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1、等差数列1 1、数列是怎样定义的、数列是怎样定义的? ? 如何从函数观点认识数列如何从函数观点认识数列? ? 给出数列有哪两种主要方法给出数列有哪两种主要方法 ? ? 数列的定义：数列的定义： 按一定次序排成的一列数按一定次序排成的一列数一般形式为：一般形式为：a a1 1 ,a,a2 2 ,a,a3 3 , ,a , ,an n , ,函数观点看数列函数观点看数列: : 数列可以看作是一个定义域为正整数集数列可以看作是一个定义域为正整数集N N ( (或它的有限子集或它的有限子集1,2,3,n)1,2,3,n)的函数当自变量的函数当自变量从小到大依次取值时的一列函数值，而数列的通项从小到大依
2、次取值时的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应的函数解析式公式也就是相应的函数解析式给出数列两种主要方法：给出数列两种主要方法：通项公式：通项公式：递推公式，递推公式， 如如a an n=3n+2 (n N=3n+2 (n N+ +且且n1);n1);如如a an n=a=an-1n-1+3 (nN+3 (nN+ +且且n2)n2)、听电影红高粱插曲、听电影红高粱插曲请问你能否分析请问你能否分析“酒神曲酒神曲”中的中的“1、4、7”、“3、6、9”与刚学的数列的基本概念之间的关系与刚学的数列的基本概念之间的关系?并分析并分析其特点？其特点？、幸运、幸运52中有这样一道题：中有这样一道题：一列
3、数一列数1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，请请你根据所学知识说出你根据所学知识说出x为多少？为多少？、大家听过德国大数学家高斯、大家听过德国大数学家高斯10岁那年如何聪明岁那年如何聪明解答解答1234100的故事，数学家从小的故事，数学家从小就善于观察、分析和研究。请你来观察发现其中就善于观察、分析和研究。请你来观察发现其中1，2，3，4，100这列数有什么特点？这列数有什么特点？2、下面再观察几列数，并分析出它们的共同特点：、1，1，1，1，1，1，1，、某剧场前10排的座位数分别是： 38，40，42，44，46，48，50，52，54，56，、某长跑运动员7天里每天的训练量（
4、单位：m）是：7500，8000，8500，9000，9500，10000，10500，共同特点：从第从第2 2项起项起，第一项与它的前一项的差都等于同 一个常数。 也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列等差数列定义：等差数列定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。即：an-an-1=d(常数) （n2） 如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是0 , 2 , 2500 .二二 等差数列的通项公式等差数列的通项公式则据其定义
5、可得：(n-1）个等式1、已知等差数列an的首项是a1，公差是d，a2-a1=da3-a2=dan-an-1=d即可得：a2=a1+da3=a2+d=a1+2da4=a3+d=a1+3d由此可得：an= a1+(n-1)d说明：已知等差数列首项a1和公差d，可求通项 d=(an-am) (n-m)(2) an=a1+(n-1)d , am=a1+(m-1)d , an- am = (n-m)d 即如a5= a4+d= a3+2d= a2+3d= a1+4dan=am+(n-m)d三三 等差数列的几何意义及函数解释等差数列的几何意义及函数解释=dn+(=dn+(a1-d)如果一个数列从第如果一个
6、数列从第2项起，每一项与项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数它前一项的差等于同一个常数d=an+1-anan=a1+(n-1)d等差数列各项对应的孤立等差数列各项对应的孤立的点都在同一条直线上的点都在同一条直线上.等差数列等差数列( (二二) )等差数列an中，d0时递增，d0时递减， d=0时为常数列，等差数列不会是摆动数列【说明】【说明】数列数列 an为等差数列为等差数列 an+1-an=d 或或an+1=an+d公差是公差是的常数；的常数；唯一唯一推导等差数列通项公式的方法叫做推导等差数列通项公式的方法叫做法法.递推递推【说明】例1：(1)等差数列8，5，2，的第20项是 ；任知 个
7、，可求 . (2)等差数列-5，-9，-13，的第 项是-401；-49在等差数列an 的通项公式中a1, n ,d, an(3)已知an 为等差数列，若a1=3, d=3/2,an=21,则n= ;10013四四 例题讲解例题讲解三个量另外一个量例2. 在等差数列an中，已知a5=10,a12=31，求首项a1与公差d解这个方程组，得 a1+4d=10a1+11d=31 这是一个以和d为未知数的二元 一次方程组。(1)(2)解：由题意可知 即这个等差数列的首项是 -2， 公差是 3a1=-2,d=3 若将例2改成：在等差数列an中，已知a5=10，a15 =25，求a25 ,并判断79是否为
8、数列中的项？若是，是第几项？若不是，说明理由。 根据例2直接利用通项公式先求首 项a1和公差d，再求a25 和求n。 分析一分析一： a1+4d=10a1+14d=25 a1=4,d=3/2 则：a25=4+(25-1) 3/2=40 79=4+(n-1) 3/2 则：n=51分析二分析二：应用推广的通项公式an=am+(n-m)d 则: (15-5)d=25-10 d=3/2a25=a15+(25-15) d=4079=40+(n-25) 3/2即：n=51若将例2改成：在等差数列an中，已知a5=10，a15 =25，求a25 ,并判断79是否为数列中的项？若是，是第几项？若不是，说明理由
9、。若将例2改成：在等差数列an中，已知a5=10，a15 =25，求a25 ,并判断79是否为数列中的项？若是，是第几项？若不是，说明理由。分析三分析三： a25- a15= a15- a5 发现a5、 a15、 a25也成等差数列 等差数列an中 a5=10， a15=25， a25=40 由等差数列的几何意义可知：等差数列的图象是一条直线上一群孤立的点。 由于 P（5，10）、 Q（15，25）、R（n,79) 在同一直线上，若将例2改成：在等差数列an中，已知a5=10，a15 =25，求a25 ,并判断79是否为数列中的项？若是，是第几项？若不是，说明理由。分析三（续）分析三（续）：故
10、有：故有： 则n=5179-25n-15=25-1015-5【小结小结】数列数列 an为等差数列为等差数列；例3 已知数列an的通项公式是 an=3n-1,求证：an为等差数列。a an+1n+1- a- an n为常数为常数 已知数列an是等差数列， 求证：数列an+ an+1等差数列。证明一个数列为等差数列的方法是证明一个数列为等差数列的方法是.巩固与练习：巩固与练习：巩固与练习：巩固与练习：课后练习：课本课后练习：课本课后练习：课本课后练习：课本P P P P113113113113练习练习练习练习1 1 1 1、2 2 2 2、3 3 3 3课堂练习：课堂练习：课堂练习：课堂练习：1
11、1 1 1、等差数列、等差数列、等差数列、等差数列a a a an n n n的前三项依次为的前三项依次为的前三项依次为的前三项依次为a-6,-3a-5,-10a-1,a-6,-3a-5,-10a-1,a-6,-3a-5,-10a-1,a-6,-3a-5,-10a-1,则则则则a a a a等于（等于（等于（等于（ ）A.1; B. 1; C. 1/3; D. 5/11A.1; B. 1; C. 1/3; D. 5/11A.1; B. 1; C. 1/3; D. 5/11A.1; B. 1; C. 1/3; D. 5/112 2 2 2、在数列、在数列、在数列、在数列a a a an n n
12、n中中中中a a a a1 1 1 1=1,a=1,a=1,a=1,an n n n=a=a=a=an+1n+1n+1n+1+4,+4,+4,+4,则则则则a a a a10101010= = = =（ ）3 3 3 3、在等差数列、在等差数列、在等差数列、在等差数列a a a an n n n中中中中a a a a1 1 1 1=83 ,a=83 ,a=83 ,a=83 ,a4 4 4 4=98 =98 =98 =98 ，则这个数列有多，则这个数列有多，则这个数列有多，则这个数列有多少项在少项在少项在少项在300300300300到到到到500500500500之间？之间？之间？之间？ A
13、A 推导出公式：推导出公式：推导出公式：推导出公式： a a a an n n n=a=a=a=am m m m+ + + +（n-m)d n-m)d n-m)d n-m)d 4040-35-351 1 1 1、等差数列定义：、等差数列定义：、等差数列定义：、等差数列定义： a a a an n n n-a-a-a-an-1n-1n-1n-1=d (n2)=d (n2)=d (n2)=d (n2)课时小结：课时小结：课时小结：课时小结：2 2、等差数列通项公式等差数列通项公式等差数列通项公式等差数列通项公式： a a a an n n n=a=a=a=a1 1 1 1+ + + +（n-1)d ( n-1)d ( n-1)d ( n-1)d ( n1)n1)作业：习题作业：习题3.2 13.2 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6
