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1、第十二章第十二章 微分方程微分方程微分方程的基本概念微分方程的基本概念一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法微分方程的幂级数解法微分方程的幂级数解法1 解解（1）（1）式两端积分，得）式两端积分，得: 即即（2） 把条件把条件“x=1，y=2”代入（代入（2）式，得）式，得 于是所求曲线方程为于是所求曲线方程为例例 1 一曲线通过点（一曲线通过点（1，2），且在该曲线上任一点），且在该曲线上任一点 M（x，y）处的切线的斜率为处的切线的斜率为 2x，求这曲线的方程。求这曲线的方程。根据导数的几何意义，根据导数的几何意义，第一节第一节 微分方程的基本概念
2、微分方程的基本概念设所求曲线方程为设所求曲线方程为2（3）例例 2 将某物体置于空气中，在时刻将某物体置于空气中，在时刻 t =0 时，测量得它的温度时，测量得它的温度 20 分钟后物体的温度。分钟后物体的温度。度保持为度保持为 。求此物体的温度。求此物体的温度 u 和时间和时间 t 的关系，并计算的关系，并计算 为为 10 分钟后测得温度为分钟后测得温度为 。假定空气的温。假定空气的温 解解设物体在时刻设物体在时刻 t 的温度为的温度为 u = u (t) ，则物体温度相对于时间的变化率为则物体温度相对于时间的变化率为 由牛顿冷却定律，由牛顿冷却定律， 两边积分得：两边积分得：（4）由（由（
3、3）得：）得：3从而从而代入上式，解得：代入上式，解得：将将微分方程：微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程。含有未知函数的导数（或微分）的方程。未知函数是一元函数的微分方程。未知函数是一元函数的微分方程。未知函数是多元函数的微分方程。未知函数是多元函数的微分方程。微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.微分方程微分方程 的阶的阶:常微分方程常微分方程:偏微分方程：偏微分方程：4（5）一般地，一般地，n 阶微分方程阶微分方程的形式是的形式是 y 是是未知函数，未知函数，x 是自变量。是自变量。而且一定含有而且一定含有 ；是是的函数，的函数
4、，解中含有任意常数，且解中含有任意常数，且独立独立的任意常数的个数等于的任意常数的个数等于 微分方程的阶数。微分方程的阶数。通解通解：如果函数如果函数代入微分方程后，代入微分方程后， 能使方程变为恒等式，能使方程变为恒等式，则称则称 为为微分方程的解微分方程的解。满足满足初始条件初始条件的解。的解。特解特解：三阶微分方程。三阶微分方程。一阶微分方程。一阶微分方程。5n 阶微分方程的阶微分方程的初始条件初始条件是指如下的是指如下的 n 个条件：个条件：求微分方程满足初始条件的特解的问题求微分方程满足初始条件的特解的问题. . 这里这里 是给定的是给定的n+1个常数。个常数。当当时，时，或或写作写
5、作一般初值问题可写为：一般初值问题可写为：初值问题初值问题: :6称它为称它为微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线。微分方程的解的图形是一条曲线，微分方程的解的图形是一条曲线，满足初始条件的特解就是通过点满足初始条件的特解就是通过点 的一条积分曲线。的一条积分曲线。解解例例3 验证：函数验证：函数是是微分方程微分方程的的解。解。通解通解7第二节第二节 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程讨论一阶微分方程讨论一阶微分方程 的一些解法。的一些解法。 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程:假定假定g ( y ) 和和 f ( x ) 都是连续函数，都是连续函数， 如果一个一阶微分方程能写成如
6、果一个一阶微分方程能写成（1）（2）（2）称为微分方程（）称为微分方程（1）的）的隐式解隐式解， 由于（由于（2）式中含有任）式中含有任意常数，意常数， （2）也称为微分方程（）也称为微分方程（1）的）的隐式通解隐式通解。那末原方程叫做可分离变量的微分方程那末原方程叫做可分离变量的微分方程8若若是是由（由（2）式所确定的隐函数，）式所确定的隐函数， 则当则当时，时，也是（也是（1）的解。）的解。事实上，对事实上，对两边求导，得：两边求导，得：即：即：同理，同理，若若是是由（由（2）式所确定的隐函数，）式所确定的隐函数， 则当则当时，时，也是（也是（1）的解。）的解。（1）（1）（2）9 例例
7、1 求微分方程求微分方程 的通解。的通解。解解从而从而 两端积分得两端积分得令令 ，得得通解通解通解通解为为 例例 2 求微分方程求微分方程 满足初始条件满足初始条件 的特解。的特解。解解将原方程分离变量得将原方程分离变量得将原方程分离变量得将原方程分离变量得两端积分得两端积分得即即-隐式通解隐式通解隐式通解隐式通解 10由于铀的衰变速度与其含量成正比由于铀的衰变速度与其含量成正比,则则 解解铀的衰变速度就是铀的衰变速度就是 M ( t ) 对时间对时间 t 的导数的导数例例3 放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元变化的规律。
8、变化的规律。t = 0 时铀的含量为时铀的含量为 ，求在衰变过程中铀含量，求在衰变过程中铀含量 M ( t ) 随时间随时间t 素，铀的含量就不断地减少，这种现象叫做素，铀的含量就不断地减少，这种现象叫做衰变衰变。 由由原子物理学原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比。已知成正比。已知 将初始条件将初始条件 代入上式得代入上式得:所以满足初始条件的特解为所以满足初始条件的特解为:其中其中是正的常数，叫做是正的常数，叫做衰变系数衰变系数。11例例4 设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，设降落伞从跳伞塔下落后，所受空
9、气阻力与速度成正比， 求降落伞下落速度求降落伞下落速度 与时间的函数关系（设降落伞离开跳伞塔时与时间的函数关系（设降落伞离开跳伞塔时 速度为零）。速度为零）。 解解 设下落速度为设下落速度为 v ( t ) 。由题意，初始条件为由题意，初始条件为将方程分离变量后得将方程分离变量后得两端积分得两端积分得微分方程得通解为微分方程得通解为将初始条件代入上式得将初始条件代入上式得所以铀的衰变规律为所以铀的衰变规律为12或或于是所求的特解为于是所求的特解为将初始条件将初始条件 代入得：代入得：则则分离变量后得分离变量后得两端积分得两端积分得即即降落伞在下落过程中所受合外力为降落伞在下落过程中所受合外力为
10、13程中容器里水面的高度程中容器里水面的高度 h 随时间随时间 t 变化的规律。变化的规律。例例5 有高为有高为 1m 的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为截面面积为 1 。 开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过解解由水利学知道，由水利学知道，水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面水从孔口流出的流量（即通过孔口横截面的水的体积的水的体积 V 对时间对时间 t 的变化率）的变化率）Q 为为 ：其中：其中：0.62为流量系数，为流量系数，S 为孔口横截面面积，为孔口横截面面积，g为重力加速度。为重力加速
11、度。hO100cm现在孔口横截面面积现在孔口横截面面积 S =1 ，则则 （*）或或14又因又因故故（*）比较（比较（*）和（）和（*）两式，得）两式，得（*）方程（方程（*）就是未知函数应满足的微分方程。）就是未知函数应满足的微分方程。hhh+dhOrh100cm另一方面，另一方面，设在微小时间间隔（设在微小时间间隔（t , t+dt ）内，内，水面高度由水面高度由 h 降至降至h + dh ( dh 0 ) ,又可得到又可得到初始条件为初始条件为15将方程（将方程（*）分离变量得）分离变量得两端积分得两端积分得即即代入初始条件得代入初始条件得因此因此所以本初值问题的解为所以本初值问题的解为 注注: 种常用方法。种常用方法。本例中所使用的微小分析的方法，也是建立微分方程的一本例中所使用的微小分析的方法，也是建立微分方程的一16小结小结:1. 微分方程、微分方程的解、通解、特解微分方程、微分方程的解、通解、特解2. 可分离变量微分方程的解法可分离变量微分方程的解法作业作业 ：课本习题：课本习题 12-1 12-2 作业纸作业纸 P53-P55 下次交下次交P53-54 17
