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1、回顾回顾分类计数原理分类计数原理(加法原理加法原理)完成一件事，有完成一件事，有n类方式，在第类方式，在第1类方式中有类方式中有m1种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方式中有类方式中有m2种不同种不同的方法，的方法，在第，在第n类方式中有类方式中有mn种不同的种不同的方法，那么完成这件事共有：方法，那么完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法分步计数原理（乘法原理）分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n个步骤，做第个步骤，做第1步有步有m1种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有m2种不同的方种不同的方法，法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，那么种
2、不同的方法，那么完成这件事共有：完成这件事共有：种不同的方法种不同的方法回顾回顾分类计数原理与分类计数原理与“分类分类”有关，各种方有关，各种方法法相互独立，用其中任何一种方法都可相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；以完成这件事；分步计数原理与分步计数原理与“分步分步”有关，各个步有关，各个步骤骤相互依存，只有各个步骤都完成了，相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成这件事才算完成回顾回顾问题问题1从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名分别担任班长名分别担任班长和副班长，有多少种不同的结果？写出所有的结果。和副班长，有多少种不同的结果？写出所有的结果。我们把上面
3、问题中被取的同学叫做我们把上面问题中被取的同学叫做元素元素于是所提于是所提出的问题就是从出的问题就是从3个不同的元素中任取个不同的元素中任取2个，按照一个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法甲乙甲乙甲丙甲丙乙甲乙甲乙丙乙丙丙甲丙甲丙乙丙乙问题问题2从从a、b、c、d这四个字母中，取出这四个字母中，取出3个按照顺个按照顺序排成一列，共有多少种不同的排法？序排成一列，共有多少种不同的排法？解决这个问题，需分解决这个问题，需分3个步骤：个步骤：第第1步，先确定第一个字母，在步，先确定第一个字母，在4个字母中任取个字母中任取1个，有个，有4种方法
4、；种方法；第第2步，确定第二个字母，从余下的步，确定第二个字母，从余下的3个字母中去取，有个字母中去取，有3种方法；种方法；第第3步，确定第三个字母，只能从余下的步，确定第三个字母，只能从余下的2个字母中去取，有个字母中去取，有2种方法种方法根据分步计数原理，共有根据分步计数原理，共有43224我们把这个问题中被取的字母叫做我们把这个问题中被取的字母叫做元素元素于是所提于是所提出的问题就是从出的问题就是从4个不同的元素中任取个不同的元素中任取3个，按照一个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法一般地，从一般地，从n个个不同不同元素中取出元素
5、中取出m（mn）个元素，）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取个不同元素中取出出m个元素的个元素的一个排列一个排列注意：注意：1.我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既我们所研究的排列问题，是不同元素的排列，这里既没有没有重复元素重复元素，也没有重复抽取相同的元素也没有重复抽取相同的元素2.排列的定义中包含两个基本内容：一是排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素取出元素”；二是；二是“按照一定顺序排列按照一定顺序排列”“一定顺序一定顺序”就是与位置有关，这也就是与位置有关，这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志是判断一个问题是不
6、是排列问题的重要标志3.根据排列的定义，两个排列相同，根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当这两个排列的元当且仅当这两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同4.如果如果mn，这样的排列（也就是只选一部分元素作排列），这样的排列（也就是只选一部分元素作排列），叫做叫做选排列选排列；如果；如果mn，这样的排列（也就是取出所有元素，这样的排列（也就是取出所有元素作排列），叫做作排列），叫做全排列全排列判断下列问题是不是排列问题？判断下列问题是不是排列问题？10个人互相通信一次，共写多少封信？个人互相通信一次，共写多少封信？10个人互通电话一次，共通
7、话多少次？个人互通电话一次，共通话多少次？某航空公司在南京、北京、广州三地之间要准备多少某航空公司在南京、北京、广州三地之间要准备多少种机票？有多少种票价种机票？有多少种票价?7名班委中选出名班委中选出3人分别担任班长、副班长、学习人分别担任班长、副班长、学习委员，共有多少种安排方法？委员，共有多少种安排方法？由由1，2，3可组成多少个数字不重复的三位数？可组成多少个数字不重复的三位数？由由1，2，3可组成多少个三位数可组成多少个三位数(数字允许重复数字允许重复)？练习练习2.写出从写出从5个元素个元素a，b，c，d，e中任取中任取2个元素的所有排列个元素的所有排列解决办法是先画解决办法是先画
8、“树形图树形图”，再由此写出所有的排列，共，再由此写出所有的排列，共20个个若把这题改为：写出从若把这题改为：写出从5个元素个元素a，b，c，d，e中任取中任取3个元个元素的所有排列，结果如何呢？素的所有排列，结果如何呢？方法仍然照用，但数字将更大，写起来更方法仍然照用，但数字将更大，写起来更“啰嗦啰嗦”练习练习1.在在A、B、C、D四位候选人中，选举正、副班长各一四位候选人中，选举正、副班长各一人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果人，共有几种不同的选法？写出所有可能的选举结果ABACADBABCBDCACBCDDADBDC研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一研究一
9、个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得得”出所有排列的个数呢？接下来我们将来共同探讨这个问出所有排列的个数呢？接下来我们将来共同探讨这个问题：题：排列数及其公式排列数及其公式1排列数的定义排列数的定义从从n个个不同不同元素中取出元素中取出m（mn）个元素的所有）个元素的所有排列的个数，叫做从排列的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数，记作排列数，记作注意区别注意区别“一个排列一个排列”与与“排列数排列数”的不同的不同：“一个排列一个排列”是
10、指是指“从从n个不同元素中，任取个不同元素中，任取m个元素按照个元素按照一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列”，不是数；，不是数；“排列数排列数”是指是指“从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的所有排个元素的所有排列的个数列的个数”，是一个数因此符号只代表排列数，而不表示，是一个数因此符号只代表排列数，而不表示具体的排列具体的排列2根据分步计数原理，推导排列数公式根据分步计数原理，推导排列数公式从从n个不同元素中每次取出个不同元素中每次取出m（mn）个元素的排列数）个元素的排列数n种方法n-m+1种方法n-1种方法n-2种方法第1位第2位第3位第m位这个公式叫做排列数公式它有以下三个
11、特点：这个公式叫做排列数公式它有以下三个特点：（1）第一个因数是）第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少，后面每一个因数比它前面一个因数少1（2）最后一个因数是）最后一个因数是nm1（3）共有）共有m个因数个因数正整数正整数1到到n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n的阶乘，用的阶乘，用n!表示表示.当当m=n时时 n 2 3 4 5 6 7 8 n!2624120720504040320例例1.计算计算（1）（2）（3）解：解：（1）（2）（3）有关排列数的计算与证明有关排列数的计算与证明规定规定0！1例例2.求证求证:证明证明:例例4证明：明：证明：右边证明：右边例例3.求证求证:含有
12、排列数的方程与不等式的解法含有排列数的方程与不等式的解法例例5.解方程解方程:例例6.解不等式解不等式:点评点评:含有排列数的方程或不等式含有排列数的方程或不等式,应根据有关公式应根据有关公式转化为一般方程转化为一般方程,再求解再求解.但应注意但应注意:其中的字母都其中的字母都是满足一定限制条件的自然数是满足一定限制条件的自然数.例例7：求证：求证：1!22!+33!+nn!=(n+1)!-1分析：分析：nn!=(n+1)!-n!证明：证明：nn!=(n+1)!-n!左左边=常见的阶乘变形常见的阶乘变形小结小结:1.排列的定义排列的定义;(不同元素不同元素)2.排列数公式排列数公式;3.几种阶乘变形几种阶乘变形.
