共共顶点的等腰三角形点的等腰三角形问题1 等腰三角形的两条腰相等，如果两个等腰三角形共等腰三角形的两条腰相等，如果两个等腰三角形共顶点且点且顶角相等，那么角相等，那么将两条腰分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会将两条腰分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，会发现某些某些线段在数段在数量和位置上有着特殊的关系量和位置上有着特殊的关系. .常常见的有共的有共顶点的等腰直角三角形和等点的等腰直角三角形和等边三角形，我三角形，我们一起来探究一起来探究. .2 类型一：型一：共共顶点的等腰三角形点的等腰三角形问题如如图，，AB＝＝AC，，AE＝＝AF，，∠∠BAC＝＝∠∠EAF＝＝90°，，BE、、CF交交于于M，，求求证：：⑴⑴BE＝＝CF；；⑵⑵BE⊥⊥CF；；⑴⑴证明：明：∵∠∵∠BAC＝＝∠∠EAF＝＝90°，，∴∠∴∠BAC＋＋∠∠1＝＝∠∠EAF＋＋∠∠1即即∠∠EAB＝＝∠∠FAC又又∵∵AB＝＝AC，，AE＝＝AF∴∴△△EAB≌≌△△FAC∴∴BE＝＝CF3 类型一：型一：共共顶点的等腰三角形点的等腰三角形问题如如图，，AB＝＝AC，，AE＝＝AF，，∠∠BAC＝＝∠∠EAF＝＝90°，，BE、、CF交交于于M，，求求证：：⑴⑴BE＝＝CF；；⑵⑵求求证：：BE⊥⊥CF；；⑵⑵证明：明：∵△∵△EAB≌≌△△FAC∴∠∴∠2＝＝∠∠4∵∠∵∠2＋＋∠∠3＋＋∠∠5＝＝90°∴∠∴∠4＋＋∠∠5＋＋∠∠3＝＝∠∠2＋＋∠∠5＋＋∠∠3 ＝＝90°∴∴BE⊥⊥CF4 如如图，，△△ABC和和△△ADE均均为等腰直角三角形，等腰直角三角形，∠∠ACB＝＝∠∠AED＝＝90°，，连接接BD，求，求证：：∠∠DBE=45°.证明：明：过D作作DF⊥⊥BE于于F∵△∵△ABC和和△△ADE为等腰等腰直角三角形直角三角形∴∴AE=ED，，∠∠ACE=∠∠EFD∠∠1＝＝90°－－∠∠2=∠∠3∴△∴△ACE≌≌△△EFD∴∴CE=FD，，EF＝＝AC∵∵AC=BC∴∴BC＝＝EF∴∴BC－－FC＝＝EF－－FC即即BF＝＝CE∴∴BF＝＝FD∴△∴△BFD是等腰直角三角形是等腰直角三角形∴∠∴∠DBE＝＝45°.5 类型二：型二：共共顶点的等点的等边三角形三角形如如图所示，所示，△△ACM和和△△BCN都都为等等边三角形，三角形，连接接AN、、BM，求，求证：：AN=BM.证明：明：∵△∵△ACM和和△△BCN都都为等等边三角形，三角形，∴∠∴∠1＝＝∠∠3＝＝60°∴∠∴∠1＋＋∠∠2＝＝∠∠3＋＋ ∠∠2即即∠∠ACN＝＝∠∠MCB∵∵CA＝＝CM，，CB＝＝CN∴△∴△CAN≌≌△△CMB(SAS)∴∴AN＝＝BM6 如如图所示，所示，△△ACM和和△△BCN都都为等等边三角形，三角形，连接接AN、、BM，求，求证：：AN=BM.如果改如果改如果改如果改变变两个三角形的相两个三角形的相两个三角形的相两个三角形的相对对位置，以上位置，以上位置，以上位置，以上结论还结论还成立成立成立成立吗吗？？？？证明：明：∵△∵△ACM和和△△BCN都都为等等边三角形，三角形，∴∠∴∠1＝＝∠∠3＝＝60°∴∠∴∠1＋＋∠∠2＝＝∠∠3＋＋ ∠∠2即即∠∠ACN＝＝∠∠MCB∵∵CA＝＝CM，，CB＝＝CN∴△∴△CAN≌≌△△CMB(SAS)∴∴AN＝＝BM∴∠∴∠1－－∠∠2＝＝∠∠3－－ ∠∠2NAB1MC327 如果两个等腰三角形共如果两个等腰三角形共顶点且点且顶角相等，那么将两条腰分配到不同的两个角相等，那么将两条腰分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形，并且我三角形中会得到全等三角形，并且我们会会发现：改：改变两个三角形的相两个三角形的相对位置并位置并不会改不会改变所得的三角形的全等关系所得的三角形的全等关系. .8 。
