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1、第四章第四章 级级 数数4.2 幂级数4.4 洛朗级数4.1 复数项级数4.3 泰勒级数& 1. 1. 复数列的极限复数列的极限& 2. 2. 级数的概念级数的概念4.1 4.1 复数项级数复数项级数 1. 复数列的极限复数列的极限定义定义又设复常数：又设复常数：定理定理1证明证明2. 级数的概念级数的概念级数的前面级数的前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和不收敛不收敛-无穷级无穷级数数定义定义设复数列：设复数列：例例1解解定理定理2证明证明A 由定理由定理2，复数项级数的收敛问题可归之为，复数项级数的收敛问题可归之为 两个实数项级数的收敛问题。两个实数项级数的收敛问题。性质性质定理定
2、理3证明证明A ?定义定义由定理由定理3的证明过程，及不等式的证明过程，及不等式定理定理4解解例例2例例3解解练习：练习：& 1. 1. 幂级数的概念幂级数的概念& 2. 2. 收敛定理收敛定理& 3. 3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径& 4. 4. 收敛半径的求法收敛半径的求法& 5. 5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质4.2 4.2 幂级数幂级数1. 幂级数的概念幂级数的概念定义定义设复变函数列：设复变函数列：级数的最前面级数的最前面n项的和项的和-级数的部分和级数的部分和-称为称为复变函数项级数复变函数项级数。若级数若级数(1)在在D内处处收敛，其和为内处处收敛，其和为z的
3、函数的函数。-级数级数(1)的和函数的和函数特殊情况，在级数特殊情况，在级数(1)中中称为称为幂级数幂级数2. 收敛定理收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理定理1 （阿贝尔阿贝尔（Able）定理）定理）证明证明(2)用反证法，用反证法，3. 收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径由由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上在复平面上处处收敛。处处收敛。(ii)除除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，外，
4、对所有的正实数都是发散的，这时， 级数级数(3)在复平面上除在复平面上除z=0外处处发散。外处处发散。显然，显然， 否则，级数否则，级数(3)将在将在 处发散。处发散。将收敛部分染成红色，发散将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，部分染成蓝色， 逐渐变大，逐渐变大，在在c c 内部都是红色内部都是红色, , 逐渐变逐渐变小，在小，在c c 外部都是蓝色，外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。红、蓝色不会交错。故故播放播放A ( (i) )幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。
5、要具体分析。定义定义这个红蓝两色的分界圆周这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的叫做幂级数的收敛半径收敛半径。(ii)幂级数幂级数(3)的收敛范围是以的收敛范围是以0为中心，半径为为中心，半径为R的圆域；幂级数的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以的收敛范围是以z0为中心为中心,半径半径为为R的圆域的圆域.4. 收敛半径的求法收敛半径的求法定理定理2(比值法比值法)证明证明定理定理3(根值法根值法) 定理定理3(根值法根值法) 定理定理2(比值法比值法)例例1解解 综上综上例例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形求下列幂级
6、数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解解 (1)该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是该级数在收敛圆上是处处处处收敛的。收敛的。 综上综上该级数发散。该级数发散。该级数收敛，该级数收敛，故该级数在复平面上是处处收敛的故该级数在复平面上是处处收敛的.5. 幂级数的运算和性质幂级数的运算和性质q 代数运算代数运算-幂级数的加、减运算幂级数的加、减运算-幂级数的乘法运算幂级数的乘法运算-幂级数的代换幂级数的代换(复合复合)运算运算A 幂级数的幂级数的代换运算在函代换运算在函数展成幂级数数展成幂级数中很有用中很有用。例例3解解代换代换解解代换代换展开展开还原还原q 分析
7、运算分析运算定理定理4-幂级数的逐项求导运算幂级数的逐项求导运算-幂级数的逐项积分运算幂级数的逐项积分运算& 1. 泰勒展开定理& 2. 展开式的唯一性& 3. 简单初等函数的泰勒展开式4.3 4.3 泰勒泰勒( (TaylorTaylor) )级数级数1. 泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示？）数在解析点能否用幂级数表示？）以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答
8、：任何解析函数都一定能用幂级数表示。任何解析函数都一定能用幂级数表示。由由幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部是一个解析函数。定理（泰勒展开定理）定理（泰勒展开定理）Dk分析：分析：代入代入(1)得得Dkz-(*)得证！得证！证明证明(不讲不讲)(不讲不讲)证明证明（不讲）（不讲）A 2. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的的Taylor级数。级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式
9、是否唯一？的展开式是否唯一？事实上，设事实上，设f (z)用另外的方法展开为幂级数用另外的方法展开为幂级数:由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。级数，因而是唯一的。-直接法直接法-间接法间接法代公式代公式函数展开成函数展开成Taylor级数的方法：级数的方法：3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式例例1 解解A 上述求上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法展
10、开式的方法即为间接法.例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:解解(2)由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性质得：A(1)另一方面，因另一方面，因ln(1+z)在从在从z=-1向左沿负向左沿负实轴剪开的平面内解析，实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一离原点最近的一个奇点是个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为它的展开式的收敛范围为z1.定理定理& 1. 预备知识& 2. 双边幂级数& 3. 函数展开成双边幂级数& 4. 展开式的唯一性4.4 4.4 罗朗罗朗( (LaurentLaurent) )级数级数由由 知知, f (z) 在在 z0 解析解析
11、，则，则 f (z)总可以总可以在在z0的某的某一个圆域一个圆域 z - z0 R 内内展开成展开成 z - z0 的幂级数。的幂级数。若若 f (z) 在在 z0 点不解析点不解析，在在 z0的邻域中就不可能展的邻域中就不可能展开成开成z - z0 的幂级数，但如果在圆环域的幂级数，但如果在圆环域 R1z - z0R2 内解析，那么，内解析，那么，f (z)能否用能否用级数表示呢？级数表示呢？例如，例如，由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1 z - z0 R2 内解析内解析, , f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即即 本
12、节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在的解析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定邻域内的性质以及定义义留数留数和计算留数的基础。和计算留数的基础。1. 1. 预备知识预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域积分公式的推广到复连通域-见第三章第见第三章第18题题Dz0R1R2rRk1k2D1z2. 2. 双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 形如形如-双边幂级数双边幂级数正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分：负幂项部分：负幂项部分：
13、级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数则级数在在z - z0= =R2 内收敛，且和为内收敛，且和为s(z)+; 在在 z - z0=R 2外发散。外发散。 z0R1R2z0R2R1A (2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界 z - z0 =R1, z - z0=R2上上, ,3. 3. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数定理定理证明证明 由复连通域上的由复连通域上的Cauchy 积分公式：积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z记为记为I1记为记为I2式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2， k1上进上进行的，
14、在行的，在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可将cn写成统一式子：写成统一式子：证毕！证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。A (2) (2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点在奇点 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那展成级数，那 么就利用洛朗（么就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分
15、别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。4. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数。的洛朗级数。事实上事实上，Dz0R1R2cDz0R1R2cA 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有展开式，只有在个别情况
16、下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式(5)求求Laurent系系数的方法。数的方法。例例1解解例例2解解例例3解解例例4xyo12xyo12xyo12解解:没没有有奇奇点点注意首项注意首项(2)(2)对对于于有有理理函函数数的的洛洛朗朗展展开开式式，首首先先把把有有理理函函数数分分解解成成多多项项式式与与若若干干个个最最简简分分式式之之和和，然然后后利利用用已已知的几何级数，经计算展成需要的形式。知的几何级数，经计算展成需要的形式。小结：把小结：把f (z)展成洛朗展成洛朗( Laurent )级数的方级数的方法：法：解解 (1) 在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域例例5yxo12
17、 (2) 在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域xo12练习：练习：A (2)(2)根据区域判别级数方式：根据区域判别级数方式：在圆域内需要把在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒展成泰勒(Taylor)级数，级数，在环域内需要把在环域内需要把f (z)展成洛朗展成洛朗( Laurent )级级数。数。A (3) Laurent级数与级数与Taylor 级数的不同点：级数的不同点： Taylor级数先展开求级数先展开求R, 找出收敛域。找出收敛域。 Laurent级数先求级数先求 f(z) 的奇点，然后以的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出为中心，奇点为分隔点，找出z0到无穷远到无穷远 点的所有使点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成解析的环，在环域上展成 级数。级数。作业Page 142 1(2)(4)；2;3(3)(4)；6(2)(3)(4)；9;11(1)(3)；12(1)(3)；14;16(2)(3)；20
