《第二章 随机变量及其分布(3-4.5学分)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 随机变量及其分布(3-4.5学分)（50页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、& 1 1 1 1、随机变量随机变量随机变量随机变量& 2 2 2 2、离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量& 3 3 3 3、随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数& 4 4 4 4、连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量& 5 5 5 5、随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量函数的分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是
2、随机变量量就是随机变量实例实例: 做试验抛一枚均匀硬币，其样本空间做试验抛一枚均匀硬币，其样本空间SeH,T 可规定映射可规定映射 随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。2.1 2.1 随机变量随机变量定义定义. . 设设S S是试验的样本空间，如果量是试验的样本空间，如果量X X是定义在是定义在S S上的一个单值实值函数即上的一个单值实值函数即对于每一个对于每一个e e S S，有一实数有一实数X=X=X(eX(e) )与与之对应，则称之对应，则称X X为为随机变量随机变量。随机变量。随机变量常用常用X X、Y Y、Z Z 或或 、 、
3、等表示。等表示。随机变量的特点随机变量的特点: 2 X X的每个可能取值所对应的事件是两两互不相容的的每个可能取值所对应的事件是两两互不相容的 1 X X的部分可能取值可用来描述随机事件的部分可能取值可用来描述随机事件解：解： 设设X X为将为将3 3个球随机地放入三个格子后的个球随机地放入三个格子后的空格数，则空格数，则A=X=1A=X=1，B=X=2B=X=2，C=X=0 C=X=0 设设Y Y为进行为进行5 5次试验中成功的次数，则次试验中成功的次数，则D=Y=1D=Y=1，F=YF=Y 1,G=Y1,G=Y 33随机变量的分类随机变量的分类 随机变量随机变量2.22.2离散型随机变量离
4、散型随机变量定义定义 若随机变量若随机变量X取值取值x1, x2, , xn, ( )且取且取这些值的概率依次为这些值的概率依次为p1, p2, , pn,( ,) 则称则称X为为离散型随机变量，而称离散型随机变量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为为X的的分布律分布律或概率分布。可表为或概率分布。可表为 PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或或(1) 非负性：非负性： pk 0, k1, 2, (2) 归一性：归一性： 解解: X的的可能取值为可能取值为0，1，2作业作业5.1和和5.2参照此例题参照此例题超几何分布超几何分布解解：0.87 0.72 0.7作业作业6.1
5、参照此例参照此例几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布1 1、（、（0-10-1）分布）分布若以若以X表示进行一次试验中事件表示进行一次试验中事件A发生的次数，则称发生的次数，则称X服从服从(01)分布分布(两点分布两点分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1) k0，1或或（二）（二）定义定义 设将试验独立重复进行设将试验独立重复进行n n次，每次试次，每次试验中，事件验中，事件A A发生的概率均为发生的概率均为p p，则称这则称这n n次试验次试验为为n n重贝努里试验重贝努里试验. .若以若以X X表示表示n n重重贝努里试验中事件贝努里试验中事件A A发生的次发生的次数，则称数，
6、则称X X服从参数为服从参数为n,pn,p的的二项分布二项分布。记作记作X X B B（n,pn,p),),其分布律为：其分布律为：2、二项分布、二项分布(01)分布是二项分布的特例分布是二项分布的特例.例例4.从某大学到火车站途中有从某大学到火车站途中有6 6个交通岗个交通岗, ,假设在各个假设在各个交通岗是否遇到红灯相互独立交通岗是否遇到红灯相互独立, ,并且遇到红灯的概率并且遇到红灯的概率都是都是1/3.1/3.(1)(1)设设X X为汽车行驶途中遇到的红灯数为汽车行驶途中遇到的红灯数, ,求求X X的分布律的分布律. .(2)(2)求汽车行驶途中至少遇到求汽车行驶途中至少遇到5 5次红
7、灯的概率次红灯的概率.解解: :(1)(1)由题意由题意, ,X X B(6,1/3),B(6,1/3),于是于是, ,X X的分布律的分布律为为: :作业作业5.3和和5.4参照此例题参照此例题例例5. 某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.02，他独立射击，他独立射击400次，试求其命中次数不少于次，试求其命中次数不少于2的概率。的概率。泊松泊松定理定理* * 设随机变量设随机变量XB(n, p), (n0, 1, 2,), 且且n很大，很大，p很小，记很小，记 =np，则则 解解: :设设X X表示表示400400次独立射击中命中的次数，次独立射击中命中的次数，则则X XB(400,
8、0.02)B(400, 0.02)，故故PXPX 221 1 PX PX00P XP X11 1 10.980.98400400(400)(0.02)(0.98(400)(0.02)(0.98399399)=)=作业作业5.6参照此例题参照此例题上题用泊松定理上题用泊松定理 取取 =np(400)(0.02)8, 故近似地有近似地有 XPXk , k0, 1, 2, (0)3、 泊松泊松(Poisson)分布分布P( )解解:由题意由题意,例例7 7：设书中每一页上印刷错误个数服从参数为设书中每一页上印刷错误个数服从参数为 =1/2的泊松分布，求（的泊松分布，求（1）一页上至少有一处印错的概率
9、？）一页上至少有一处印错的概率？(2) 10页中至多有一页有错的概率？页中至多有一页有错的概率？解解: (1) 设设X为一页上印刷错误的个数，则为一页上印刷错误的个数，则 所求概率为：所求概率为：(2) 设设Y为为10页中有错的页数，则页中有错的页数，则 所求概率为：所求概率为：2.3 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数 一、分布函数的概念一、分布函数的概念 定义定义: : 设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数x，事件事件X x的概率的概率PX x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为。记为F(x)，即即 F(x)P X x 易知，对任意实数易知，对任意实
10、数a, b (ab), P aX bPX bPX a F(b)F(a)二、分布函数的性质二、分布函数的性质 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2, 则则F(x1) F(x2) ; 3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数 ，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质数的充分必要性质。2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x) 1，且且解解: X012P0.1 0.60.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。当当x0x0时时, , F(F(
11、x x)=0)=0当当0 x1 时时, F(x)=PXx=PX=0=0.1当当1 1 x 2 x 2 时时, , F(x)=PXx=PX=0+PX=1=0.1+0.6=0.7F(x)=PXx=PX=0+PX=1=0.1+0.6=0.7当当2 2x x时时, , F(xF(x)=)=PXxPXx=PX=0+PX=1+PX=2=1=PX=0+PX=1+PX=2=1作业作业6.1参照此例题参照此例题一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为其分布函数为 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,分布函数的跳跃点对应离
12、散型随机变量的分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点可能取值点,跳跃高度对应随机变量取对应跳跃高度对应随机变量取对应值的概率值的概率;反之反之,如果某随机变量的分布函如果某随机变量的分布函数是阶梯函数数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型则该随机变量必为离散型.例例2：设离散设离散r.v. X的分布函数为：的分布函数为：求求 r.v.X的分布律，并求的分布律，并求解：解：作业作业6.2参照此例题参照此例题例例3 向向0,1区间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X表示质点坐表示质点坐标标.假定假定质点落在质点落在0,1区间内任一子区间内的概区间内任一子区间内的概率与区间长成正比率与区间长
13、成正比，求，求X的分布函数的分布函数当当x1 , F(x)=1当当00x1x1时时, ,特别特别, ,F(1)=P0X1=k=1F(1)=P0X1=k=1解：解： F(x)=PXx2.4 连续型随机变量一、概率密度一、概率密度 1. 定义定义: : 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负函数若存在非负函数f(x)，(- x+ )，使对任意实数使对任意实数x，都有都有则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f(x)为为X的的概率概率密度函数密度函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为常记为 X f(x) , (- x+ )2. 密度函数的性质密度函数的性质 (1)
14、非负性非负性 f(x) 0，(- x )； (2)归一性归一性性质性质(1)、(2)是密度函数的充要性质是密度函数的充要性质. 设随机变量X的概率密度为求常数a.答:(3) 若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则设随机变量X的分布函数为求f(x)（4 4） 对任意实数对任意实数b b，若若X X f(x) f(x)，(-(- xx ) )，则则PX=PX=b b 0.0.于是于是 例例1：已知随机变量：已知随机变量X的概率密度为的概率密度为（1）求参数）求参数A. (2) P0.5X3. (3) 求分布函数求分布函数F(X).解：解：作业作业6.6参照此例题参照此例题二、几个常用的连续型分
15、布二、几个常用的连续型分布 1. 均匀分布均匀分布若 Xf(x) 则称则称X在在(a, b)内服从内服从均匀分布。记作均匀分布。记作 XU(a, b) 对任意实数对任意实数c, d (acd0的的指数分布。指数分布。其分布函数为其分布函数为2. 指数分布指数分布解解解解: :当当t 0时，时，当t 0时，于是于是其中其中 为实数，为实数， 0 ，则称，则称X服从参数为服从参数为 , 2的的正态正态分布分布,记为记为N( , 2)，可表为可表为XN( , 2).若随机变量随机变量3. 正态分布正态分布 (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x= 对称对称；f( )maxf(x
16、)正态分布有两个特性正态分布有两个特性：参数参数 0， 21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分布，标准正态分布，记作记作XN(0, 1)。4.标准正态分布标准正态分布分布函数表示为分布函数表示为其其密度函数密度函数表示为表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅供读者查阅 (x)的值。的值。 注注：(1) (x)1 (x)； (2) 若若XN( , 2)，则则= (2.43)- (1.32)=0.9925-0.9066若若 Z Z N N（0 0，1 1）, ,P1.32Z2.43P1.32Z2.431. 设随机变量设随机变量XN(-1
17、,22),P-2.45X2.45=?作业作业7.2参照此例题参照此例题例例 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布布(100,15(100,152 2),),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个元个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的件损坏与否是相互独立的. .求：使用的最初求：使用的最初9090小时内小时内无一元件损坏的概率无一元件损坏的概率. .解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数, ,故故则YB(3,p)其中其中作业作业7.1、7.4参照此例题参照此例题 2.5 2.5 随机变量函数的分布随
18、机变量函数的分布一、离散型随机变量函数的分布律一、离散型随机变量函数的分布律 设设X一个随机变量，分布律为一个随机变量，分布律为 XPXxkpk, k1, 2, 例例:已知已知Xpk-1 0 1求：求：Y=X2的分布律的分布律Ypk1 0 若若yg(x)是一元单值实函数，则是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个也是一个随机变量随机变量.求求Y的分布律的分布律.作业作业8.1参照此例题参照此例题或或 Yg(X)PYg(xk)pk ， k1, 2, （其中其中g(xk)有相同的，其对应概率合并。）有相同的，其对应概率合并。）一般地一般地XpkY=g(X)已知已知 Xb(n,p),求求Y=2X的分布
19、律的分布律解解:Y:Y的可能取值为的可能取值为0,2,4,0,2,4,2n.,2n.二、连续型随机变量函数的密度函数二、连续型随机变量函数的密度函数 1、分布函数法、分布函数法 若若X X f(xf(x), -), - x + x + , Y=, Y=g(Xg(X) )为随机变量为随机变量X X 的函数，则可先求的函数，则可先求Y Y的分布函数的分布函数 然后再求然后再求Y的密度函数的密度函数此法此法称为称为“ 分布函数法分布函数法”FY (y) PY yP g(X) y当当y0时时当当0y1时时当当y1时时解解作业作业8.2、8.48.6参照此例题参照此例题一般地，若一般地，若X Xf fX
20、 X(x(x), y=), y=g(xg(x) )是是单调可导单调可导函数，则函数，则 注注：1. 1. 只有当只有当g(xg(x) )是是x x的单调可导函数时，的单调可导函数时， 才可用以上公式推求才可用以上公式推求Y Y的密度函数。的密度函数。 2. 2. 注意定义域的选择注意定义域的选择其中其中h(yh(y) )为为y yg(xg(x) )的反函数的反函数. . ming(a),g(b)，maxg(a),g(b)2、公式法、公式法的概率密度的概率密度关于关于x可导单调可导单调,反函数为反函数为故故作业作业8.3参照此例题参照此例题例例4 4 设设X X U(0,1),U(0,1),求求Y=Y=aX+baX+b的概率密度的概率密度.(.(a0)a0)解解: y=ax+by=ax+b关于关于x单调可导单调可导,反函数为反函数为故故而而故故小结
