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1、 第24章 圆24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径1、什么叫做轴对称图形？、什么叫做轴对称图形？2、同一个圆上的两个半圆是等弧吗？为什么？、同一个圆上的两个半圆是等弧吗？为什么？3、圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴怎样？、圆是轴对称图形吗？如果是，对称轴怎样？如果不是，请说明理由？如果不是，请说明理由？结结 论：论：圆是轴对称图形。圆是轴对称图形。经过圆心的每一条直线都经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。是它的对称轴。特殊性：特殊性：对称轴有无数条。对称轴有无数条。想一想一想一想一想？想？想？想？ 结结 论：论：圆是轴对称图形。圆是轴对称图形。经过圆心的每一条直线都经过圆心的每一条直线都
2、是它的对称轴。是它的对称轴。特殊性：特殊性：对称轴有无数条。对称轴有无数条。AB一、圆的轴对称性一、圆的轴对称性结结 论：论：圆是轴对称图形。圆是轴对称图形。经过圆心的每一条直线都经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。是它的对称轴。特殊性：特殊性：对称轴有无数条。对称轴有无数条。一、圆的轴对称性一、圆的轴对称性ABCDOOCDABEOCDAB图图 1图图 2图图 3ABCDOOCDABE图图 1图图 2图图 3AE = BE，AC = BC ，AD = BD 求证：求证：在在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是是弦，弦，CDAB，垂足为垂足为E。已知：已知：动脑筋动脑筋OCDABEAE = B
3、E，AC = BC ，AD = BD 求证：求证：在在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是是弦，弦，CDAB，垂足为垂足为E。已知：已知：证明：证明：连结连结OA、OB，则则OA=OB。垂直于弦垂直于弦AB的直径的直径CD所在的所在的直线既是等腰三角形直线既是等腰三角形OAB的对称的对称轴，又是轴，又是 O的对称轴。的对称轴。 当把圆当把圆沿着直径沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重合，两侧的两个半圆重合，A点点和和B点重合，点重合，AE和和BE重合，重合，AC、AD分别和分别和BC、BD重合。重合。因此：因此： AE = BE，AC = BC ，AD = BD OCDABEAE
4、 = BE，AC = BC ，AD = BD 求证：求证：在在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是是弦，弦，CDAB，垂足为垂足为E。已知：已知： 垂直于弦的直径平分这垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对条弦，并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。垂径垂径定理：定理：二、垂二、垂径径定理定理ADBCOEADBCEO图图 1图图 2OCDABEAE = BE，AC = BC ，AD = BD 求证：求证：在在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是是弦，弦，CDAB，垂足为垂足为E。已知：已知：垂直于弦的直径平分这垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对条弦，并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。垂
5、径垂径定理：定理：二、垂二、垂径径定理定理条件：条件：1、CD为直径为直径2、CDAB3、CD平分弦平分弦AB4、CD平分弧平分弧ACB5、CD平分弧平分弧ADB 结论：结论：OCDABEAE = BE，AC = BC ，AD = BD 求证：求证：在在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是是弦，弦，CDAB，垂足为垂足为E。已知：已知：垂直于弦的直径平分这垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对条弦，并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。垂径垂径定理：定理：二、垂二、垂径径定理定理条件：条件： 结论：结论：一条直线满足：一条直线满足：1、过圆心、过圆心2、垂直弦、垂直弦3、平分弦、平分弦4、平分
6、弦所对的劣弧、平分弦所对的劣弧5、平分弦所对的优弧、平分弦所对的优弧三、应用举例三、应用举例例例 1、如图，已知在、如图，已知在 O中，中，弦弦AB的长为的长为8cm，圆心圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求求 O的半径。的半径。OABE解：连结解：连结OA。过过O作作OEAB，垂垂足为足为E，则则OE=3cm, AE=BE.AB=8cmAE=4cm在在RtAOE中中, 有有OA= OE + AE = 3 + 4 =5(cm) 2222O的半径为的半径为5cm例例2、如图，在以、如图，在以O为圆心的两个为圆心的两个同心圆中同心圆中,大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D两点。两点。求证
7、：求证：AC = BDABCDOE证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为垂足为E， 则则AE = BE, CE = DEAE CE = BE DE 即即 AC = BD辅助线：垂直于弦的直径。辅助线：垂直于弦的直径。 实际上从圆心作与弦垂直的线段。实际上从圆心作与弦垂直的线段。 ABCDO1、如图、如图1，在，在 O中中, AB是是 弦弦, OC = OD。求证：求证：AC = BD (1)ABCDO2、如图、如图2，在，在 O中中, CD是是弦弦, OA = OB。求证：求证：AC = BD (2)2.已知：如图，在已知：如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，为互相垂直的两
8、条相等的弦，ODAB,OEAC,D、E为垂足。为垂足。求证：求证：ADOE为正方形。为正方形。OABCDE1. 在半径为在半径为50mm的的 O中，中，有长有长50mm的弦的弦AB。计算：计算：（1） 点点O与与AB的距离；的距离；（2）AOB的度数。的度数。OAB结结 论：论：圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。是它的对称轴。特殊性：特殊性：对称轴有无数条对称轴有无数条一、圆的轴对称性一、圆的轴对称性二、垂二、垂径径定理定理垂直于弦的直径平分这垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对条弦，并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。三、应用举例三、应用举例辅助线：垂直于弦的直径辅助线：垂直于弦的直径垂线段垂线段
