.50.5015.014.816.150.500.517.716.416.6600.50.510.09.711.815ModelSourceDFParameterMSFPr
16、 FX1111.7273.78375.61280.0001X219.4176.72242.45120.0001X3116.4537.927380.0001X1*X2119.038.6785753.065110.0001X1*X3111.413.9242919.103440.0018X2*X31-9.69.87428613.547040.0051Model62878.27479.71658.140.0001Error96.560.728889Total14134.85616Y=11.7*X1+9.4*X2+16.4*X3+19*X1*X2+11.4*X1*X3-9.6*X2*X3Modelfor
17、YModelRMSE0.85375R-square95.14%Adjusted R-square92.43%Coefficient of Variation6.305391Y Y的极值的极值SASSAS软件没有给出软件没有给出Y Y的极值，需要采用软件的极值，需要采用软件SASSAS或或LingoLingo求求极值。极值分为极大值和极小值。极值。极值分为极大值和极小值。17PROC NLP tech=trureg;MAX y; y =11.7*x1+9.4*x2+16.4*x3+19.0*x1*x2+11.4*x1*x3-9.6*x2*x3;PARMS x1-x3 = 0.5;BOUNDS 0
18、 = x1-x3 =1;LINCON x1+x2+x3=1;RUN;SAS/OR SAS/OR 求解程序求解程序 FactorMaxMinX10.29390.00X20.000.8646X30.70610.1354Y17.38449.2240运算结果：运算结果： 18Lingo Lingo 求解程序求解程序 FactorMaxMinX10.29390.00X20.000.8646X30.70610.1354Y17.38449.2240Max=11.7*x1+9.4*x2+16.4*x3+19.0*x1*x2+11.4*x1*x3-9.6*x2*x3;x1+x2+x3=1;x1=1;x2=1;x
19、32时某些混料设计中格子时某些混料设计中格子点的非零坐标并不相等，这种非对称性会使某些点对回归点的非零坐标并不相等，这种非对称性会使某些点对回归系数的估计产生较大的影响，为改进这一点，系数的估计产生较大的影响，为改进这一点，Scheffe提出提出了一种只考虑有相等非零坐标的单形重心设计。了一种只考虑有相等非零坐标的单形重心设计。 单形重心设计的试验点为单形重心设计的试验点为1到到P个顶点的重心，顶点本身个顶点的重心，顶点本身就是重心，两个顶点的重心是它们连线的中点，三个顶点就是重心，两个顶点的重心是它们连线的中点，三个顶点的重心是它们组成正三角形的中心，的重心是它们组成正三角形的中心，P个顶点
20、的重心个顶点的重心就是该单形的中心。就是该单形的中心。Scheffe考虑的回归模型为：考虑的回归模型为：206.3.1试验设计试验设计 P个因子的单形重心设计的试验点由下列点组成：个因子的单形重心设计的试验点由下列点组成： 以以 为代表的为代表的 个排列点个排列点 以以 为代表的为代表的 个排列点个排列点以以 为代表的为代表的 个排列点个排列点以以 为代表的为代表的 个排列点个排列点 这样的点共计有这样的点共计有2p-1-1个。个。21 这些试验点的坐标不依赖于这些试验点的坐标不依赖于d，通常我们选用饱和设计。，通常我们选用饱和设计。在在d=1或或2时，单形重心设计与单形格子是设计一致的，但时
21、，单形重心设计与单形格子是设计一致的，但是是d2后就不相同了。后就不相同了。 譬譬如如p=3时时，M33,33单单形形重重心心设设计计共共做做2p-1=7=7次次试试验验，试试验点如下：验点如下：若要建立若要建立M3, ,2单形重心设计，那么可以省略第七号试验，单形重心设计，那么可以省略第七号试验，只进行六次试验，这时与单形格子设计就相同了。只进行六次试验，这时与单形格子设计就相同了。 226.3.2数据分析数据分析 用最小二乘的方法求回归参数的估计，由于现在仍是用最小二乘的方法求回归参数的估计，由于现在仍是饱和设计，宜采用逐步回归分析，剔除不显著的回归项，饱和设计，宜采用逐步回归分析，剔除不
22、显著的回归项，使残差平方和和自由度为不为使残差平方和和自由度为不为0 0时，可以进行各项显著性时，可以进行各项显著性检验。或者设置重复，估计误差方差，进行各项显著性检验。或者设置重复，估计误差方差，进行各项显著性检验。检验。 例：例：现有四种饮料增甜剂，拟将它们配合使用，以降现有四种饮料增甜剂，拟将它们配合使用，以降低饮料的饮后余味，采用低饮料的饮后余味，采用M4, ,4单形重心设计，有单形重心设计，有1515种种配方，记录饮后余味，试进行分析。其混料回归模型为：配方，记录饮后余味，试进行分析。其混料回归模型为：23NOX1X2X3X4Y1100019201008300101540001105
23、000.50.510600.500.55700.50.501180.5000.51290.500.5016100.50.500131100.33330.33330.33338120.333300.33330.333314130.33330.333300.333310140.33330.33330.3333014150.250.250.250.251224R-square99.63%Y = 18.3702*X1 + 7.9922*X2 + 14.2323*X3 + 8.6129*X4 - 14.0707*X2*X4 ModelSourceDFSSMSFPr FX11629.5536629.553
24、6742.00040.0001X2196.0984996.09849113.2630.0001X31377.8789377.8789445.37320.0001X41111.6048111.6048131.53890.0001X2*X4111.0345711.0345713.005490.0048Model52256.515451.3031531.9120.0001Error108.4845450.848454Total15226525PROC NLP tech=trureg;MIN y; y = 18.3702*x1 + 7.9922*x2 + 14.2323*x3 + 8.6129*x4
25、- 14.0707*x2*x4;PARMS x1-x4 = 0.5;BOUNDS 0 = x1-x4 =1;LINCON x1+x2+x3+x4=1;RUN;SAS/OR SAS/OR 求解程序求解程序 运算结果：运算结果： X1X2X3X4Ymin0.000.5220.000.4784.77826Min=18.3702*X1+7.9922*X2+14.2323*X3+8.6129*X4-14.0707*X2*X4;x1+x2+x3+x4=1;x1=1;x2=1;x3=1;x4=1;Lingo Lingo 求解程序求解程序 运算结果：运算结果： X1X2X3X4Ymin0.000.5220.0
26、00.4784.77827276.4 有约束的混料设计有约束的混料设计 在一些混料问题中，各个因子除了受到混料条在一些混料问题中，各个因子除了受到混料条件之外，通常还要受到其它约束条件的限制。通件之外，通常还要受到其它约束条件的限制。通常，约束条件包含因子本身的上、下界限制和因常，约束条件包含因子本身的上、下界限制和因子之间的相互约束。子之间的相互约束。 从试验设计角度来讲，只受下界约束的混料设从试验设计角度来讲，只受下界约束的混料设计的因子空间同普通的混料设计一样，仍为单形计的因子空间同普通的混料设计一样，仍为单形内的一个小单形；而受其它的约束的混料设计的内的一个小单形；而受其它的约束的混料
27、设计的因子空间却为单形内的一个不规则的凸多面体，因子空间却为单形内的一个不规则的凸多面体，所以，有约束的混料设计可以分为有下界约束的所以，有约束的混料设计可以分为有下界约束的混料设计和其它约束的混料设计。混料设计和其它约束的混料设计。28286.4.1 有下界约束的混料设计有下界约束的混料设计 有下界约束的混料设计有下界约束的混料设计指有一个或多个因子的指有一个或多个因子的成分受到最低值限制的混料设计，即混料设计受成分受到最低值限制的混料设计，即混料设计受到下界的约束。到下界的约束。 p因子有下界约束的混料问题的基本形式为：因子有下界约束的混料问题的基本形式为： 用用z表示实际成分，表示实际成
28、分，x表示编码成分。表示编码成分。2929 有下界约束的混料设计的因子空间仍然为一个有下界约束的混料设计的因子空间仍然为一个小单形，与无下界限制时的单形相似，并且是这小单形，与无下界限制时的单形相似，并且是这个单形内的一个小单形。个单形内的一个小单形。 如如3 3种有下界约束的混料成分，其混料问题的因种有下界约束的混料成分，其混料问题的因子空间如下，约束：子空间如下，约束：3030 在在p个成分的有下界约束的混料设计中，其编码个成分的有下界约束的混料设计中，其编码值与实际值的转换公式：值与实际值的转换公式： 实际值与编码值的转换公式：实际值与编码值的转换公式：31例例6.2.1 一种火箭推进剂
29、由三种成分一种火箭推进剂由三种成分A、B、C混混合制成，这里合制成，这里A表示为固定剂，表示为固定剂，B为氧化剂，为氧化剂，C表表示燃料。各变量的最小成分值示燃料。各变量的最小成分值：a1=0.2,a2=0.4,a3=0.2。 采用采用M3,2单形格子设计，具体见表单形格子设计，具体见表6.2.4。在在A、B、C下的是编码值下的是编码值x1，x2，x3，右边面，右边面的实际成分用的实际成分用z1，z2，z3表示。表示。 给出了编码值后，实际成分值可以用下式获得：给出了编码值后，实际成分值可以用下式获得：32表表6.2.4 可以采用可以采用SASSAS进行有约束的混料设计，应该选二进行有约束的混
30、料设计，应该选二次混料模型和饱和选项（次混料模型和饱和选项（Saturated）。）。33336.4.2 有其它约束的混料设计有其它约束的混料设计 一个有约束的混料设计的各成分受到除下界约一个有约束的混料设计的各成分受到除下界约束之外的其它约束限制，称为束之外的其它约束限制，称为有其它约束的混料有其它约束的混料设计。设计。 比如：受上界约束、各成分之间的互相约束。比如：受上界约束、各成分之间的互相约束。 有其它约束的混料设计的因子空间通常为单形有其它约束的混料设计的因子空间通常为单形内的一个不规则的凸多面体，这样的混料设计也内的一个不规则的凸多面体，这样的混料设计也比较复杂，比较常用的是比较复
31、杂，比较常用的是D最优设计法最优设计法，通常采，通常采用计算机来辅助完成这类试验设计。用计算机来辅助完成这类试验设计。34例例6.2.2 一个三种成分一个三种成分x1、x2、x3的混料试验。各的混料试验。各变量的约束为：变量的约束为： 采用采用SAS软件进行软件进行D最优混料设计，拟合二次方最优混料设计，拟合二次方程得到程得到16个处理，具体见下表。个处理，具体见下表。35NOX1X2X3Y10.10.3750.525.20.10.3750.525.30.10.58750.3125.40.10.80.1.50.20.80.60.20.80.70.360.3950.245.80.400.6.90.400.6.100.60.40.110.60.40.120.700.3.130.700.3.14100.15100.16100.
