抛物线的基本几何特征

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1、抛物线的基本几何特征抛物线的基本几何特征1.已知抛物线已知抛物线 ，它的开口，它的开口 ，顶点，顶点 ，对称轴对称轴 ，当，当x 时，时，y随着随着x的增大而减小，的增大而减小，当当x 时，时，y随着随着x的增大而增大；的增大而增大； 当当x 时，函数时，函数y有最有最 值，最小值为值，最小值为 ，而，而抛物线抛物线 它的开口它的开口 ，顶点，顶点 ，对，对称轴称轴 ， 当当x 时，函数时，函数y有最有最 值，最大值值，最大值为为 ，当，当x 时，时，y随着随着x的增大而增大，当的增大而增大，当 x 时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。 数学实验室数学实验室向上向上（0，0）x=0

2、小小000向下向下=0（0，0）x=0=0大大000 一般的，抛物线一般的，抛物线 的几何特征：的几何特征：顶点（顶点（0，0），对称轴），对称轴 x=0若若a0，当，当x0时，函数时，函数y随随x的增大而减小，的增大而减小， 当当x 0时，函数时，函数y随随x的增大而增大；的增大而增大；若若a 0，当，当x0时，函数时，函数y随随x的增大而增大，的增大而增大， 当当x 0时，函数时，函数y随随x的增大而减小的增大而减小；若若a0，当，当x=0时，函数时，函数y有最小值有最小值0；若若a0, 当当x=0时，函数时，函数y有最大值有最大值0（1）抛物线）抛物线 的开口的开口 ，顶点，顶点 ，对称

3、轴对称轴 ，当，当x 时，时，y随着随着x的增大而减小，的增大而减小，当当 x 时，时，y随着随着x的增大而增大；当的增大而增大；当x 时，时，函数函数y有最有最 值，最小值为值，最小值为 ，它是由，它是由 抛物线抛物线 向向 平移平移 个单位而得到个单位而得到.（2）抛物线）抛物线 的开口的开口 ，顶点，顶点 ，对称轴对称轴 ，当，当x 时，时，y随着随着x的增大而增大，的增大而增大， 当当x 时，时，y随着随着x的增大而减小；当的增大而减小；当x 时，函时，函数数y有最有最 值，最大值为值，最大值为 ，它是由抛物线，它是由抛物线 向向 平移平移 个单位而得到个单位而得到.数学实验室数学实验

4、室向上向上（0，-3）x=0=0-3小小00下下3向下向下（0，3）x=0=0大大300上上3抛物线抛物线 的几何特征：的几何特征：抛物线的开口方向抛物线的开口方向 抛物线的顶点（抛物线的顶点（0，c），对称轴），对称轴 x=0若若a0，当，当x0时，函数时，函数y随随x的增大而减小，的增大而减小， 当当x 0时，函数时，函数y随随x的增大而增大；的增大而增大；若若a 0，当，当x0时，函数时，函数y随随x的增大而增大，的增大而增大， 当当x 0时，函数时，函数y随随x的增大而减小的增大而减小若若a0，当，当x=0时，函数时，函数y有最小值有最小值c；若；若a0, 当当x=0时，函数时，函数y

5、有最大值有最大值c.它的图像是由抛物线它的图像是由抛物线 向向 （c0）平移）平移 个单位；或者向个单位；或者向 （c0）平移平移 个单位个单位 而得到而得到. 上上c下下c抛物线抛物线 的开口的开口 ，顶点，顶点 ，对称轴对称轴 ，当，当x 时，时，y随着随着x的增大而减小，的增大而减小，当当x 时，时，y随着随着x的增大而增大；当的增大而增大；当x 时，时，函数函数y有最有最 值，最小值为值，最小值为 ，它是由抛物线，它是由抛物线 向向 平移平移 个单位而得到个单位而得到.抛物线抛物线 的开口的开口 ，顶点，顶点 ，对称轴对称轴 ，当，当x 时，时，y随着随着x的增大而增大，的增大而增大，

6、当当x 时，时，y随着随着x的增大而减小；当的增大而减小；当x 时，时，函数函数y有有 最最 值，最大值为值，最大值为 ，它是由抛物线，它是由抛物线 向向 平移平移 个单位而得到个单位而得到.数学实验室数学实验室向上向上（-3，0）x=-3=-3小小0-3-3左左3向下向下（3，0）x=3=3大大0333右右抛物线抛物线 的几何特征：的几何特征：抛物线的开口的方向抛物线的开口的方向顶点（顶点（m，0），对称轴），对称轴 x=m若若a0，当，当xm时，函数时，函数y随随x的增大而减小，的增大而减小， 当当x m时，函数时，函数y随随x的增大而增大；的增大而增大；若若a 0，当，当xm时，函数时，

7、函数y随随x的增大而增大，的增大而增大， 当当x m时，函数时，函数y随随x的增大而减小的增大而减小若若a0，当，当x=m时，函数时，函数y有最小值有最小值0； 若若a0, 当当x=m时，函数时，函数y有最大值有最大值0.它的图像是由抛物线它的图像是由抛物线 向向 （m0）平移）平移 个单位；个单位； 或者向或者向 （m0）平移）平移 个单位而得个单位而得到到.右右m左左m 抛物线抛物线 的开口的开口 ，顶点，顶点 ，对称轴，对称轴 ，当，当x 时，时，y随着随着x的增的增大而减小，当大而减小，当x 时，时，y随着随着x的增大而的增大而增大；当增大；当x 时，函数时，函数y有最有最 值，最小值

8、，最小值为值为 ，它是由抛物线，它是由抛物线 先向先向 平移平移 个单位，然后再向个单位，然后再向 平移平移 个单位而得到个单位而得到.向上向上(-3,-1)X=-3-3-3=-3小小-1左左3下下1抛物线抛物线 的开口的开口 ，顶，顶点点 ，对称轴，对称轴 ， 当当x 时，时，y随着随着x的增大而增大，当的增大而增大，当x 时，时，y随着随着x的增大的增大而减小；当而减小；当x 时，函数时，函数y有最有最 值，最值，最大值为大值为 ，它是由抛物线，它是由抛物线 先向先向 平移平移 个单位，然后再向个单位，然后再向 平移平移 个个 单位而得到单位而得到.向下向下(3,1)X=333=3大大1右

9、右3上上1数学实验室数学实验室 抛物线抛物线 的几何特征：的几何特征： 开口的方向开口的方向 顶点（顶点（m，n），对称轴），对称轴 x= m若若a0，当，当xm时，函数时，函数y随随x的增大而减小，的增大而减小， 当当x m时，函数时，函数y随随x的增大而增大；的增大而增大；若若a 0，当，当xm时，函数时，函数y随随x的增大而增大，的增大而增大， 当当xm时，函数时，函数y随随x的增大而减小；的增大而减小；若若a0，当，当x=m时，函数时，函数y有最小值有最小值n；若；若a0, 当当x=m时，函数时，函数y有最大值有最大值n.它的图像由它的图像由 抛物抛物 线线 向向 （m0）平移）平移

10、个单位或者向个单位或者向 （m0）平）平 移移 个单位；然后再个单位；然后再 向向 （n0）平）平移移 个单位或者向个单位或者向 （n0）平移）平移 个个单位而得到单位而得到.右右m左左mn上上n下下二次函数的解析式1.已知函数已知函数 是关于是关于x的二次函的二次函数，求数，求k的值并写出函数的解析式的值并写出函数的解析式2.用一根长为用一根长为8m的木条，做成一个小长方形的木条，做成一个小长方形的窗框。若宽为的窗框。若宽为x m，窗户面积为，窗户面积为y ，求，求y与与x的函数解析式的函数解析式3.已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（3，4），与），与y轴的交轴的交点为（点为（0，1）

11、求抛物线的解析式）求抛物线的解析式. （用定义）（用定义）（列方程法）（列方程法）（几何特征法）（几何特征法）4.已知抛物线已知抛物线 经过点经过点A（-1，0） B（3，0），求它的解析式），求它的解析式5.已知已知 抛物线抛物线 （a0）经过点）经过点A（-2，3）、）、B（1，6）、）、C （4，3），求），求它的它的 解析式。解析式。6.已知抛物线已知抛物线 （a0）是由）是由抛物线抛物线 平移得到，而一元二平移得到，而一元二 次次 方程方程 （a0）的两个根）的两个根分别为分别为 -1，3 ，求抛物，求抛物 线的解析式线的解析式 （待定系数法）（待定系数法）（待定系数法）（待定系数法

12、）（小综合）（小综合）二次函数的解析式 求二次函数解析式的常用方法求二次函数解析式的常用方法（1 1）定义法）定义法（2 2）列方程法）列方程法（3 3）几何特征法）几何特征法（4 4）待定系数法）待定系数法（5 5）综合应用法）综合应用法如何求抛物线的顶点如何求抛物线的顶点 1.已已 知抛物线知抛物线 ，求则抛物线的，求则抛物线的顶点顶点2.已知抛物线已知抛物线y= -2（x+1）（）（x-3），求抛），求抛物线的顶点物线的顶点. 3.已知抛物线经过已知抛物线经过A（-1，3）、）、B（3，3）、）、C（1，5）三点，求抛物线的顶点）三点，求抛物线的顶点. 4.4 . 已知抛物线的对称轴已知抛物线的对称轴x= -1，且顶点在，且顶点在直线直线 y= -x+3上，求抛物线的顶点上，求抛物线的顶点. （两种基本方法）（两种基本方法）（利用对称性）（利用对称性）（拓展）（拓展） （小综合）（小综合）1.利用配方法利用配方法2.利用顶点坐标公式法利用顶点坐标公式法3.利用抛物线的对称性利用抛物线的对称性4.综合应用综合应用辅导资料辅导资料 p97