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1、一.比例的根本性质(注：注：a, b, c, d 都不等于零都不等于零)(b是是a,c的比例中项的比例中项)二.比例的根本方法：1、交叉相乘法；、交叉相乘法；2、两边同加减；、两边同加减；3、设、设“t法法三.比例的常见证明方法：“更比定理更比定理“合比定理合比定理“等比定理等比定理1. 假设假设a, b, c, d成比例成比例,且且a=2, b=3, c=4,那么那么d= 62、以下各组线段的长度成比例的是、以下各组线段的长度成比例的是 A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5 C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4 四
2、.练习一：Dmn m= n56知 ,求 的值.3、756、知、知1, 2, 3三个数，请他再添上一个数，写出一个比三个数，请他再添上一个数，写出一个比例式。例式。“设设t法法.A AP PB B点点P P把线段把线段ABAB分成两部分分成两部分, ,假设假设那么称线段那么称线段ABAB被点被点P P黄金分割黄金分割, ,点点P P为线段为线段AB AB 的的 黄金分割点黄金分割点, , APAP与与ABAB的比值的比值 这个比值称为这个比值称为 黄金比黄金比. .PBAPAPAB=五.黄金分割:六、画黄金分割点；六、画黄金分割点；知线段知线段AB=a,用直尺和圆规作出它的黄金分割点用直尺和圆规
3、作出它的黄金分割点作法作法:ABCED如下图，点如下图，点D即为所要求作的即为所要求作的线段线段AB的黄金分割点。的黄金分割点。MABFCDEGH如下图，点如下图，点H即为所要求作即为所要求作的线段的线段AB的黄金分割点。的黄金分割点。一条线段有两个黄金分割点。一条线段有两个黄金分割点。1.1.作作顶角角为3636的等腰的等腰ABC;ABC;量出量出底底BCBC与腰与腰ABAB的的长度度, ,计算算:;:;2.2.作作BB的平分的平分线, ,交交ACAC于点于点D,D,量出量出CDCD的的长度度, ,再再计算算:.(:.(准确到准确到0.001)0.001)D DC CA AB BE E尝试尝
4、试尝试尝试0.6180.6180.6180.618再作再作CC的平分的平分线, ,交交BDBD于于E,E,CDECDE也是黄金三角形也是黄金三角形D D顶角为顶角为3636的等腰三角形称为的等腰三角形称为 黄金三角形黄金三角形 点点D D是是线段段ACAC的黄金分割点的黄金分割点. .七.练习二：l断定两个三角形类似的方法断定两个三角形类似的方法:l1. 定义定义l2. 平行于三角形一边的直线截其它两边平行于三角形一边的直线截其它两边(或其延伸或其延伸线线),所截得的三角形与原三角形类似所截得的三角形与原三角形类似.-“平行平行l3. 两角对应相等的两个三角形类似两角对应相等的两个三角形类似.
5、-“AAl4. 两边对应成比例两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形类似且夹角相等的两个三角形类似.l -“SASl5. 三边对应成比例的两个三角形类似三边对应成比例的两个三角形类似.-“SSS 八、回想与反思ABCDEADEBCEDCBA回想与反思类似三角形的性质：类似三角形的性质：1.类似三角形对应角相等，对应边成比例。类似三角形对应角相等，对应边成比例。2 .类似三角形对应高之比，对应中线比，对应角平分线类似三角形对应高之比，对应中线比，对应角平分线比等于类似比。比等于类似比。3.类似三角形周长比等于类似比，面积比等于类似类似三角形周长比等于类似比，面积比等于类似比的平方。比的平方。4.
6、 三角形的重心分每一条中线成三角形的重心分每一条中线成1：2的两条线段。的两条线段。5.类似多边形周长比等于类似比，面积比等于类似类似多边形周长比等于类似比，面积比等于类似比的平方。比的平方。类似的根本图形类似的根本图形ABCDE(1)DEBCABCDEDEBC(2)ABCDE(3)ABCD(4)BAD=CAB2=BDBCABCDACB=90，CDAB(5)ABCDE(6)D=C例例1.知：如图，知：如图，ABC中，中，P是是AB边上的一点，连边上的一点，连结结CP满足一个什么条件时满足一个什么条件时 ACPABC 解解:A= A，当当1= ACB 或或2= B时，时， ACPABC APBC
7、121、条件探求型、条件探求型答：当答：当1= ACB 或或2= B 或或AC APAB时时, ACPABC. A= A，当当AC:APAB:AC时，时， ACPABC例例2.将两块完全一样的等腰直角三角板摆成如图的样子，将两块完全一样的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的一切点、线都在同一平面内，那么图中有假设图形中的一切点、线都在同一平面内，那么图中有类似不包括全等三角形吗？如有，把它们一类似不包括全等三角形吗？如有，把它们一 一写出一写出来来.解：有类似三角形，它们是：解：有类似三角形，它们是：ADE BAE, BAE CDA ，ADE CDA ADE BAE CDA2、结论探求型
8、、结论探求型CABDEGF2第题例例3如图，每个小正方形边长均为如图，每个小正方形边长均为1，那么以下图中的三角形阴影部分与，那么以下图中的三角形阴影部分与左图中左图中ABC类似的是类似的是 ABCDABC十一十一. .填空、选择题填空、选择题: :1 1、如图，、如图，DEBC, DEBC, AD:DB=2:3, AD:DB=2:3, 那么那么 AED AED和和 ABC ABC 的类似比为的类似比为. .2:552cm2、 知三角形甲各边的比为知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它类似的三和它类似的三角形乙的最大边为角形乙的最大边为10cm，那么三角形乙的最短边，那么三角形乙的最短边为为_
9、cm.3、等腰三角形、等腰三角形ABC的腰长为的腰长为18cm，底边长为，底边长为6cm,在腰在腰AC上取点上取点D, 使使ABC BDC, 那那么么DC=_.4.4.如图，如图，ADE ACB,ADE ACB, 那么那么DE:BC=_ DE:BC=_ 。5.5.如图，如图，D D是是ABCABC一边一边BCBC 上一点，衔接上一点，衔接AD,AD,使使 ABC DBA ABC DBA的条件是的条件是 . . A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CDBC D. AB2=BDBC C. AB2=CD
10、BC D. AB2=BDBC6.D6.D、E E分别为分别为ABC ABC 的的ABAB、ACAC上上的点，且的点，且DEBCDEBC，DCB= ADCB= A，把每两个类似的三角形称为一组，那把每两个类似的三角形称为一组，那么图中共有类似三角形么图中共有类似三角形_组。组。1:31:3D DABEDC7、D点是点是ABC的边的边AC上的一点，过上的一点，过D点画点画线段线段DE，使点，使点E在在ABC的边上，并且点的边上，并且点D、点点E和和ABC的一个顶点组成的小三角形与的一个顶点组成的小三角形与ABC类似。问：这样的三角形可以画几个类似。问：这样的三角形可以画几个？画出？画出DE，并且写
11、出添线方法。，并且写出添线方法。ABC(3)DE1E2E3E4十二、证明题：1. D为ABC中AB边上一点， ACD=ABC. 求证：AC2=ADAB.E EA AB BC CD DM MABCD2. ABC中中,BAC是直角，过斜是直角，过斜 边中点边中点M而垂直于斜边而垂直于斜边BC的直线的直线 交交CA的延伸线于的延伸线于E，交，交AB于于D， 连连AM. 求证：求证： MAD MEA AM2 =MD ME1. 如图如图,平行四边形平行四边形ABCD中中,AE:EB=2:3, 那么那么SAPE :SCPD=_.ABCDEP1.如图如图,梯形梯形ABCD中中,对角线对角线AC、BD相交于点
12、相交于点O,设设OCD, OAD ,OAB, OCB的面积分别为的面积分别为S1,S2,S3,S4,且且 试探求试探求S1,S2,S3,S4之间的数量关系之间的数量关系.AODCBS1S2S3S4“同高型同高型1.如图如图,梯形梯形ABCD中中,对角线对角线AC、BD相交于点相交于点O,设设OCD, OAD ,OAB, OCB的面积分别为的面积分别为S1,S2,S3,S4,且且 试探求试探求S1,S2,S3,S4之间的数量关系之间的数量关系.AODCBS1S2S3S4“同底等高型同底等高型2.2.等积法等积法: :等底等高的两三角形面积相等等底等高的两三角形面积相等. .1.1.直接法直接法:
13、 :根据三角形的面积公式解题根据三角形的面积公式解题. .类似三角形的面积比等于类似比的平方类似三角形的面积比等于类似比的平方. .3.3.等比法等比法: :将面积比转化为线段比将面积比转化为线段比. .在类似三角形中求面积的常用方法在类似三角形中求面积的常用方法等底等底( (或同底或同底) )的三角形面积之比等于高之比的三角形面积之比等于高之比. .等高等高(或同高或同高)的三角形面积之比等于对应底之比的三角形面积之比等于对应底之比. 1.在在ABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,点点P从点从点A开开场沿场沿AB边向边向B点以点以2cm/秒的速度挪动，点秒的速度挪动，点Q从点从点B开场
14、沿开场沿BC向点向点C以以4cm/秒的速度挪动，假设秒的速度挪动，假设P、Q分别从分别从A、B同时出发，经几秒钟同时出发，经几秒钟BPQ与与BAC类似？类似？分析：由于分析：由于PBQ与与ABC有公共角有公共角B；所以；所以假假设PBQ与与ABC类似，那么有两种能似，那么有两种能够一种一种情况情况为 ,即即PQAC;另一种情另一种情况况为 B BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒 2.如如图，知：，知：ABDB于点于点B ，CDDB于点于点D，AB=6，CD=4，BD=14.问：在：在DB上能否存上能否存在在P点，使以点，使以C、D、P为顶点的三角形与以点的三角形与以P、B
15、、A为顶点的三角形点的三角形类似？假似？假设存在，存在，计算出点算出点P的位置；假的位置；假设不存在，不存在，请阐明理由。明理由。4614ADCBE解解:假假设存在存在这样的点的点P，使，使ABPCDP 设PD=x，那么，那么PB=14x，6：4=14x:x那么有那么有AB:CD=PB:PD或或AB:PD=PB:CDx=5.6P6x14x4ADCB设PD=x，那么，那么PB=14x，6：x=14x :4x=2或或x=12x=2或或x=12或或x=5.6时，以，以C、D、P为顶点的三点的三角形与以角形与以P、B、A为顶点的三角形点的三角形类似似Px=2或或x=12或或x=5.6时，以，以C、D、
16、P为顶点的三点的三角形与以角形与以P、B、A为顶点的三角形点的三角形类似似46x14xDBCAp3.如图，在如图，在ABC中，中，C=90，P为为AB上一上一点，且点点，且点P不与点不与点A重合，过点重合，过点P作作PEAB交交AC边于边于E点，点点，点E不与点不与点C重合，假设重合，假设AB=10，AC=8， 设设AP 的长为的长为x， 四边形四边形PECB的的周长为周长为y，求，求y与与x之间的函数关系式之间的函数关系式4、如图，正方形、如图，正方形ABCD中，中，AB4，G为为DC中中点，点，E在在BC边上运动，边上运动，E点与点点与点B、点、点C不重合不重合设设BEx，过，过E作作GA
17、平行线交平行线交AB于于F，设，设AFEG面积为面积为y，写出，写出y与与x的函数关系式，并指出的函数关系式，并指出自变量自变量x的取值范围。的取值范围。ABCDEFG5、如图，正方形、如图，正方形ABCD的边长为的边长为4cm，点，点P是是BC边上不与点边上不与点B、C重合的恣意一点，连重合的恣意一点，连结结AP，过点，过点P作作PQAP交交DC于点于点Q,设设BP的长为的长为xcm,CQ的长为的长为ycm. (1)求点求点P在在BC上运动的过程中上运动的过程中y的最大值的最大值;(2)当当y = cm时时,求求x的值的值.ABCDPQ6.如图如图,在线段在线段BA上任取一上任取一P，连结，
18、连结PC,过过P作作PEPC，与线段，与线段DB交于点交于点E，1试确定试确定AP=2.5时点时点E的位置；的位置；2假设设假设设AP=x，BE=y，试写出，试写出y关于自关于自变量变量x的函数关系式，并求出自变量的函数关系式，并求出自变量x的取的取值范围值范围.438ADCBPEFABCDE7.在在ABC中，中，BAC=90,AB=AC=2，点，点D、E分别以每秒分别以每秒 个单位和个单位和每秒每秒1个单位的速度沿个单位的速度沿BC和和CA方向方向运动，那么运动了几秒后，运动，那么运动了几秒后，ABD和和CDE类似。类似。ABCDE在在ABC中，中，BAC=90,AB=AC=1，点，点D、E
19、分别以每秒分别以每秒 个单位和个单位和每秒每秒1个单位的速度沿个单位的速度沿BC和和CA方向方向运动，那么运动了几秒后，运动，那么运动了几秒后，CDE面面积最大。积最大。8.等腰等腰ABC中，中，AB=AC=8。BAC=120，P为为BC的中点，小慧拿着含的中点，小慧拿着含30角的透明三角板，使角的透明三角板，使30角的顶角的顶点落在点点落在点P，三角板绕点，三角板绕点P旋转。旋转。ABC1如图，三角板的两边分如图，三角板的两边分别与别与AB、AC交于交于E、F 时，时，求证：求证：BPECFPPEF2当三角板绕点当三角板绕点P旋转，使三角板旋转，使三角板的两边分别交的两边分别交BA的延伸线、
20、边的延伸线、边AC于于E、F时，时， BPE与与CFP还类似吗？只需还类似吗？只需写出结论写出结论ABCPPEFPP3连结连结EF， BPE与与PEF类似类似吗？请阐明理由吗？请阐明理由直击中考直击中考 本册综合性问题本册综合性问题A B C D1、2021年广东茂名市如图，ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，那么图中阴影部分的面积是ABC的面积的 EHFGCBAC A 1 B C D 2试一试：试一试：如如图图，矩形，矩形纸纸片片ABCDABCD中，中，AB=4AB=4，AD=3AD=3，折叠，折叠纸纸片使片使ADAD边边与与对对角角线线BDBD重合，折痕重合，折痕为为DGDG，那么，那么AGAG的的长为长为C例例1.如图，点如图，点D是是ABC的外接圆上弧的外接圆上弧BC的中点，且的中点，且AD9，DE4.求：求：BD的长的长.ABDCE2.2.如图，知抛物线与如图，知抛物线与x x轴交轴交A,BA,B两点，与两点，与y y轴轴交于交于C C点，抛物线上有一点点，抛物线上有一点P P，满足，满足PBC=90PBC=90，求点，求点P P的坐标；的坐标；ABP1COxyX=423Q6P2
