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1、1.4 角平分线角平分线 (1) 一一 学习新知学习新知 你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分你能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点的性质吗线上的点的性质吗? ? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗你还记得角平分线上的点有什么性质吗? ? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等. . 你能证明这一结论吗你能证明这一结论吗? ? 结合我们前面学习的定理的证明方法，你能结合我们前面学习的定理的证明方法，你能 写出这个性质的证明过程吗？写出这个性质的证明过程吗？ 已知已知: :如图如图,OC,OC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上上任意
2、一点任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E.D,E. 求证求证:PD=PE:PD=PE. . 分析分析: :要证明要证明PD=PE,PD=PE,只要只要证明它们所在证明它们所在OPDOPEOPDOPE而而OPDOPEOPDOPE的条件由已的条件由已知易知它满足公理知易知它满足公理(AAS). (AAS). 故结论可证故结论可证. .老师期望老师期望: :你能写出规范的证明过程你能写出规范的证明过程. .C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O 证明：证明： OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线 1= 21= 2 PDOA,PEOB PDO
3、A,PEOB PDO= PEO PDO= PEO OP=OP OP=OP OPDOPE (AAS). OPDOPE (AAS). PD=PE PD=PE几何语言表示：几何语言表示：定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等. .老师提示老师提示: :这个结论是经常用来证明两条线段这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一相等的根据之一. .如图如图, ,OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别是垂足分别是D,E(D,E(已知已知) )PD=PE(PD=PE(角平分
4、线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).).C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O思考分析 你能写出你能写出“定理定理 角平分线上角平分线上的点到这个角的两边距离相等的点到这个角的两边距离相等”的逆命题吗的逆命题吗? ? 逆命题逆命题 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. . 它是真命题吗它是真命题吗? ?如果是如果是. .请你证明它请你证明它. .已知已知: :如图如图 所示所示, , PD=PE, PDOA, PD=PE, PDOA, PEOB, PEOB
5、, 垂足分别垂足分别 是是D,E.D,E.求证求证: :点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. .分析分析: :要证明点要证明点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上, ,可以先作可以先作出过点出过点P P的射线的射线OC,OC,然后证明然后证明POD=POE.POD=POE.B BA AC CD DE EO OP P证明：证明：PDPDOA PEOA PEOBOB PPODOD和和BBPOEPOE都是都是RtRt PD=PE,OP=OPPD=PE,OP=OP RtRtPODPODRtRtPOE(HL)POE(HL) POD= POE POD= POE OCOC是是AOBAOB的
6、平分线的平分线 逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的两边距离且到角的两边距离 相等的点相等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上. .如图如图, ,PD=PE, PDOA,PEOB,PD=PE, PDOA,PEOB,垂足分垂足分别是别是D,E(D,E(已知已知),),点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.(.(在一在一个角的内部个角的内部, ,且到角的两边距离相且到角的两边距离相等的点等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).老师提示老师提示: :这个结论又是经常用来证明点在直线这个结论又是经常用来证明点在直线上上( (或直线经过某一点或直线
7、经过某一点) )的根据之一的根据之一. .C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O例题讲析例题讲析例例1 1 如图，在如图，在ABCABC中，中，BAC=60BAC=60，点，点D D在在BCBC上，上，AD=10AD=10，DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分别为，垂足分别为E E，F F，且，且DE=DFDE=DF，求，求DEDE的长的长. .解：解： DEDE ABAB，DFDF ACAC，垂足分别为，垂足分别为E E，F F，且，且DE=DFDE=DF，ADAD平分平分BACBAC（在一个角的内部，到角的（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）两
8、边距离相等的点在这个角的平分线上）. .又又 BAC=60BAC=60， BAD=30.BAD=30.在在Rt ADERt ADE中，中， AED=90AED=90，AD=10AD=10，DE= AD= 10=5DE= AD= 10=5（在直角三角形中，（在直角三角形中，如果一个锐角等于如果一个锐角等于3030，那么它所对的直角，那么它所对的直角边等于斜边的一半）边等于斜边的一半）. . 二二 挑战自我挑战自我 1. 1.如图如图,AD,AE,AD,AE分别是分别是ABCABC中中A A的内角平的内角平 分线和外角平分线分线和外角平分线, ,它们有什么关系它们有什么关系? ?老师期望老师期望:
9、 :你能说出结论并能证明它你能说出结论并能证明它.EDABCF 2.2.如图如图, ,一目标在一目标在A A区区, ,到公路到公路, ,铁路距离铁路距离相等相等, ,离公路与铁路的交叉处离公路与铁路的交叉处500m.500m.在图上标在图上标出它的位置出它的位置( (比例尺比例尺 1:20 000).1:20 000).A区 3. 3. 如图如图, ,求作一点求作一点P,P,使使PC=PD,PC=PD,并且点并且点P P到到AOBAOB的两边的距离相等的两边的距离相等. . CDABO 4. 4.已知已知: :如图如图, ,在在ABCABC中中,AD,AD是它的角平是它的角平分线分线, ,且且
10、BD=CD,DEAB,DFAC,BD=CD,DEAB,DFAC,垂足分别是垂足分别是E,F.E,F. 求证求证:EB=FC. :EB=FC. BAEDCF证明证明: : AD AD是是ABCABC的角平分线的角平分线 且且DEAB,DFACDEAB,DFAC DE=DF DE=DF BD=CDBD=CD RtRtBDEBDERtRtCDF(HL)CDF(HL) EB=EC EB=EC 5.如图如图,在在ABCABC中中, ,已知已知 AC=BC,C=900,AD是是ABCABC的角平线的角平线,DEAB,垂足为垂足为E.老师期望老师期望: :你能正确地解答并规范地写出过程你能正确地解答并规范地
11、写出过程. .(1)如果如果CD=4cm, 求求AC的长的长;(2)求证求证:AB=AC+CD.EDABC解（解（1） AD是是ABC的角平线的角平线, DEAB, DCAC, DE=CD=4cm AC=BC B=B=BAC(BAC(等边对等角等边对等角) ) C=C=9090 B= 45B= 45 BDE= BDE= 9090- - 4545= 45= 45BE=DE 在等腰直角三角形在等腰直角三角形BDE中中 （2）证明：由（）证明：由（1）的求解过程可知，）的求解过程可知， RtACD RtAED(HL) AC=AE. BE=DE=CD, AB=AE+BE=AC+CD 四四 深入探索深入
12、探索1.1.已知，如图已知，如图ABCABC中，中，ACBACB的平分线交的平分线交ABAB于于E E，ACBACB的补角的补角ACDACD的平分线为的平分线为CGCG，EGBCEGBC交交ACAC于于F F，EFEF会与会与FGFG相等吗？为什么？相等吗？为什么？A AB BC CD DE EF FG G证明：证明：EGEG为为ACBACB的平分线的平分线 BCE= ACEBCE= ACE CG CG为为ACDACD的平分线的平分线 DCG= FCGDCG= FCG EGBC EGBC FEC=BCE, FGC=GCD FEC=BCE, FGC=GCD 从而从而ACE=FECACE=FEC，
13、 FGC=FCGFGC=FCG EF=FC,FC=FG EF=FC,FC=FG 从而从而EF=FGEF=FG 五五 回顾与小结回顾与小结定理定理 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边距离相等角的两边距离相等. .OCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别垂足分别是是D,E(D,E(已知已知) )PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).).C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,
14、,且且到角的两边距离相等的点到角的两边距离相等的点, ,在在这个角的平分线上这个角的平分线上. .PD=PE, PDOA,PEOB,PD=PE, PDOA,PEOB,垂垂足分别是足分别是D,E(D,E(已知已知),),点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上. .( (在一个角的内部在一个角的内部, ,且到角的且到角的两边距离相等的点两边距离相等的点, ,在这个在这个 角的平分线上角的平分线上).).C CB B1 1A A2 2P PD DE EO O独立独立作业作业习题习题1.9 1,31.9 1,3题题. .祝你成功！祝你成功！ 结束寄语结束寄语 严格性之于数学家严格性之于数学家, ,犹如道德之于人犹如道德之于人. . 证明的规范性在于：条理清晰，因果相证明的规范性在于：条理清晰，因果相应应, ,言必有据言必有据. .这是初学证明者谨记和遵这是初学证明者谨记和遵循的原则循的原则. .
