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1、第二章第二章 维纳滤波与卡波与卡尔曼曼滤波波n 2.1 引言引言 n本章内容是本章内容是处理噪声中提取信号的理噪声中提取信号的问题。而。而 维纳(Wiener)滤波与卡波与卡尔曼曼(Kalman)滤波就是用波就是用来来处理理这样一一类从噪声中提取信号从噪声中提取信号问题的一种的一种过滤(或或滤波波)方法。方法。n信号的恢复及信号的判决是两个概念。信号的恢复及信号的判决是两个概念。n而信号恢复估而信号恢复估计的准确性判的准确性判别准那么也不准那么也不一一样。如：。如：误差的代数和最小；差的代数和最小；误差的差的绝对值和最小；和最小；误差的平方和最小等。差的平方和最小等。见实例例Wiener &
2、Kalman Filter 设计即设计即获得系统的单位冲激相应的准那么：获得系统的单位冲激相应的准那么：条件条件n满足最小均方误差正交性原理为准那么的，即保证：n益处：运算简单，对过大噪声敏感，小噪声不敏感；符合实践工程需求n因此维纳过滤与卡尔曼过滤又经常被称为最正确线性过滤与预测或线性最优估计。输入信号及入信号及滤波器波器输出模型出模型输入信号：输入信号：输出信号输出信号 ： 维纳滤波器的输入输出关系本质是设计系统(传送)函数或单位冲激呼应 n2.2 维纳滤波器的离散方式波器的离散方式(I) 时域解域解h(n)=0 当n0的约的约束条件，卷积定理双边束条件，卷积定理双边Z变换不能用。变换不能
3、用。n2。实践物理系统为因果系统。实践物理系统为因果系统。n处理思绪：处理思绪：n1。设计一个非因果性系统滤波器。设计一个非因果性系统滤波器。n2。用有限长的因果序列。用有限长的因果序列h(n)来逼近来逼近hopt(n).本本质为设计质为设计FIR型滤波器。型滤波器。 结结 论论n1. 维纳滤波器的设计本质为求解Weiner-Hopf 方程。n2。非因果系统设计简单n3。最小方差准那么的维纳滤波器，用有限冲激呼应的FIR滤波器来实现，计算复杂，任务量大，并不是有效的方法。例题1：2.3 维纳滤波器的z域解n求解的根本思想：n 把x(n)加以白化来求维纳-霍夫方程的z域解.n (这种方法是由波德
4、(Bode)和香农(Shannon)首先提出的) n 白化：任何具有有理功率谱密度的随机信号都可以看成是由一白色噪声鼓励一物理网络所构成。 图图2.3 s(n)的信号模型的信号模型 图图2.4 x(n)的信号模型的信号模型 图图2.5 信号模型信号模型 B(z)是由单位圆内的零极点组成，B(1/z)是由对应的单位圆外的零极点组成。因此：BZ是一个因果(或物理可实现)的并且是最小相移的网络 用白化用白化x(n)的方法求解维纳的方法求解维纳-霍夫方程霍夫方程于是，求在最小均方误差下的最正确Hopt(z)的问题就归结为求最正确G(z)的问题了。我们可以对G(z)加以因果性或非因果性的约束详细求解。由
5、于G(z)的鼓励源是将x(n)白化后得到的白噪声，这就使得求图2.7(b)中的最正确G(z)比求图2.7(a)中的最正确H(z)容易，为什么白化的缘由得 ：2.3.1 没有物理可没有物理可实现性性约束的束的(非因果非因果的的)维纳滤波器波器物理意义及其解释物理意义及其解释图2.8 决决议于于 与与 特性的例子特性的例子最小均方差求解最小均方差求解最小均方误差不仅与输入信号的功率有最小均方误差不仅与输入信号的功率有关反，而且与信号和噪声的功率谱关反，而且与信号和噪声的功率谱的乘积有关正。的乘积有关正。n 2.3.2 有物理可实现性约束的(因果的)维纳滤波器 例1 设知 ，以及(白噪声)其中其中s
6、(n)代表所希望得到的信号，代表所希望得到的信号，代表加性白噪声。求物理可代表加性白噪声。求物理可实现与物理不可与物理不可实现这二种情况下的二种情况下的及。 解 由于所以所以 又由于其中其中B(z)由单位圆内的零极点组成，由单位圆内的零极点组成，B(z-1)由单由单位圆外的零极点组成，上两式比较得位圆外的零极点组成，上两式比较得 (1) 物理可实现情况由于由于对于于项。所以。所以利用式利用式(2.52)并思索到并思索到，得，得取取单位位圆为积分分围线，上式等于，上式等于单位位圆内的内的积点点的留数之和，即的留数之和，即而在经过此滤波器以前的均方误差为而在经过此滤波器以前的均方误差为所以所以经过
7、维纳滤波器后均方波器后均方误差下降差下降8/3(2.7)倍。倍。 (2) 非物理可实现的情况取单位圆为积分围线取单位圆为积分围线C。在单位圆内有二个极点：。在单位圆内有二个极点：。H式等于式等于该二个极点的留数，因此二个极点的留数，因此前面求得物理可前面求得物理可实现的的所以在此例中非物理可所以在此例中非物理可实现情况的均方情况的均方误差略小于差略小于(即稍好于即稍好于)物理可物理可实现的情况。可以的情况。可以证明，物理可明，物理可实现情况的最小均方情况的最小均方误差差总不会小于非物理可不会小于非物理可实现的情况。的情况。2.4 维纳预测器器n 2.4.1 预测的能够性n 2.4.2 预测器的
8、计算公式维纳预测器维纳预测器n (1) 没有物理可实现性约束的(非因果的)维纳预测器n(2) 有物理可有物理可实现性性约束的束的(因果的因果的)维纳预测器器n 2.4.3 纯预测器(N步) 例2 知及及 求 (1) 使均方误差最小的(2) 最小均方误差 解 由于由于所以所以由式由式(2.63)得因果的维纳预测器，应有得因果的维纳预测器，应有由于由于所以所以对只取上式中只取上式中n0的部分，得的部分，得再回到再回到z-域，得域，得代入代入Hopt(z)表达式，得表达式，得这个结果可用方框图表示在图这个结果可用方框图表示在图2.11中。中。图图2.11 纯预测的例子纯预测的例子 由式(2.65)得
9、它阐明：它阐明：N越大，误差越大，假设越大，误差越大，假设N=0那么没有误差。那么没有误差。 如今来解释上述疑问。我们是把看成由白噪声看成由白噪声经过B(z)产生的，而生的，而故该信号模型可以用一个一阶差分方程来表达：故该信号模型可以用一个一阶差分方程来表达：图图2.12 一阶信号模型的例子一阶信号模型的例子n 2.4.4 维纳预测器的时域解 一步线性预测公式 2.5 卡尔曼滤波的信号模型形状方程与量测方程n 2.5.1 离散形状方程及其解n 2.5.2 量测方程图图2.13 卡尔曼滤波的信号模型卡尔曼滤波的信号模型(a) 多维情况；多维情况； (b) 一维情况。一维情况。 例3 仍沿用前面维
10、纳滤波中的例子(例1)，设，知，知求卡求卡尔尔曼信号模型中的曼信号模型中的与与解 由于由于 所以所以变换到到时域：域：所以所以又，由于又，由于，所以，所以。 2.6 卡尔曼过滤的方法与公式 例4 设 为实离散时间随机过程，具有功率谱密度：并知并知在在k=0时开开场察看信号察看信号，试用卡用卡尔尔曼曼过滤的的计算公式求算公式求，并将，并将计算算结果与果与维纳过滤方法方法计算算(例例1)的的结果果进展展比比较(此例此例与例与例1中的一中的一样)。解解 从从给定的定的，可以求得，可以求得的形状方程。由于的形状方程。由于(参见2.5，例3)所以所以 又由于又由于 所以所以 代入式(2.89)、(2.1
11、02)、(2.99)及(2.103)，得(2.105)(2.106)(2.107)(2.108)将式将式(2.106)代入式代入式(2.108)，得，得 从式(2.107)与式(2.109)中消去，得，得求求稳态解，将式解，将式(2.110)中的中的代入并化代入并化简，得，得所以所以(只取正值解)所以所以所以所以由此可见，知前一个估计值由此可见，知前一个估计值 与当前的量测值与当前的量测值 ，就可以求得当前的估，就可以求得当前的估计值。 本章小结n1。掌握Wiener滤波器的作用噪声中信号的恢复估计。n2。掌握Wiener滤波器的设计原那么保证估计结果的均方误差最小正交原理。n3。掌握Wien
12、er滤波器设计本质及结果本质为解WienerHofp方程，结果方式为单位冲激呼应h(n)(时域)或系统函数H(z)频域. z=0.01*randn(1,150)-0.37727;xx(1)=-0.31;Q=0.000001;R=1;p(1)=0.02; s(1)= -0.37727;for k=2:1:150 s(k)= -0.37727;xs(k)=xx(k-1);ps(k)=p(k-1)+Q;K(k)=ps(k)/(ps(k)+R);xx(k)=xs(k)+K(k)*(z(k)-xs(k);p(k)=(1-K(k)*ps(k);endplot(xx);hold on plot(z,r)plot(s,k)
