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1、1. 1. 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分（又称第一类曲线积分）（又称第一类曲线积分） 第五部分第五部分第五部分第五部分 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分(14)一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质1. 引例：求曲线形构件的质量。引例：求曲线形构件的质量。设一曲线形构件位于设一曲线形构件位于xoy平面上的一段平面上的一段曲线弧曲线弧 L上上, 线密度线密度 (x,y)为为L上的连续函数上的连续函数，求该曲线形构件的质量求该曲线形构件的质量 M。
2、光滑曲线光滑曲线- 具有连续切线的曲线具有连续切线的曲线。曲线积分与曲面积分(14)xy0AB思想方法：思想方法：(1) 分割分割： 插入分点插入分点：设设每一小弧段长每一小弧段长(2) 取近似取近似：则小弧段质量则小弧段质量：曲线积分与曲面积分(14)(3) 求和求和：(4) 取极限取极限:曲线积分与曲面积分(14)2、定义定义 设设L为为xoy平面内的一条光滑曲线弧段平面内的一条光滑曲线弧段( (各点都具有切线各点都具有切线, ,且当切点连续移动时切且当切点连续移动时切线也连续转动线也连续转动),), 用用L上的任意点上的任意点 M1, M2, , Mn-1 把把L分成分成若和式的极限若和
3、式的极限则称此极限值为则称此极限值为f (x, y)在曲线弧在曲线弧L上对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分。函数函数 f (x,y) 在在 L上有界上有界， 曲线积分与曲面积分(14)也称为也称为第一类曲线积分第一类曲线积分。记作记作L 积分弧段积分弧段（积分路径积分路径） ds 弧元素弧元素说明说明说明说明: : : :(1) f (x,y)在在L上连续上连续,则曲线积分必存在则曲线积分必存在。(2) f(x,y)虽为二元函数虽为二元函数,但点但点(x,y)被限制在被限制在L上上, 变量变量 x, y 不独立不独立, 须满足曲线须满足曲线 L 的方程的方程。(3)若若L是是光滑闭曲线光滑闭曲
4、线, 常记成常记成(4)推广到空间曲线推广到空间曲线, 有有曲线积分与曲面积分(14)3. 性质性质(与定积分性质相仿与定积分性质相仿)(3) 若若L是分段光滑的曲线段是分段光滑的曲线段，即即曲线积分与曲面积分(14)(4) 设在设在 L 上上，则则(5) (积分中值定理积分中值定理)设设 f (x,y) 在在 L 上连续上连续，则必存在则必存在使使 其中其中 l 为为 L 的长度。的长度。曲线积分与曲面积分(14) 第一类曲线积分的对称性第一类曲线积分的对称性第一类曲线积分的对称性第一类曲线积分的对称性(1) 如曲线如曲线 L 关于关于 x = 0 对称，对称，L1 是是 L 的的 部分，部
5、分，(2) 若交换若交换x, y两变量时，两变量时，L的方程不变，则的方程不变，则-轮换对称性轮换对称性轮换对称性轮换对称性轮换对称性轮换对称性曲线积分与曲面积分(14)二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法定理定理: :具有一阶连续导数具有一阶连续导数,且且L的参数方程为的参数方程为：则曲线积分则曲线积分存在存在，且且曲线积分与曲面积分(14)说明说明说明说明: : : :ds 弧元素弧元素 (弧微分弧微分)(1)(3)(2)当当 f (x, y) = 1 ,或或曲线积分与曲面积分(14)(4)(5)(6)上述所有计算
6、公式中上述所有计算公式中，等式右边的定积分等式右边的定积分的积分下限都必须小于上限的积分下限都必须小于上限。曲线积分与曲面积分(14)一段弧一段弧(如图如图).例例 题题 讨讨 论论例例1:ABA ( 0, a ), 解：解：法一：法一：选选 x 为积分变量为积分变量，L：xy0a曲线积分与曲面积分(14)一段弧一段弧(如图如图).法二法二：选选 y 为积分变量为积分变量，L：ABxy0a曲线积分与曲面积分(14)一段弧一段弧 (如图如图).ABxy0法三法三：L 用参数方程表示用参数方程表示:a曲线积分与曲面积分(14)xy0122例例2：AB解：解：曲线积分与曲面积分(14)例例3：解：解
7、：L利用极坐标利用极坐标。0曲线积分与曲面积分(14)三三、几何与几何与物理意义物理意义曲线积分与曲面积分(14)设平面曲线形的物件所占的平面曲线弧设平面曲线形的物件所占的平面曲线弧段为段为L， 且它的线密度为且它的线密度为 若线密若线密 度在度在L上连续上连续， 则则：它的质量它的质量 它的质心它的质心(3)曲线积分与曲面积分(14)例例4.的质心坐标的质心坐标。xy0a2a解：解：由对称性由对称性，.曲线积分与曲面积分(14)2. . 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 ( (第二类曲线积分第二类曲线积分) )一、对一、对一、对一、对坐标的曲线积分的坐标的曲线积分的坐标的曲线积分的坐标的曲线
8、积分的概念与性质概念与性质概念与性质概念与性质1. 引例引例: : 求变力沿曲线所作的功。求变力沿曲线所作的功。 常力作功常力作功: 变力作功变力作功, 力力 f (x) 的方向与运动方向一致的方向与运动方向一致, 曲线积分与曲面积分(14)思想方法思想方法: : ( (元素法元素法) )xy0AB(1)插入分点插入分点 M1(x1,y1) , ,Mn-1(xn-1,yn-1),n个个有向小弧段有向小弧段M1Mn-1Mi-1Mi将将L任意分成任意分成设一质点在设一质点在xoy面内沿光滑曲线弧面内沿光滑曲线弧L从从A移移动到动到B。移动过程中移动过程中，这质点受到变力这质点受到变力 的作用的作用
9、，其中其中P、 Q在在L上连续上连续。现计算在上述移动过程中变力所现计算在上述移动过程中变力所作的功作的功。曲线积分与曲面积分(14)xy0ABM1Mn-1Mi-1Mi(2)则由常力则由常力:近似代替近似代替则则曲线积分与曲面积分(14)(3)(4)取极限取极限曲线积分与曲面积分(14) 2 2、定义定义定义定义 设设L为为xoy平面上从点平面上从点A到到B的一条有向的一条有向 光滑曲线光滑曲线, 函数函数 P(x,y) 、Q(x,y) 在在L上有界上有界。把把L分成分成 n个有向小弧段个有向小弧段则称此极限值则称此极限值曲线积分与曲面积分(14)为函数为函数 P(x,y) 在有向曲线弧在有向
10、曲线弧 L 上上对坐标对坐标 x的曲线积分的曲线积分, 记作记作同理同理, ,则称此极限值为函数则称此极限值为函数 Q(x,y) 在有向曲线弧在有向曲线弧常用其组合形式：常用其组合形式：统称为第二统称为第二类曲线积分。类曲线积分。 L上上对坐标对坐标 y 的曲线积分的曲线积分, 记作记作曲线积分与曲面积分(14)说明说明说明说明：1) P(x, y), Q(x, y) 中的中的 x, y 受受 L 的限制而的限制而相互有关相互有关。2) 对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关对坐标的曲线积分与积分路径的方向有关。3)前述变力作功前述变力作功(有向弧元素有向弧元素)变号变号曲线积分与曲面积分(14
11、)4) 对空间曲线对空间曲线 L, 有有5)在在 L 上连续上连续, 则此曲线积分必存在则此曲线积分必存在。曲线积分与曲面积分(14) 3 3、性质性质性质性质(1)设有向曲线设有向曲线 L , L 与与 L 方向相反方向相反,则有则有:(2)其余性质类似于对弧长的曲线积分其余性质类似于对弧长的曲线积分。注：第一类曲线积分没有这一性质。注：第一类曲线积分没有这一性质。曲线积分与曲面积分(14) 第二类曲线积分的对称性第二类曲线积分的对称性第二类曲线积分的对称性第二类曲线积分的对称性 如曲线如曲线 L 关于关于 x = 0 对称，对称，L1 是是 L 的的 部分，部分，方向不变，方向不变，曲线积
12、分与曲面积分(14) 二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法 设曲线设曲线L由参数方程由参数方程一阶连续导数一阶连续导数, 且且又函数又函数 P(x, y), Q(x, y) 在在L上连续上连续,L 的的起点起点 A终点终点 B描出有向曲线描出有向曲线LAB , 曲线积分与曲面积分(14)起点起点A(x = a), 终点终点B(x = b)f (x) 在在 a, b 或或 b, a 有连续导数有连续导数, 则则起点起点A(y =c), 终点终点B (y =d)g(y) 在在 c, d 或或 d, c 有连续导数有连续导数
13、, 则则特例：特例：特例：特例：曲线积分与曲面积分(14)空间曲线空间曲线:起点起点 A ( t = ) , 终点终点 B ( t = ) ,曲线积分与曲面积分(14)例例 题题 讨讨 论论例例1.(1) L:圆心为原点圆心为原点,半径为半径为1, 按逆时针方向按逆时针方向绕行的上半圆周绕行的上半圆周。xy0AB1-1解解：0曲线积分与曲面积分(14)(2) L: 直线直线AB.xy0AB1-1解：解：= 0 .曲线积分与曲面积分(14)(3) L: 折线折线 ACB.xy0ABC1-1解：解：100-1路径不同路径不同, , 值不值不同。同。曲线积分与曲面积分(14)例例2.(1)(2)Ax
14、y01xxx0101= 1 .曲线积分与曲面积分(14)Axy01B(3)0000111101路径不同路径不同, , 值却相同。值却相同。曲线积分与曲面积分(14)例例3.: 由点由点 (1,1,1) 到点到点 (2,3,4) 的直线段的直线段。解：解：求求 的方程的方程。 的方向向量的方向向量： 的方程的方程：其参数式其参数式：(t + 1)d(t + 1) + (2t + 1)d(2t + 1)+ (t + 1) + (2t + 1) - 1 d(3t + 1)0123 dt= 13 .曲线积分与曲面积分(14)三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系
15、三、两类曲线积分之间的联系设有向线段设有向线段 L:起点起点A , 终点终点B ,xy0ABM(x, y)为为L上任一点上任一点。M .得得L的参数方程的参数方程:L的正向为的正向为s增大的方向增大的方向。设设 x(s), y(s) 在在 0, l 具有一阶连续导数具有一阶连续导数,dxdydsxy曲线积分与曲面积分(14)类似类似，切线向量的方向余弦。切线向量的方向余弦。曲线积分与曲面积分(14)例例：解：解：曲线上点曲线上点 (x, y) 的切线的方向余弦的切线的方向余弦：曲线积分与曲面积分(14) 3. 3. 3. 3. 格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用格林公式及其应用一
16、、格林公式一、格林公式一、格林公式一、格林公式( Green 1793 1841 英英 ) 在一元函数积分学中在一元函数积分学中, 牛顿牛顿莱布尼茨莱布尼茨公式公式：表示表示：f(x) 在区间在区间a,b上的积分可以用它的原函数上的积分可以用它的原函数F(x) 在这个区间端点上的函数值来表达在这个区间端点上的函数值来表达。 现在要介绍的格林公式现在要介绍的格林公式， 表示在平面闭表示在平面闭区域区域D上的二重积分也可以用沿闭区域上的二重积分也可以用沿闭区域 D的的边界曲线边界曲线L上的曲线积分来表达上的曲线积分来表达。 曲线积分与曲面积分(14)设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任
17、一闭曲线所围成内任一闭曲线所围成的部分都属于的部分都属于D, , 则称则称D为平面为平面单连通区域单连通区域, , 否则称为否则称为复连通区域复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD平面区域的连通性：平面区域的连通性：平面区域的连通性：平面区域的连通性：曲线积分与曲面积分(14)边界曲线边界曲线L的正向的正向: : 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时, ,区域区域D内在他附近的那一部分总在他的左边内在他附近的那一部分总在他的左边,则他则他行走的方向就是行走的方向就是边界曲线边界曲线L的正向。的正向。LL1L2曲线积分与曲面积分(14)定理定理定理定理1 1 1 1格林
18、公式格林公式曲线积分与曲面积分(14)证明证明 (1) (1) 若区域若区域 D 既是既是 X型型又是又是Y 型型.L3L4CEDcd曲线积分与曲面积分(14)L3L4CEDcd曲线积分与曲面积分(14)类似，把类似，把 D 看成看成 X 型，有型，有两式相加得两式相加得曲线积分与曲面积分(14)证明证明证明证明 (2)(2)D曲线积分与曲面积分(14)GFCE证明证明证明证明 (3) (3)由由(2)知知AB曲线积分与曲面积分(14)例例 题题 讨讨 论论例例1.xy0D由格林公式：由格林公式：解：解：曲线积分与曲面积分(14)xy0ABD解解: : 作辅助线作辅助线:C圆方程代入圆方程代入
19、？用格林公式用格林公式？非闭曲线。非闭曲线。曲线积分与曲面积分(14)xy0ABDC曲线积分与曲面积分(14)格林公式的简单应用格林公式的简单应用格林公式的简单应用格林公式的简单应用: : : :曲线积分与曲面积分(14)例例3：利用曲线积分利用曲线积分，求下列曲线所围的求下列曲线所围的图形的面积图形的面积： 星形线星形线解：解：面积面积 A =曲线积分与曲面积分(14)二、二、二、二、 四个等价命题四个等价命题四个等价命题四个等价命题定理定理2.2. 设函数设函数 P(x, y), Q(x, y) 在在单连通域单连通域G内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则下列则下列四命题等价四命题
20、等价:(1)(2)与路径无关与路径无关，只与起点只与起点A与终点与终点B有关有关。(3)(4)曲线积分与曲面积分(14)证明：证明：设设G内闭曲线内闭曲线 L由由ABL1L2G 即曲线积分与路径无关即曲线积分与路径无关，只与只与 A,B 点有关点有关。曲线积分与曲面积分(14)积分与路径无关积分与路径无关，仅与起点仅与起点xy0 .曲线积分与曲面积分(14)P,Q有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数，曲线积分与曲面积分(14)对对 G 内任一条内任一条闭闭曲线曲线 L，其所围区域其所围区域由格林公式由格林公式：说明：说明：(1)常用常用（4）来判定来判定 (1)、(2)、(3) 的成立的成立。曲线
21、积分与曲面积分(14)(2)xy0 .曲线积分与曲面积分(14)(3)四个等价命题只适用于四个等价命题只适用于单连通域单连通域，不适用于多连通域。不适用于多连通域。例：例：例：例：在闭区域上在闭区域上，为为多连通域多连通域,在此在此D上不保证上不保证曲线积分与曲面积分(14)例例 题题 讨讨 论论例例1：证明：证明：与路径无关与路径无关，并求并求证：证：积分与路径无关积分与路径无关。xy0.(1, -1).(1, 1)曲线积分与曲面积分(14)例例2：计算计算xy0积分与路径无关。积分与路径无关。解：解：曲线积分与曲面积分(14)例例3：是某个函数的全微分是某个函数的全微分，并求出它的一切并求
22、出它的一切原函数。原函数。证：证：xy0曲线积分与曲面积分(14)例例4：其中其中：(1) C1不包围也不通过原点的任意不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线。无重点闭曲线。(2) C2以原点为中心的正向单位圆以原点为中心的正向单位圆。(3) C3包围原点的任意无重点正向闭曲线包围原点的任意无重点正向闭曲线。解：解：除原点外除原点外，曲线积分与曲面积分(14)(1) C1 不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线不包围也不通过原点的任意无重点闭曲线 即所围闭区域即所围闭区域 D1为为单连通域单连通域，在在D1上上, 都有都有(2) C2 以原点为中心的正向单位圆以原点为中心的正向单位圆xy0D1D2
23、1c1c2在在(0,0)P,Q 无一阶连续偏导数无一阶连续偏导数，不可用等价命题，不可用等价命题，由定义求：由定义求：曲线积分与曲面积分(14)xy0D3c2c3(3) C3 包围原点的任意无重点正向闭曲线包围原点的任意无重点正向闭曲线。 D3 中含有中含有P,Q的不连续点的不连续点(原点原点)为排除原点为排除原点，为边界曲线的为边界曲线的平面区域平面区域上上, ,恒有恒有C2为圆周为圆周(取如图方向取如图方向)。加辅助线加辅助线C2 ，曲线积分与曲面积分(14)注意：注意：格林公式也适用于多连通域，且当格林公式也适用于多连通域，且当(顺顺)(逆逆)计算较复杂的甚至未知的边界曲线如计算较复杂的
24、甚至未知的边界曲线如 L1 上上可找一条易求积分的曲线可找一条易求积分的曲线 L2(常取圆周常取圆周),用计算用计算L2上的曲线积分来代替上的曲线积分来代替。xy0的曲线积分时，的曲线积分时，L1L2曲线积分与曲面积分(14)4. 4. 4. 4. 对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对面积的曲面积分 （又称第一类曲面积分）（又称第一类曲面积分）（又称第一类曲面积分）（又称第一类曲面积分）一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概念与性质1. 引例引例 求曲面型构件的质量求曲面型构件的质量。 设有一张曲面
25、设有一张曲面, 其边界曲线是分段光其边界曲线是分段光滑的闭曲线滑的闭曲线, 且曲面光滑且曲面光滑, 面密度面密度(x, y, z) 在在上连续上连续，求曲面求曲面的质量的质量。曲线积分与曲面积分(14)xyz0(1) 任分任分为为 n 块小曲面块小曲面(2) 任取一点任取一点则小曲面的质量：则小曲面的质量：(3) (4).曲线积分与曲面积分(14)2. 定义定义(1)(2)(3)(4)则称此极限值为则称此极限值为f (x,y,z)在曲面在曲面上上对面积的曲面积分对面积的曲面积分。若若曲线积分与曲面积分(14)记作记作 积分曲面积分曲面dS 曲面面积元素曲面面积元素可见可见，曲面形构件的质量曲面
26、形构件的质量：又称为又称为第一类曲面积分第一类曲面积分，曲线积分与曲面积分(14) 说明：说明：说明：说明：(1) f (x,y,z) 虽为三元函数虽为三元函数，但点但点(x,y,z)被被限制在曲面限制在曲面上上, 变量变量 x,y,z 不相互独立不相互独立，而依赖于曲面而依赖于曲面的方程的方程。(2)(3)(4)若若 f (x,y,z) 在光滑曲面在光滑曲面 上连续上连续，则则上述曲面积分存在。上述曲面积分存在。(5)其性质与第一类曲线积分相仿。其性质与第一类曲线积分相仿。特别特别，若若是是闭曲面闭曲面, 则记作则记作曲线积分与曲面积分(14)二、二、二、二、对面积的曲面积分的对面积的曲面积
27、分的对面积的曲面积分的对面积的曲面积分的计算法计算法计算法计算法设曲面设曲面 ：z = z (x, y)(1)(2)(3)(4)z = z (x, y)单值单值，即与即与 z 轴平行的直线轴平行的直线与与的交点只有一个的交点只有一个；z = z (x, y)在在Dxy 上具有连续偏导数上具有连续偏导数；f (x,y,z) 在光滑曲面在光滑曲面上连续上连续；则则曲线积分与曲面积分(14)同理同理：曲线积分与曲面积分(14)例例 题题 讨讨 论论例例1：a把上半球面投影到把上半球面投影到xoy平面平面，zxy0解：解：曲线积分与曲面积分(14)例例2.111zxy曲线积分与曲面积分(14)= 0=
28、 00 + 0 +曲线积分与曲面积分(14)例例3：内部的部分内部的部分。把把 1 投影到投影到 xoy 平面平面，解：解：解：解：zxy0曲线积分与曲面积分(14)内部的部分内部的部分。解：解：zxy0把把 2 投影到投影到 xoy 平面平面，曲线积分与曲面积分(14)所围区域的边界曲面所围区域的边界曲面。解：解：zxy0曲线积分与曲面积分(14)例例4：zxy0h问题：问题：1 能否投影到能否投影到xoy面上面上? dS = ?解：解：解：解： 把把1 投影到投影到yoz面上面上，则则R1曲线积分与曲面积分(14)zxy0h1R曲线积分与曲面积分(14)解：解：h1Rhzxy0曲线积分与曲
29、面积分(14)曲线积分与曲面积分(14)第一类曲面积分的应用：第一类曲面积分的应用：设设为有界光滑曲面为有界光滑曲面，为面密度为面密度，(1)(2)(3)曲面曲面的的面积面积曲面曲面的的质量质量曲面曲面的的质心坐标质心坐标曲面曲面的的形心坐标形心坐标S 为曲面为曲面 的面积的面积曲线积分与曲面积分(14)(4) 曲面曲面的的转动惯量转动惯量曲线积分与曲面积分(14)5. 5. 5. 5. 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分( ( 又称第二类曲面积分又称第二类曲面积分 ) )一、对坐标的曲面积分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质一、对坐标的曲面积分的概念与
30、性质一、对坐标的曲面积分的概念与性质1. 曲面的侧曲面的侧设所讨论的曲面都是光滑的设所讨论的曲面都是光滑的，双侧的双侧的。如一张包围某一空间区域的闭曲面如一张包围某一空间区域的闭曲面，就有就有外侧与内侧之分外侧与内侧之分。曲线积分与曲面积分(14)观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 ( (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的) )曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧上侧上侧下侧下侧外侧外侧内侧内侧曲线积分与曲面积分(14)大家大概都知道莫比乌斯带。大家大概都知道莫比乌斯带。 你可以把一条纸带的一段扭你可以把一条纸带的一段扭180度，度，再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯再
31、和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有一个带的模型。这也是一个只有一个侧侧面的面的曲面。曲面。 曲线积分与曲面积分(14)现用曲面上法向量的指向来定曲面的侧现用曲面上法向量的指向来定曲面的侧。若曲面上每点的法向量方向向若曲面上每点的法向量方向向上上则认为取定曲面的则认为取定曲面的上侧上侧则有则有上侧上侧与与下侧下侧之分之分；则有则有前侧前侧与与后侧后侧之分；之分；则有则有右侧右侧与与左侧左侧之分；之分； 则有则有外侧外侧与与内侧内侧之分；之分；指定了侧的曲面称为有向曲面指定了侧的曲面称为有向曲面。（下下），），（下侧下侧）。）。曲线积分与曲面积分(14) 2、有向曲面在坐标面
32、上的投影有向曲面在坐标面上的投影设设是有向曲面是有向曲面， 在在上取小块曲面上取小块曲面S，zxy0S在在xoy面上的投影区域面积面上的投影区域面积假设假设S上各点处上各点处的法向量与的法向量与 z 轴正向的夹角轴正向的夹角有相同符号有相同符号, 则则 规定规定S在在xoy面上的投影面上的投影余弦余弦记为记为S曲线积分与曲面积分(14)类似规定类似规定：曲线积分与曲面积分(14)3、引例引例求流向曲面一侧的流量求流向曲面一侧的流量设稳定流动设稳定流动( 速度速度V与时间与时间 t 无关的流动无关的流动 )的不可压缩流体的速度场为常向量的不可压缩流体的速度场为常向量(设密度设密度= 1)，速度场
33、中有一有向平面速度场中有一有向平面 A(面积记为面积记为 A ) ，先讨论先讨论特殊情形特殊情形：AA求单位时间内流向求单位时间内流向A一侧的流量一侧的流量。曲线积分与曲面积分(14)一般情形：一般情形：设流体设流体 (= 1) 的速度场为的速度场为为流速场中一片光滑有向曲面为流速场中一片光滑有向曲面，函数函数P, Q, R 在在上连续上连续，求单位时间内流向求单位时间内流向的指定侧的流量的指定侧的流量 。zxy0利用元素法利用元素法曲线积分与曲面积分(14)(1) 把把任分成任分成 n 个小块曲面个小块曲面Si ;(2) 在在Si 中任取一点中任取一点用用曲线积分与曲面积分(14)同理同理：
34、zxy0曲线积分与曲面积分(14)4.4. 定义定义定义定义设设 R(x,y,z) 在光滑有向曲面在光滑有向曲面上有界上有界，任任分分为为n个小曲面个小曲面 在在xoy平面的投影平面的投影作乘积作乘积存在存在，则称此极限值为函数则称此极限值为函数 R(x,y,z) 在有向曲在有向曲面面上对坐标上对坐标 x , y 的曲面积分的曲面积分。曲线积分与曲面积分(14)类似可定义类似可定义：函数函数 P(x,y,z) 在有向曲面在有向曲面上对坐标上对坐标 y, z的的 函数函数 Q(x,y,z) 在有向曲面在有向曲面上对坐标上对坐标 x, z的的 记作记作曲面积分曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面
35、积分(14)常用其组合形式常用其组合形式 ：说明：说明：说明：说明：(1)函数函数 P, Q, R 中变量中变量 x, y, z 不独立不独立，受受曲面曲面的限制的限制 ；(2)为为为为有向面积元素有向面积元素有向面积元素有向面积元素曲线积分与曲面积分(14)(3) 对坐标的曲面积分又称为对坐标的曲面积分又称为第二类曲面积分第二类曲面积分，如如：则则其性质与第二类曲线积分相仿其性质与第二类曲线积分相仿。曲线积分与曲面积分(14)二、对坐标的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法二、对坐标的曲面积分的计算法曲线积分与曲面积分(14)类似类似，取取前侧前侧(后侧后
36、侧)()取取右侧右侧()(左侧左侧)曲线积分与曲面积分(14)例例 题题 讨讨 论论例例1 1：zxy01解：解：1曲线积分与曲面积分(14)zxy0解：解：(取上侧取上侧）(取下侧取下侧）11曲线积分与曲面积分(14)例例2：21解：解：zxy0(前后侧前后侧)在在 xoy平面平面，在在 yoz平面平面，= 0 .投影为曲线，投影为曲线，曲线积分与曲面积分(14)(前后侧前后侧)在在 yoz平面平面，21zxy0曲线积分与曲面积分(14)21zxy0在在 yoz平面平面，在在 xoy平面平面，投影为直线投影为直线，= 0= 0曲线积分与曲面积分(14)例例3 3：解：解：1zxy0(1)在在
37、 yoz平面平面，(有前后侧有前后侧)zy0曲线积分与曲面积分(14)(1)zy0曲线积分与曲面积分(14)1zxy0(2) 在在 xoz平面平面， (有左右侧有左右侧)zx0(1)曲线积分与曲面积分(14)1zxy0(3) 在在 xoy平面平面，(只有上侧只有上侧)yx0曲线积分与曲面积分(14)例例4. 求求是如图所示的四面体是如图所示的四面体OABC的整个边界的整个边界曲面曲面，且取外侧且取外侧。0xyzA(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)解：解：曲面曲面分成四块分成四块：OAB, OBC, OCA, ABC 分别是它分别是它们在们在xoy,yoz,zox面内的面内的投影区域
38、投影区域。则则曲线积分与曲面积分(14)0xyzA(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)= 0曲线积分与曲面积分(14)三、两类曲面积分之间的联系三、两类曲面积分之间的联系三、两类曲面积分之间的联系三、两类曲面积分之间的联系 此时曲面此时曲面的法线向量的法线向量法向量的方向余弦法向量的方向余弦：曲线积分与曲面积分(14)若若取下侧取下侧，则则曲线积分与曲面积分(14)同理同理，法向量的方向余弦。法向量的方向余弦。曲线积分与曲面积分(14)例例：其中其中f(x,y,z)为连续函数为连续函数， 是平面是平面在第四卦限部分的上侧在第四卦限部分的上侧。xyz11-1解：解：的法向量的法向量曲线
39、积分与曲面积分(14)则则，原式原式=曲线积分与曲面积分(14)6. 6. 6. 6. 高斯公式高斯公式高斯公式高斯公式曲线积分与曲面积分(14)一、高斯一、高斯(Gauss)公式公式 格林公式格林公式表达了平面闭区域上的表达了平面闭区域上的二重积分二重积分与其边界曲线上的与其边界曲线上的曲线积分曲线积分之间的关系，而之间的关系，而高斯公式高斯公式表达了空间表达了空间区域上的区域上的三重积分三重积分与其边界曲面上的与其边界曲面上的曲面积分曲面积分之间的关系。之间的关系。曲线积分与曲面积分(14)定理：定理：定理：定理： 设空间闭区域设空间闭区域由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面在在上具有一阶
40、连续偏导数上具有一阶连续偏导数，则有则有其中其中为闭区域为闭区域的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧。或或 是是在点在点(x,y,z)处的法向量处的法向量的方向余弦的方向余弦。高斯公式高斯公式曲线积分与曲面积分(14) 高斯公式高斯公式其中其中为闭区域为闭区域的边界曲面的的边界曲面的外侧外侧。则有：则有：曲线积分与曲面积分(14)例例 题题 讨讨 论论例例1：xyz02解：解：曲线积分与曲面积分(14)例例2：在第一卦限外侧部分的流量在第一卦限外侧部分的流量。xyz0解：解：非闭曲面非闭曲面，方向如图，方向如图，加辅助面加辅助面:曲线积分与曲面积分(14)非闭曲面非闭曲面，加辅助面加辅助面
41、: :xyz00= 0 ,0= 0 ,0= 0 ,曲线积分与曲面积分(14)例例3. 求求是如图所示的四面体是如图所示的四面体OABC的整个边界曲面，的整个边界曲面，且取外侧且取外侧。0xyzA(1,0,0)B(0,1,0)C(0,0,1)前面用对坐标的曲面积分前面用对坐标的曲面积分的计算法已计算过此题目。的计算法已计算过此题目。现在用现在用Gauss公式算公式算：此时，此时，曲线积分与曲面积分(14)例例4：分析：分析：不可用高斯公式不可用高斯公式。12xyz012曲线积分与曲面积分(14)12xyz012解：解：yx01212曲线积分与曲面积分(14)12yx012120102曲线积分与曲面积分(14)曲线积分与曲面积分(14)
