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1、2.1.1 2.1.1 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理归纳推理归纳推理歌德巴赫猜想的提出过程：歌德巴赫猜想的提出过程： 3710，31720，131730，1037，20317，301317偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数偶数奇质数奇质数63+3， 一个偶数（不小于一个偶数（不小于6 6）总可以表示成两个）总可以表示成两个 奇质数之和；奇质数之和； 没有发现反例没有发现反例 。83+5，105+5，125+7，147+7，165+11，1 00029+971，归纳推理的定义归纳推理的定义: : 由某类事物的部分对象具有某些特征由某类事物的部分对象具有某些特征, ,推出该类
2、事推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理物的全部对象都具有这些特征的推理, ,或者由个别事实或者由个别事实概括出一般结论的推理概括出一般结论的推理, ,称为称为归纳推理归纳推理( (简称归纳简称归纳).). 简言之简言之, ,归纳推理是由归纳推理是由部分到整体部分到整体、由、由个别到一般个别到一般的推理。的推理。 例如：金、银、铜、铁受热后体积膨胀。它们是例如：金、银、铜、铁受热后体积膨胀。它们是金属的部分小类对象，受热后分子的凝聚力减弱，分金属的部分小类对象，受热后分子的凝聚力减弱，分子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀。子运动加速，分子彼此距离加大，从而导致体积膨胀。 所以，
3、所有的金属受热后都体积膨胀。所以，所有的金属受热后都体积膨胀。 归纳推理的一般步骤归纳推理的一般步骤 对有限的资料进行观察、分析、归纳对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；整理； 提出带有规律性的结论，即猜想；提出带有规律性的结论，即猜想； 检验猜想。检验猜想。 例例1、已知数列、已知数列an中，中，a1=1，且，且试归纳出这个数列的通项公式。试归纳出这个数列的通项公式。费马猜想：费马猜想：任何形如任何形如 （nNN* *）的数都是质数）的数都是质数 注意：归纳推理仅是猜想，其结论不一定正确注意：归纳推理仅是猜想，其结论不一定正确反例：反例： 可能存在生命可能存在生命 这种由两类对象具有某些
4、类似特征，这种由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为一类对象也具有这些特征的推理称为类比类比推理推理（简称（简称类比类比）简言之，类比推理是）简言之，类比推理是由由特殊特殊到到特殊特殊的推理的推理 类比推理的定义类比推理的定义 找出两类对象之间可以确切表述的相似特找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。检验猜想。观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论
5、猜想新结论 类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤例例2 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比、试将平面上的圆与空间的球进行类比. . 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合的点的集合. . 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合集合. .圆圆弦弦直径直径周长周长面积面积球球截面圆截面圆大圆大圆表面积表面积体积体积圆的性质圆的性质球的性质球的性质圆心与弦圆心与弦( (不是直径不是直径) )的中点的中点的连线垂直于弦的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦
6、不等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的半圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心线必经过圆心球心与截面圆球心与截面圆( (不是大圆不是大圆) )的圆点的圆点的连线垂直于截面圆的连线垂直于截面圆与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大距球心较近的截面圆较大球的切面垂直于过切点的半径；球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂
7、直于切面的直线必经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点经过切点且垂直于切面的直线必经过切点且垂直于切面的直线必经过球心经过球心课本课本P72P72探究：探究： 类比推理举例类比推理举例可以从不同角度确定类比对象：可以从不同角度确定类比对象：构成几何体的元素数目：四面体构成几何体的元素数目：四面体 三角形三角形 直角三角形直角三角形 C903个边的长度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边c例例3 3、类比平面内直角三角形的勾股定理类比平面内直角三角形的勾股定理, ,试给试给出空间中四面体性质的猜想出空间中四面体性质的猜想3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体
8、PDFPDEEDF90 4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面” S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面” S2.1.2 2.1.2 演绎推演绎推理理因为因为tantan三角函数三角函数, , 观察与思考观察与思考1.1.所有的金属都能导电所有的金属都能导电, , 2.2.一切奇数都不能被一切奇数都不能被2 2整除整除, , 3.3.三角函数都是周期函数三角函数都是周期函数, , 4.4.全等的三角形面积相等全等的三角形面积相等 所以铜能够导电所以铜能够导电. .因为铜是金属因为铜是金属, , 所以所以(2(2100100+1)+1)不能被不能被2 2整除整除. .因
9、为因为(2(2100100+1)+1)是奇数是奇数, ,所以是所以是tantan期函数期函数那么三角形那么三角形ABCABC与三角形与三角形A A1 1B B1 1C C1 1面积相等面积相等. .如果三角形如果三角形ABCABC与三角形与三角形A A1 1B B1 1C C1 1全等全等, ,大前提大前提小前提小前提结论结论大前提大前提小前提小前提结论结论 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为结论，这种推理称为演绎推理演绎推理注：注：演绎推理是由演绎推理是由一般一般到到特殊特殊的推理；的推理；“三段论三段论”是演绎推理的一般模式；
10、包括是演绎推理的一般模式；包括大前提大前提-已知的一般原理；已知的一般原理；小前提小前提-所研究的特殊情况所研究的特殊情况结论结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断据一般原理，对特殊情况做出的判断“三段论三段论”是演绎推理的一般模式；包括是演绎推理的一般模式；包括大前提大前提-已知的一般原理；已知的一般原理；小前提小前提-所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；结论结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断据一般原理，对特殊情况做出的判断3.3.三段论推理的依据三段论推理的依据, ,用集合的观点来理解用集合的观点来理解: : 若集合若集合M M的所有元素都具的所有元素都具有性质有性质P,SP,S是是M
11、 M的一个子集的一个子集, ,那那么么S S中所有元素也都具有性质中所有元素也都具有性质P.P.M MS Sa a例例4.4.如图如图; ;在锐角三角形在锐角三角形ABCABC中中,ADBC, BEAC,D,E,ADBC, BEAC,D,E是垂足是垂足, , 求证求证:AB:AB的中点的中点M M到到D,ED,E的距离相等的距离相等. .A AD DE EC CM MB B (1)(1)因为有一个内角是只直角的三角因为有一个内角是只直角的三角形是直角三角形形是直角三角形, ,在在ABCABC中中,ADBC,ADBC,即即ADB=90ADB=900 0所以所以ABDABD是直角三角形是直角三角形
12、同理同理ABDABD是直角三角形是直角三角形(2)(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, ,M M是是RtABDRtABD斜边斜边ABAB的中点的中点,DM,DM是斜边上的中线是斜边上的中线所以所以 DM= ABDM= AB同理同理 EM= ABEM= AB所以所以 DM = EMDM = EM大前提大前提小前提小前提结论结论大前提大前提小前提小前提结论结论证明证明: :例例: :证明函数证明函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+2x+2x在在(-(-,1,1上是增函数上是增函数. .满足对于任意满足对于任意x x1 1,x,x2 2D,D,
13、若若x x1 1xx2 2, ,有有f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )成立的函数成立的函数f(x),f(x),是区间是区间D D上的增函数上的增函数. .任取任取x x1 1,x,x2 2 (-(-,1,1 且且x x1 1xx2 , 2 , f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)=(-x)=(-x1 12 2+2x+2x1 1)-(x)-(x2 22 2+2x+2x2 2) ) =(x =(x2 2-x-x1 1)(x)(x1 1+x+x2 2-2) -2) 因为因为x x1 1x0 0 因为因为x x1 1,x,x2 211所以所以x x1 1+x+x2 2-20 -2
14、0 因此因此f(xf(x1 1)-f(x)-f(x2 2)0,)0,即即f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )所以函数所以函数f(x)=-xf(x)=-x2 2+2x+2x在在(-(-,1,1上是增函数上是增函数. .大前提大前提小前提小前提结论结论证明证明: : 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程的重要思维过程. . 数学结论、证明思路的发现数学结论、证明思路的发现, ,主要靠合情主要靠合情推理推理. .合情推理与演绎推理的区别合情推理与演绎推理的区别: :归纳是由特殊到一般的推理归纳是由特殊到一般的推理; ;类比是由特殊到特殊的推理类比是由特殊到特殊的推理; ;演绎推理是由一般到特殊的推理演绎推理是由一般到特殊的推理. .从推理的结论来看从推理的结论来看, ,合情推理的结论不一定正合情推理的结论不一定正确确, ,有待证明有待证明; ;演绎推理得到的结论一定正确演绎推理得到的结论一定正确本节知识结构本节知识结构
