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1、第二节第二节 可测函数的收敛性可测函数的收敛性第四章 可测函数函数列的几种收敛定义函数列的几种收敛定义一致收敛:注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制fn(x)=xn点点收敛: 记作1-例：函数列fn(x)=xn , n=1,2,在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛fn(x)=xn几乎处处收敛几乎处处收敛: : 记作记作 (almost everywhere (almost everywhere）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度
2、集，在留下的集合上一致收敛几乎一致收敛几乎一致收敛: :记作记作 (almost uniformly) (almost uniformly)依测度收敛依测度收敛: : 记作记作注：从定义可看出，l几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）l依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何不依测度收敛不依测度收敛依测度收敛依测度收敛几种收敛的区别几种收敛的区别说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1（1 1）处处收敛但不依测度收敛）处处收敛但不依测度收敛n 在R+上处处收敛于 f(
3、x)=1 ,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外f fn n 不几乎一致收敛不几乎一致收敛于于1 1f fn n不几乎一致收敛于不几乎一致收敛于f f几乎一致收敛几乎一致收敛: :记作记作 (almost uniformly) (almost uniformly)即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛任意 （ ）适当小小fn不几乎一致收敛于f即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛不几乎一致收敛于f(x)=1n（2 2）依测度收敛但处处不收敛）依测度收敛但处处不收敛0 1f1f60 1/4 3/4 10 1/
4、4 3/4 10 1/4 3/4 10 1/4 3/4 1f7f5f40 1f30 1f20 1/8 1/4 1f8依测度收敛但处处不收敛依测度收敛但处处不收敛 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,说明：对任何x(0,1 , fn(x)有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-,1),在留下的集合上一致收敛收敛的联系（收敛的联系（叶果洛夫定理的引入叶果洛夫定理的引入）1-fn(x)=xn三种收敛的联系三种收敛的联系即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，（即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛引理：设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，证明：由于 为零测度集，故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：关于N单调减小几乎处处收敛与依测度收敛几乎处处收敛与依测度收敛（LebesgueLebesgue定理）定理）设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，
