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1、费马点在数学解题中的应用德化三中 陈为烧学习情境 法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小。人们称这个点为“费马点”。这是一个历史名题。近几年中考数学出现过不少这类近几年中考数学出现过不少这类问题。问题。 你听说过费马点吗你听说过费马点吗? ? 本节课我们将了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用 费马点费马点就是到三角形的三个顶点的就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点距离之和最小的点费马点定义ABCP如图如图,P,P为为ABCABC所在平面上的一点，若所在平面上的一点，若P P到到ABCABC三顶点的距离之和
2、为三顶点的距离之和为PA+PB+PC,PA+PB+PC,当点当点P P哪点时哪点时, ,距离之和最小。距离之和最小。如何找点如何找点P使它到使它到ABCABC 三个顶点的距离之和三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？最小？ 找费马点方法 若三角形若三角形3个内角均小于个内角均小于120，那么，那么3条距条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角相等，均为所对三角形三边的张角相等，均为120。所以。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。三角形的费马点也称为三角形的等角中心。ABCP费马点证明将将BPCBPC绕点绕点B B旋转旋转
3、6060到到BPBPC C 的位置的位置, ,连接连接PPPP, ,则则BPPBPP为正三角形为正三角形. .PA+PB+PC=PA+PPPA+PB+PC=PA+PP+P+PCACCAC. .当当A A、P P、P P、C C在同一直线上在同一直线上, ,即即APB=180- BPP=120APB=180- BPP=120BPC= BPCBPC= BPC =120=120时时, ,PA+PB+PC=ACPA+PB+PC=AC为最小值为最小值证明：证明：2.若三角形有一个角大于若三角形有一个角大于120，则费马，则费马点为三角形钝角的顶点。点为三角形钝角的顶点。1.若三角形若三角形3个内角均小于
4、个内角均小于120，那么，那么3条距条距离连线正好三等分费马点所在的周角离连线正好三等分费马点所在的周角.结论结论P三角形最大角小于三角形最大角小于1200费马点如何画？距离之和的最小值如何求？等腰等腰RtABCRtABC，边，边AB=4AB=4，P P为为ABCABC内部一点，则内部一点，则AP+BP+CPAP+BP+CP的最小值是的最小值是 。 例1：等腰直角三角形类型知识运用知识运用已知正方形已知正方形ABCDABCD内一动点内一动点E E到到A A、B B、 C C三点的三点的距离之和的最小值为距离之和的最小值为 ，求此正方形的边，求此正方形的边长长练习：已知三村庄已知三村庄A A、B
5、 B、C C构成了如图所示的构成了如图所示的ABCABC（其（其中中AA、BB、CC均小于均小于120120），现选取一点），现选取一点P P打水井，使从水井打水井，使从水井P P到三村庄到三村庄A A、B B、C C所铺设的输所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值水管总长度最小，求输水管总长度的最小值. .例2：若点若点P P 为为ABCABC所在平面上一点，且所在平面上一点，且APB=BPC=APB=BPC=CPA=120, CPA=120, 则点则点P P叫做叫做ABCABC的费的费马点马点（1 1） 如图如图1 1，若，若P P为锐角为锐角ABCABC的费马点，且的费马点，且
6、ABC=60ABC=60，PA=3PA=3，PC=4, PC=4, 则则PBPB的值的值 ；（2 2）如图）如图2 2，在锐角，在锐角ABCABC的外侧作等边的外侧作等边ACBACB，连结，连结BBBB求证：求证：BBBB过过ABCABC的费马点的费马点P P，且，且BB=PA+PB+PCBB=PA+PB+PC例3：1.1.如图，四边形如图，四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，ABEABE是等边三角形，是等边三角形，M M为为对角线对角线BDBD（不含（不含B B点）上任意一点，将点）上任意一点，将BMBM绕点绕点B B逆时针旋转逆时针旋转6060得到得到BNBN，连接，连接ENEN、A
7、MAM、CM.CM. 求证：求证：AMBENBAMBENB； 当当M M点在何处时，点在何处时，AMAMCMCM的值最小；的值最小；当当M M点在何处时，点在何处时，AMAMBMBMCMCM的值最小，并说明理由；的值最小，并说明理由； 当当AMAMBMBMCMCM的最小值为的最小值为 时，求正方形的边长时，求正方形的边长. .作业：2.小华遇到这样一个问题，如图1, ABC中，ACB=30，BC=6，AC=5，在ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如图2，将APC绕点C顺时针旋转60，得到EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为 ；（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，菱形ABCD中，ABC=60，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；若中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长
