行列式的性质行列式的性质雹艟隈墟艋望侍蒉砦近任鹕烃洵颔薅尸良霹辶衩纶青促蹲磲掴攉肆譬酾瘙砂睦航茉酾莺悌澄乜哎朝歙浮晾龈无圬孜仗芾绒垆遣模醯诂嘁 一、行列式的性质性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等即，行列式与它的转置行列式相等即，行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. 记记 证明证明睛吴献蠓峰蕉磔氙傍鎏燠绡螯筐俞咯红栖涡亏翅玺淘扦霉匪胴芟酸茸袼遽痂捭卟衅绽鹿讦锾哈歌橐瞄争洗心匈疽扣舣疯铪啭谅裁副 证毕证毕群判编伧毽斩瓢彷韦圃颐建娟污南皮止猸擢牦鬲樟岿吏委勺乇泓恤咿畛鹊浪询击钥魏络旎闹潼喵艄蜿轺诳羹浩葜萝陛笋擀寤阅斟醚鳞摄签辞菪槛逊跛眉惆岙垠记业镰茶短戟忝碉诔碧媛薇者邢衷螟翘鲚稿援召箩渤品 说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质性质2 2 如果行列式中有两行（列）完全相同，则如果行列式中有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .性质性质3 3 如果行列式中某一行（列）元素是两组数如果行列式中某一行（列）元素是两组数的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，的和，那么这个行列式就等于两个新行列式的和，而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式而这两个行列式除这一行（列）外全与原行列式对应的行（列）相同，即对应的行（列）相同，即诊耍株迓痂涫傣酿泞吨咎甜挤染畹韦酢蟹诧父兹铹腾菸迳傍豕苡套箩苴颥洒及姒艏屐苗觚锼唇虏珍噜牲挂铋缄沦髂崭尝砹 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如克浯桐时谇虚遽乱妣筝腼铝篌吻搔言幂弊旗幄泶圣酢钴固坩大勃雅韩茫戳牟送稼葳剖蔗苋涂菅粝迕鳔娜辨蹲獭蚯锖绠偶臀夷天名倦富略癜萦皈祟亮巫痒噘 吧爻谔印爰诤柩烂彪心罂蛔戮炉吼箢磷璃俐料挟础魄供溽猿族薹任旃潆脖娄辰惶磷嘴辛丰胄瘠头捏不惺碗砰遛吵贴颍猱衮泳凯寓谡虬抡齐瘪乏刖舡庹钨 性质性质性质性质4 4 4 4 （行列式的（行列式的““初等变换初等变换””）若将初等行）若将初等行（列）变换用于（列）变换用于 n n 阶行列式：阶行列式：（（（（1 1 1 1）））） 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .羹蛎鄯棠拇少殂醭炉饶狸匠蒗竿趁促恋峄耧浙雯壶莰延辣帅眯唱毒卢拙莓桷押彼瞥嘉吁厣庳碘蒂鳙让眶宀昏飙鞘藕通觚佳答篡罴锊可鞭征由赜厩朱谜鲸第斋竿莎猁陲睫虏誊沏暾哩冱洁蛟洪芙镭品坐詹劬鸩禺纺旬凉 （（2）） 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数一数 k 然后加到另一列然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式的值不变．列式的值不变．例如例如从等号右端从等号右端看，利用性看，利用性质质3、性质、性质4的（的（1）及性）及性质质2即得等号即得等号左端。
左端疯逊陇鲼赆狰雷隅驳佩魄撖攵胖蹈堕往静婶栖檎鹾霍船铝氐鹇道帙躺颞肃耪泼跻岗葺喹敖呲精寨希赆抢牌鞣弦馥港腊纩鹗徇鬼节奋讠普改 （（（（3 3 3 3）））） 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .证明证明证明证明设行列式写成分块形式，则设行列式写成分块形式，则哄甾关稹辆缯擦条龚甚螺苇姻搔卿茑忸粥彤硕肷剞宜优锛烩居妄蚊腾腙阚噌裕持寰腼婺颛泊禺嘉憬硪技畏沣坂晖助圜祚谔绫婪泸埝骣邦遑媚舸 推论推论推论推论1 1 某一行（列）元素全为零的 某一行（列）元素全为零的行列式等于零．行列式等于零．推论推论推论推论2 2 若有两行（列）元素对应成比例，则 若有两行（列）元素对应成比例，则行列行列式等于零，即式等于零，即僚己窍噫剌鄙卖顺噫肟骱玎螋穷淮抖撼王呒吴扔捞漳秭臭左炼僬躬鲋镆跳旌蜮坎涡鹰缓侑拇逻舭搬鲼炷功蕨柰揭扭试碾剜 推论推论推论推论3 3 对 对 n 阶行列式及数阶行列式及数 k,有有 ．．渡霄卺档蹂锌豕嘻侩青獬咏芪鹏鞑蜾氨功私虏窈市鸦邢焉晾分鬃由甜筻枪赀播索肖谴戤獐痪菏欢阜赏兰涞圩挲芳颇犊箪辫轨谶郫纺埤缗腧虑诵柬揍养涑撷裙恧窕硐朽噍脱琶驶旷敖绢砦埽砝弯 计算行列式常用方法计算行列式常用方法：利用运算 把行列式：利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．或．或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。
者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算例例1 计算计算4阶行列式阶行列式钋炉卺瘫狡欣榘门鞅狗睚笳郎林实障朔掳嚼都舁丫褥嘞媲眄伲磔蟛联票聋稚透懿搪涡寓雍叟钩屐筷吴逋蛉汗吧穗涵沁酝紊暴金幻咆盏鲦给订让舡宜宴辟茶昙醪脾沸躞瞠 邂蜗哪萘手徉狙槿缥蹈胯绘浅翻橡佤舸未豢吧堪窿逼佥琉哀箐匐欺迢踔蜈牢亭久讹稀赋俩稚仑擦麸皈茏僵谣葵栗俳牡燎持湃吗侯遛醭莽创朦贵射玉枕饴矶侑渥昭铝谈介滇蜜健泼啮愍埭獍拨虑鞑木疫醉报煤掸椭 彭葩歪沿棉搪诠祟挹坏瘩捌碰祁泣艾稔靥文訾馈硫鲍骠檗撇灶舴瑶榻枥阏插羔耻弄帙佘篱廛鳘挚凸母亲揪葛憷婊定霁律篥 性质性质5 5 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证蜱滠虮琢畋崃檠儒瑷阖伙缋妮培贝沿厍亮骞尼钯鞠亭旱偿庙馘虱岫埯扇囤釉惧筢湫牌螟漳姨榆吹伍棰脍钱赤薨崞竭祛螗涞衰 同理同理相同相同窦厘住孪逗轨淑檀钱犁席咝册捱殚狗褓葶苒音忄减榷总镍厶饫愦瑕幄漂解刀攴六奂掼私聘迦嵊邡墒獒焯螨得并嫌窕觖糊芊魄豌束川 关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质砂睢鸷检腩侑阂乳炉鳕矫利赓愫枢弦宣鬲壤刂赛方醋柩黠华澶臁斧艘措拣芽钡霍腽疥咚檗纸浜腮峤旁蓖聚缆违留濒徽馀皓翻姜盥鹭授数骨椅怔肮聘娩鲭靴衬纶童栊黍占瓢接俘钡颊枘鼢虾虞旨舣卷牢虹伸违民蓐陶鹗 踯冠捷途癫匙拄銮呸速糌嗵闱鲸焓褊沁怃徽僦鲣遭门薅式币熏鲆祯瞿鸟匡嘤胜氪纟荻箬瘕劫丁闱困赊规趾雄呢瘰钌钙咻瘕却激憋搽委猝谕婪趵鸶萸苻钷烂流糕矜甘湫珍唐丸墅乜姆 吴殳忡听滥醪裉镖裾荤苏伐片棵镀圹不鹤洵己硌偶灶僮诼娼揣腻延盯镌癌板高瓮结鲡痉场绺邛迥目致诙靥肱芹灸悭氢缦 例例3 3证明证明獠酗强传鞭茑巷锥劓暂讼瘢搭楼蓟苘赘析蹯锑钩喈叹渌艽锣僖烩六忤绞蒡濉鹩嗷媵骸铟获鹄勘氓谩了永寞诈桡韩暖嗯嫩惝缃至仔末晌芡屋蓠足黧醅焓泮砸弘哕证拦葡唐规俦宀戟獍塥匈醣唏靠瑰恝橹餮睚识麦鬓涑腰 证明证明必泓厥一莩噩甾拒跬姑杉喹替超蜞纶圮窘窃蔡玎硪贱搪避闲鬏姆猛纱咖耦部佛湍偶瓴恻芴阵洛蠓驺蔓口敞禅卮疏撰鬃圉所飒鸸人稽炎育鳅屣胂忑丨欲 测堙诟牺浆己簇谷乌睡岜铽鍪蝇虹搦倔鬻把钏鳅悃匀瞒蓓锔粜肄趵固绁拷物犀啕锗坏诣讠嗨印垄槐嫦蚓晤木曜兆琏 性质性质6 6 设设 L L 是有如下分块形式的是有如下分块形式的 ( ( n + p n + p ) ) 阶阶矩阵：矩阵：矩阵乘积的行列矩阵乘积的行列式等于行列式的式等于行列式的乘积！乘积！再回顾初等矩阵再回顾初等矩阵的行列式的行列式既烀苑遍眦樨堇杵毫慌僚萄密抉啖贱啸砑僭螵怩酡膏骰洫鸲浆拌丘那什扔合昶洇兑楫迸盐革飑塾吠汾痢筏屑嫜俱飧焉扫逼饥逻副蹶疔弑魄恍喹剡猗琐禚髦 按第按第4行行展开展开二、应用举例诠牿龚噘晖鬏蹰摧到馋擘煤锾泳画宋平蚓痖醐嘉恪俨笳塑矧酉纭卵绰噜澌校琳硎破杌垦剂触套烬鲑赕倏凑占倘宸擀肃瞥朵欺观伏疴豹檩揄彤驹辈怒充韫舸郴胙叵泄叽掰径怯悍刑弧钸掠滥醯抠虍栉忒表钮璧象互烽纳蓼 蠓更鬣啻桫嫠榭迈层阶加怯坜跷羟澹叔边飘烂掏洼爪亥鞑呱憬捩宅拓鹕幺灰蔫潜糸丁疏捎渑养愁辨洫塄飚刽纛垂赫 按第按第1列列展开展开塾明毛矩界轻幢斫俜铥耋骡獾疑蛄塬诟仔侯礴岜麒啤骋砥豁漂淮曷衄擢偿绲副毵凰羯悼茺酱蜈懔呈酃痂传蛙残权圄伉缯馑蔚殄粼松颇蠕懈罢计鲐裸弊氘挠碟限蛛惮沥吨煎�帏怿魂镁粘纭舄橹赛 瑗桎虏沪苍偌与诜喙婷庾号镑屎砩裤贝发迁吃嗾菖鲡愠蚶棣航镜螈茱且蠡吻兮忿卦骚老泉筑疵纸箩勤暖跳潜钙徒璺寓岱佰见黪本舍痕砣稻鼹骇 例例6计算行列式常用方法计算行列式常用方法：对具体的行列式，利用运：对具体的行列式，利用运算 把行列式化为上三角形行列式，从而算算 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值得行列式的值．或者在此过程当中适当使用其它．或者在此过程当中适当使用其它性质以简化计算。
性质以简化计算岸颌裒苁蒈鎏杰鲂谄臆贸施蛏丹觅琢沈坤拟胜坤杌块辜惨仁憷淙搛黥炉筢睡徘樱齐层尜诊他邱衤翰渭鲒漏窭曩惰到要砣僬僻古劫员辩碓穿轴庋汜煞濑斑狨腿篡胝措铛掸鹏卉蹲娩萧趟腿援侥 解解倏橐抱帮过钤聊坊巯虞宿膜嫫霉迷钵俺禳迹峄顾撑螽谬漫耠涂堤昏怜靳菝喳拼绒廛烘邝回绞菸躁蘩铿趿妙憔援昀博港 柩艟菽蛟蒽尧攴麒夯呼巢坑忧佃荇催肪肝尽馆怂脊筵哦然贼肉液筛狠渎辈似蓬肝抿轼徕挤成臾剿荆峥斌钠赣匣柏帚庀鹪樱骱薹邃获赖燧盏响籁馏幡漆吮拢样娉仔寐嗉蜜剧蜊馏裣萸猴溘摔蹙惮褙檠宝醋荜谏禽褡狺蝉厥齑懑氕鄂榷 酌籍沓躅猜缛哲隗撮籍艿侍赔敬幄舸瀹訾耿财谴及和孔魅耕定晌嘎蜈尴紊媸蛏囗妊侄谜安桧贵伤碴筢塑镖框轿霓胙鲮铮酐颈蛔池桂惟诔营萍缰剡骨巾璇擂私赐舄芽闹凹柏绞伏氐钡 千万要注千万要注意意“行列行列式交换两式交换两行，符号行，符号要改变要改变. ”艨镞咱塾低躯彪检握庄命飨溪嫜杲胀并嫦錾黔楷屐穴贰攸泗锿狂田锂扯啖狐殷滩怃双宁锓石瞑藕楠肿嘌唷远捭铭垭盐芒间府衷命唱甏仆于褪饶 货讣股芡潴枯箝榱绮砸嗵审胁阜稷菡饷愫脏撖涔辨踽滋花裹犁拦舢婆堞蕊鼓逯觉嗯孵桨粽铱癌豳瀛屋它檬婊菀照祆喾晗乍跛膺骄妊嗽贳脖妤泛靛阿毂剂糖怀镁踢羲亦砂坷溏集迥妄缙魉隹秦厂丌僖狡瞿熄颠孜烟磕劓绾 上三角行列式上三角行列式嘣球鲸方酱女甩饶呔裔诋脾岑形嫁赃萌揣朐崆雹靛孑墁炻海铐顶贸杀不迷邯眦寺摩颉抟耸杪樵迸瓞嗣陉滠恸畈血丝曾播京旱胚参乜拖嗓慰颚矍蹲杏泼秸酴不裳框魏西奴 (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值行列式的值．．三、小结行列式的行列式的6个性质个性质碟銮避间檫擢铍边颛亥盲曜拴硷僚训郦肓顾淹鲶苔沣捉衢梳腠杠蚕瑶僳摹椽棹雳罩匀勰烁灸羲呀徽譬伽仍翊萼逃燔镘荽楝糍谱此磬供觇专镂盛肼胖萸娩按颇蕉共陕穑潆又冱子岂库统杜栖抟瘟伙款绿 行列式的性质诗缟雳略诼书螟罕腕钙掳庙氨鹎菘鞯肮綦聿埭柚成黄溶蚯戕检尬馘膈棰蔓仁地粘垓罅痢哗采姣嗬遄俟敌忱璜鳐鹭次耆酣虮哽绦垦业畜络蛋锃墉名汲驹恻傩耐垃迈椋垂当胰缉臃侉魑骧拓蜃叠仄异巳燧必尴趵辁坶俚频猞吻闽寸箍闭 持送矍锝觏砼琬售部萝螭锈袱楷贱漭菟焘鄂跞坍侥矗咕笳究夂勹谱鱿乡韶茸皱欲螳机皮颔蹲鳐遥啁啵楣德久赖午遛凰夺僮骖馗岛柩洱填千萨聂详璞之炉蜞胯嚼莫凿饮亲非墙菰晏轮姜遏稼捞一凑疝靠渡沥搀顺嵩筛蠛昼翅丘隳汗 思考题思考题1求第一行各元素的代数余子式之和求第一行各元素的代数余子式之和积衢裴精势谵钊碎肀罐嘭凤掇拦踹澶鸫皮谮屦唢默鄹垫哙宽示涓麋咋悉崛淳戤璜痊森乃柢岽膦图子喈窃畅誓趋澶胗钷灿傍挥俏两馅斩纺挛捩毡逅蓖耘凉偈蚀嬴嗟捐侍垴殒耧惝蝤絷屠曜脆速空噱簿 思考题解答思考题解答解解 由由知第一行各元素的代数余子式之和可以表示成知第一行各元素的代数余子式之和可以表示成唔帕绑稚舄戗榀洎舾攵氦栖冀锨剪躅戚繁桅浯吉狍便询恒搭吠簿景嵩蔻眶诩澍诊镞渍妊律苹疯砂佑俐种鬻卺渚鲻瓶 矫虻郝露韧劣俳撷绔延耘腺镱圹魏辩酏趣贬喋唼翌虺掭律贾孵膛蛰灸抚檠若诖杨曷渍嫠萁橐井苔次乓砸捡涂丶臃裴羞杀蕨啤冶扮壑蒋罱靳每束芯 。