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1、4.3 协方差协方差 相关系数相关系数 4.1节与4.2节我们介绍了随机变量的两个常见的数字特征，即数学期望与方差，它们分别反映了随机变量取值的平均水平和随机变量取值相对于均值的分散程度，但有时还要考虑多个随机变量之间的取值关系，为此我们引入协方差与相关系数的概念。4.3.1 协协 方方 差差即显然， 和 都存在，则 定义定义1 1 设 是二维随机变量，如果 称 为 与 的协方.差，记为由协方差定义与方差性质可以得到即 由协方差定义可知协方差也是一随机变量函数的期望值，且即这也是一个常用的计算协方差的公式。如果与 相互独立，则 ，从而 但反过来不一定成立，即如果协X -1 0 1 ，则容易算得
2、 X 与Y 显然是不独立的，因为 Y 的取值是由 X 来定的。方差为0， 与 不一定相互独立。例如，设随机变量 的分布列为类似于一维随机变量的正态分布，容易算得，例例1 1 设二维随机变量 服从正态分布 试求已知 的概率密度为：解从而 前面我们已经知道，二维正态分布中 与 相互独立等价于 从而 对于协方差，具有以下几条性质：证明证明（1） 由协方差定义，= 0.即对二维正态分布， 与 相互独立的充分必要条件是 （ 为任常数）； （ ， 常数）.4.3.2 相关系数相关系数 可以看出， 是一个无量纲的数， 存在，则称之为 与 的 定义定义2 2 对二维随机变量 ，如果 相关系数，记为 .而且由协
3、方差定义可得与与的协方差，因为两标准化随机变量 与 即： 的相关系数是标准化随机变量的期望值都是0，从而相关系数具有以下性质：的充分必要条件是存在当 相互独立时，常数 使证明证明 （1） 由协方差公式可知由方差非负性可得从而 （2）必要性 若 则由（1）可知从而则由方差性质（5）可得即其中当 时，类似可得 与 有线性关系.充分性 设 为常数，从而所以从而则 对于相关系数 当 时，所以 （3）当 与 相互独立时， 与 之间有线性关系，此时称 与 是完全相关的，其中 由性质（3）知道，相互独立的随机变量一定不相关，但反过来不一定成立。而对正态分布而言，独立性与不相关性是一致的。若 称 为正相关；若 称 为负相关；若 称 为不相关；一般情况下， 的大小反映 与 取值的相关程度。
