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1、第八章第八章 立体几何立体几何 规范答题示范规范答题示范(四四) 立体几何立体几何 类型一类型一 线面位置关系与体积计算线面位置关系与体积计算 (12 分分)如图，四面体如图，四面体 ABCD 中，中，ABC 是正三角形，是正三角形，ADCD. ?ACBD；(1)证明：证明： (2)已知已知ACD是直角三角形，是直角三角形，ABBD，若若 E 为棱为棱 BD 上与上与 D不重合的点，不重合的点，且且 AEEC， 求四面体求四面体 ABCE与四面体与四面体 ACDE的的体积比体积比.? 建桥寻突破建桥寻突破 ? 看到证明线线垂直看到证明线线垂直(ACBD)， 想到证明线面垂直，想到证明线面垂直，
2、通过线面通过线面垂直证明线线垂直垂直证明线线垂直. ? 看到求四面体看到求四面体 ABCE与四面体与四面体 ACDE的体积比，的体积比， 想到确定同想到确定同一平面，转化为求高的比一平面，转化为求高的比 . 规范解答规范解答 (1)如图，取如图，取 AC的中点的中点 O，连接，连接 DO，BO. 1 分分得分点得分点 因为因为 ADCD，所以，所以 ACDO. 又由于又由于ABC是正三角形，所以是正三角形，所以 ACBO. 又因为又因为 DOBOO， 从而从而 AC平面平面 DOB， 故故 ACBD. 3 分分 得分点得分点 4 分分 得分点得分点 (2)连接连接 EO. 5 分分 得分点得分
3、点 由由(1)及题设知及题设知ADC90， 所以所以 DOAO. 在在 RtAOB中，中，BO AO AB ， 又又 ABBD， 所以所以 BO DO BO AO AB BD ， 故故DOB90， 7 分分 得分点得分点 222222222由题设知由题设知AEC为直角三角形，为直角三角形， 1所以所以 EO2AC. 8 分分 得分点得分点 又又ABC是正三角形，且是正三角形，且 ABBD， 1所以所以 EO2BD. 故故 E 为为 BD 的中点的中点. 9 分分 得分点得分点 1从而从而 E 到平面到平面 ABC的距离为的距离为 D 到平面到平面 ABC的距离的的距离的2， 1四面体四面体 A
4、BCE的体积为四面体的体积为四面体 ABCD的体积的的体积的2， 11分分 得分点得分点 即四面体即四面体 ABCE与四面体与四面体 ACDE的体积之比为的体积之比为 11. 12分分 得分点得分点 评分标准评分标准 作出辅助线，并用语言正确表述得作出辅助线，并用语言正确表述得 1分；分； 得出得出 ACDO和和 ACBO得得 1分，分， 由线面垂直的判定写出由线面垂直的判定写出 AC平面平面 DOB，再得，再得 1分；分； 由线面垂直的性质得出结论得由线面垂直的性质得出结论得 1分；分； 作出辅助线，并用语言正确表述得作出辅助线，并用语言正确表述得 1分；分； 由勾股定理逆定理得到由勾股定理
5、逆定理得到DOB90得得 2分；分； 1由直角三角形的性质得出由直角三角形的性质得出 EO2AC得得 1 分；分； 由等边三角形的性质得出由等边三角形的性质得出 E 为为 BD的中点，得的中点，得 1分；分； 1得出四面体得出四面体 ABCE的体积为四面体的体积为四面体 ABCD的体积的的体积的2得得 2 分；分； 正确求出体积比得正确求出体积比得 1分分. 解题点津解题点津 (1)得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中的得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以，对于得分点中的得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以，对于得分点步骤一
6、定要写，如第步骤一定要写，如第 (1)问中问中 ACDO，ACBO；第；第(2)问中问中BO DO BO AO AB BD 等等. (2)利用第利用第(1)问的结果：如果第问的结果：如果第(1)问的结果对第问的结果对第(2)问的证明或问的证明或计算用得上，可以直接用，有些题目不用第计算用得上，可以直接用，有些题目不用第 (1)问的结果甚至问的结果甚至无法解决，如本题就是在第无法解决，如本题就是在第 (1)问的基础上得到问的基础上得到 DOAO. 核心素养核心素养 空间几何体的体积及表面积问题是高考考查的重点题型，空间几何体的体积及表面积问题是高考考查的重点题型，主要主要考查考生考查考生“逻辑推
7、理逻辑推理”及及“直观想象直观想象”的核心素养的核心素养 . 222222类型二类型二 线面位置关系中的探索性问题线面位置关系中的探索性问题 (12分分)如图，如图，在四棱锥在四棱锥 P-ABCD中，中，PACD，ADBC，1ADCPAB90，BCCD2AD. ?直线直线CM平面平面PAB(1)在平面在平面 PAD内找一点内找一点 M， 使得使得， 并说明并说明理由；理由； (2)证明：证明：平面平面PAB平面平面PBD.? 建桥寻突破建桥寻突破 ? 看到直线看到直线 CM平面平面 PAB， 想到利用线面平行的定理进行分想到利用线面平行的定理进行分析析. ? 看到平面看到平面 PAB平面平面
8、PBD，想到利用面面垂直的判定定理，想到利用面面垂直的判定定理寻找条件进行证明寻找条件进行证明. 规范解答规范解答 (1)取棱取棱 AD 的中点的中点 M(M平面平面 PAD)，点，点 M 即为所求的一个即为所求的一个点，点， 理由如下：理由如下： 2 分分 得分点得分点 1因为因为 ADBC，BC2AD， 所以所以 BCAM，且，且 BCAM. 所以四边形所以四边形 AMCB 是平行四边形，是平行四边形， 从而从而 CMAB. 又又 AB? ? 平面平面 PAB，CM?平面平面 PAB， 所以所以 CM平面平面 PAB. 4 分分 得分点得分点 6 分分 得分点得分点 (说明：取棱说明：取棱
9、 PD 的中点的中点 N，则所找的点可以是直线，则所找的点可以是直线 MN 上任上任意一点意一点) 1(2)由已知，由已知，PAAB，PACD，因为，因为 ADBC，BC2AD，所以直线所以直线 AB与与 CD 相交，相交， 所以所以 PA平面平面 ABCD，从而，从而 PABD. 连接连接 BM， 1因为因为 ADBC，BC2AD， 所以所以 BCMD，且，且 BCMD. 所以四边形所以四边形 BCDM 是平行四边形，是平行四边形， 10分分 得分点得分点 8分分 得分点得分点 1所以所以 BMCD2AD， 所以所以 BDAB. 又又 ABAPA， 所以所以 BD平面平面 PAB. 又又 B
10、D? ? 平面平面 PBD， 所以平面所以平面 PAB平面平面 PBD. 12分分 得分点得分点 评分标准评分标准 写出第一步，明确结论得写出第一步，明确结论得 2分；分； 得出四边形得出四边形 AMCB 是平行四边形得是平行四边形得 2 分；分； 利用线面平行定理得出利用线面平行定理得出 CM平面平面 PAB得得 2分；分； 利用线面垂直得出利用线面垂直得出 PABD 得得 2 分；分； 得出四边形得出四边形 BCDM 是平行四边形得是平行四边形得 2 分；分； 得出结论再得得出结论再得 2 分分. 解题点津解题点津 (1)明确探索性试题的解题要领是先假设存在，明确探索性试题的解题要领是先假
11、设存在， 然后采用相关定然后采用相关定理或性质进行论证理或性质进行论证. (2)写全步骤，步步为写全步骤，步步为“赢赢” 在书写解题过程时，对于是得分点的解题步骤一定要写全，阅在书写解题过程时，对于是得分点的解题步骤一定要写全，阅卷时根据得分点评分，有则得分，无则不得分，如本题中对点卷时根据得分点评分，有则得分，无则不得分，如本题中对点M 的确定，应遵循的确定，应遵循“一作一作”“”“二证二证”的原则，如果不全面就会的原则，如果不全面就会失分失分. (3)涉及运算要准确涉及运算要准确 在解题过程中，涉及有关长度、角度、面积、体积等计算问题在解题过程中，涉及有关长度、角度、面积、体积等计算问题时，一定要细心准确，否则导致思路正确，因运算失误而扣分时，一定要细心准确，否则导致思路正确，因运算失误而扣分 . 核心素养核心素养 探索性的立体几何问题在高考中虽不多见，但作为高考命题的探索性的立体几何问题在高考中虽不多见，但作为高考命题的一种题型，要求学生掌握其解决思路及解决问题的途径此类一种题型，要求学生掌握其解决思路及解决问题的途径此类问题主要考查考生问题主要考查考生“直观想象直观想象”的核心素养的核心素养 .
