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1、偏微分方程的建立n运输方程的建立n弦振动方程的建立n热传导方程的建立n泊松方程的建立Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-运输方程1.运输方程 （石油管道运输、南水北调）Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-运输方程Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-运输方程运输方程 ut+cux=0水平管道内有一种流体（比如，水）以恒定速度c流动水中含有某物质（如，污染物），以u（x, t）记其含量方程意义：污染物含量的变化率ut正比于其梯度uxDepart. Math., USTC偏微分方程的导出-运输方程 0 b u(x, t) c ch b+ch
2、污染物在t时刻、区间0,b内的总量 M=0bu(x, t) dx =chb+chu(x, t) dx对b求导可得 u(b, t)=u(b+ch, t+h)对h求导，并令h=0,可得 0=cux+utDepart. Math., USTC偏微分方程的导出-运输方程高维运输方程Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-振动方程2. 弦振动方程（小提琴、吉他、二胡）Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-振动方程 u(x, t) 0 l T(x1, t) ux 1 T(x0, t) x0 x1 Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-振动方程物理假设：柔
3、软、均匀、细小弹性弦作微小横振动柔软 张力方向指向弦的切线方向均匀 弦的线密度为常数 细小 重力忽略不计微小横振动 u, ux很小Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-振动方程物理定律：牛顿第二定律 F=ma纵向 横向 Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-振动方程数学简化 泰勒展开式微分可得Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-振动方程张力T大小为常数Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-振动方程弦振动方程的变种空气阻力 正比于 速度横向弹性力 正比于 位移系统受外力Depart. Math., USTC偏微分方程的导出
4、-振动方程弦振动方程的其他来源CRL电路 R C L物理量：电流u(x,t), 电容 C，电阻 R，电感 L，电漏 G物理定律：Kirchhoff定律Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-振动方程CRL电路的方程理想传输线：R=G=0 Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-振动方程高维振动方程-鼓面（薄膜）的振动Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-振动方程物理假设 水平方向没有运动， Du(x,y,z,t)为竖直方向位移平面区域 D，边界 物理定律牛顿第二定律Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-振动方程数学化简Gree
5、n公式弹性张力大小为常数Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-扩散方程扩散方程油滴、墨渍等在水中扩散 x0 x1管内从x0到x1扩散物质总质量及其变化率Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-扩散方程物理定律Fick扩散定律 扩散物从浓度高的区域向浓度低的区域扩散，扩散速度正比于浓度的梯度 流入量-流出量Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-扩散方程数学简化对x1求导，得到扩散方程Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-扩散方程高维扩散方程对任意区域D，有等式由区域的任意性，可得Depart. Math., USTC偏微分方程
6、的导出-热传导方程热传导方程 u(x,y,z,t)表示温度，H(t)表示区域D内的总热量，c为比热，为密度热量的变化率 Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-热传导方程物理定律-傅里叶热传导定律 热量总是从温度高的区域流向温度低的区域，流速正比于温度的梯度，因此，沿区域D的边界热量流出流入量为能量守恒定律Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-热传导方程数学化简散度定理由区域的任意性，可得微分方程Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-泊松方程波动或扩散的稳态方程 u(x,y,z,t)不依赖于t，则ut=0 u=0静电场 qDepart. Ma
7、th., USTC偏微分方程的导出-薛定谔方程n氢原子的薛定谔波函数方程 m电子质量，e电子电量， 普朗克常数除以2，坐标原点为质子位置，波函数u（x,y,z,t）满足薛定谔方程Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-薛定谔方程物理意义： 在量子力学中，物理量不能够精确测定，只能以概率形式测定，积分 表示电子出现在区域D内的概率，Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-薛定谔方程n薛定谔波函数方程 被认为是公理，而不是由其他更为简单定律的推论；它解释了为什么原子结构是稳定的，不会塌陷；波尔观察到的氢原子中电子的能级；理论上，它可以解释原子和分子的结构以及其化学性质。（多粒子薛定谔方程变量太多，而不好解。）Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组n麦克斯韦方程组电磁学的基石 电磁学表述了带电粒子之间的相互作用：带电粒子产生电场E，运动的带电粒子产生磁场B。n真空中的麦克斯韦方程组（齐次）Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组n数学化简真空中的电场E和磁场B满足波动方程Depart. Math., USTC偏微分方程的导出-麦克斯韦方程组n非真空中的麦克斯韦方程组（非齐次）Depart. Math., USTC
