《3.4.1圆周角和圆心角弧的关系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3.4.1圆周角和圆心角弧的关系（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章第三章第三章第三章 圆圆圆圆3.4 3.4 圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系第第1 1课时课时 圆周角和圆心角、圆周角和圆心角、 弧的关系弧的关系1 1课堂讲解课堂讲解课堂讲解课堂讲解uu圆圆周角的定周角的定周角的定周角的定义义uu圆圆周角和周角和周角和周角和圆圆心角的关系心角的关系心角的关系心角的关系uu圆圆周角和弧的关系周角和弧的关系周角和弧的关系周角和弧的关系2 2课时流程课时流程课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂课堂课堂小结小结小结小结作业作业作业作业提升提升提升提升回回回回顾顾旧知旧知旧知旧知什么是什么是什么是什么是圆圆心角？它具有哪些性心角？它具有哪些性心角
2、？它具有哪些性心角？它具有哪些性质质？1 1知识点知识点知识点知识点 圆周角的定义圆周角的定义圆周角的定义圆周角的定义知知知知1 1 1 1导导导导 图中图中图中图中ACB ACB 的顶点和边有哪些特点？的顶点和边有哪些特点？的顶点和边有哪些特点？的顶点和边有哪些特点？A AO OB BC C顶点顶点顶点顶点在圆上，并且在圆上，并且在圆上，并且在圆上，并且两两两两边边边边都和圆相交的角叫都和圆相交的角叫都和圆相交的角叫都和圆相交的角叫圆周角如：圆周角如：圆周角如：圆周角如：ACBACB圆圆周角的周角的周角的周角的特征：特征：特征：特征：角的角的角的角的顶顶点在点在点在点在圆圆上；上；上；上；角
3、的两角的两角的两角的两边边都与都与都与都与圆圆相交，相交，相交，相交，这这两个特征是判定两个特征是判定两个特征是判定两个特征是判定圆圆周角周角周角周角 不可缺少的条件不可缺少的条件不可缺少的条件不可缺少的条件知知知知1 1 1 1讲讲讲讲如如如如图图，下列各角是，下列各角是，下列各角是，下列各角是圆圆周角的是周角的是周角的是周角的是( () )A AAODAODB BAOCAOCC CBADBADD DBODBOD知知知知1 1 1 1讲讲讲讲（来自（来自（来自（来自点拨点拨点拨点拨）可根据可根据可根据可根据圆圆周角的定周角的定周角的定周角的定义进义进行判断，行判断，行判断，行判断，显显然然然
4、然AODAOD，AOCAOC，BODBOD均是均是均是均是圆圆心角，只有心角，只有心角，只有心角，只有BADBAD符合符合符合符合圆圆周角的两个特征周角的两个特征周角的两个特征周角的两个特征导导引：引：引：引： 例例例例1 1C C总结知知知知1 1 1 1讲讲讲讲（来自（来自（来自（来自点拨点拨点拨点拨） 判断一个角是否判断一个角是否判断一个角是否判断一个角是否为圆为圆周角，关周角，关周角，关周角，关键键是看是看是看是看这这个角是否个角是否个角是否个角是否具具具具备圆备圆周角的两个特征：周角的两个特征：周角的两个特征：周角的两个特征：(1)(1)角的角的角的角的顶顶点在点在点在点在圆圆上；上
5、；上；上；(2)(2)角的两角的两角的两角的两边边都与都与都与都与圆圆相交，二者缺一不可相交，二者缺一不可相交，二者缺一不可相交，二者缺一不可( (中考中考中考中考 柳州柳州柳州柳州) )下列四个下列四个下列四个下列四个图图中，中，中，中，x x为圆为圆周角的是周角的是周角的是周角的是( () )知知知知1 1 1 1练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）1 1C C2 2知识点知识点知识点知识点圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系知知知知2 2 2 2导导导导如如如如图图, , AOB AOB = 80.= 80.(1)(1)请
6、请你画出几个你画出几个你画出几个你画出几个 所所所所对对的的的的圆圆周角，周角，周角，周角，这这几几几几 个个个个圆圆周角有什么关系？与同伴周角有什么关系？与同伴周角有什么关系？与同伴周角有什么关系？与同伴进进行交流行交流行交流行交流. .(2 )(2 )这这些些些些圆圆周角与周角与周角与周角与圆圆心角心角心角心角 AOBAOB的大小有什的大小有什的大小有什的大小有什 么关系？你是么关系？你是么关系？你是么关系？你是 怎怎怎怎样发现样发现的？与同伴的？与同伴的？与同伴的？与同伴进进行交流行交流行交流行交流. . 在在在在图图中，改中，改中，改中，改变变 AOBAOB的度数，你得到的的度数，你得
7、到的的度数，你得到的的度数，你得到的结论还结论还成立成立成立成立吗吗？做一做做一做做一做做一做归纳知知知知2 2 2 2导导导导（来自教材）（来自教材）（来自教材）（来自教材）圆周角定理周角定理：圆周角的度数等于它所周角的度数等于它所对弧上的弧上的圆心角度数的一半心角度数的一半.知知知知2 2 2 2讲讲讲讲1. 1. 圆圆周角定理的周角定理的周角定理的周角定理的证证明：明：明：明： 已知：如已知：如已知：如已知：如图图, , C C是是是是 所所所所对对的的的的圆圆 周角，周角，周角，周角， AOBAOB是是是是 所所所所对对的的的的圆圆心角心角心角心角. . 求求求求证证： C=C= AO
8、BAOB 分分分分析：析：析：析：根根根根据据据据圆圆周角和周角和周角和周角和圆圆心的位置关系，分三心的位置关系，分三心的位置关系，分三心的位置关系，分三 种情况种情况种情况种情况讨论讨论：知知知知2 2 2 2讲讲讲讲(1)(1)圆圆心心心心O O在在在在 C C的一条的一条的一条的一条边边上，如上，如上，如上，如图图 (1);(1);(2)(2)圆圆心心心心O O在在在在 C C的内部，如的内部，如的内部，如的内部，如图图 (2); (2);(3)(3)圆圆心心心心O O在在在在 C C的的的的外外外外部，如部，如部，如部，如图图 ( (3 3) ). . 在三种位置关系中，我在三种位置关
9、系中，我在三种位置关系中，我在三种位置关系中，我们选择们选择(1)(1)给给出出出出证证明，其他情况可以明，其他情况可以明，其他情况可以明，其他情况可以 转转化化化化为为(1)(1)的情况的情况的情况的情况进进行行行行证证明明明明. .( (1)1)圆圆心心心心O O在在在在 C C的一条的一条的一条的一条边边上，如上，如上，如上，如图图 (1). (1). AOBAOB是是是是AOCAOC的的的的外角，外角，外角，外角， AOBAOB = = A A + + C C. . OAOA = = OCOC， A A = = C C. . AOBAOB = 2 = 2 C C, , 即即即即 C C
10、 = = AOBAOB. . 请请你完成你完成你完成你完成图图 (2) (2)和和和和图图 (3) (3)两种情况的两种情况的两种情况的两种情况的证证明明明明. .证证明：明：明：明：知知知知2 2 2 2讲讲讲讲如如如如图图，A A，B B，C C，D D是同一是同一是同一是同一圆圆上的点，上的点，上的点，上的点，1 16868，A A4040，则则D D_例例例例2 2由由由由圆圆周角定理的推周角定理的推周角定理的推周角定理的推论论1 1可知可知可知可知C CA A4040，由三角，由三角，由三角，由三角形的外角性形的外角性形的外角性形的外角性质质得得得得D D1 1C C68684040
11、28.28.导导引：引：引：引：2828总结知知知知2 2 2 2讲讲讲讲（来自（来自（来自（来自点拨点拨点拨点拨） 本本题应用用转化思想化思想，利用，利用“同弧所同弧所对的的圆周角相等周角相等”将已知角将已知角转化化为与要求的角在同一个三角形中的角，然与要求的角在同一个三角形中的角，然后利用三角形的外角性后利用三角形的外角性质求解求解知知知知2 2 2 2讲讲讲讲如如如如图图，在，在，在，在 O O中，中，中，中，AOCAOC150150，求，求，求，求ABCABC，ADCADC的的的的度数，并判断度数，并判断度数，并判断度数，并判断ABCABC和和和和ADCADC，EBCEBC和和和和AD
12、CADC之之之之间间的度数关系的度数关系的度数关系的度数关系例例例例3 3解解解解题题的关的关的关的关键键是分清同弧所是分清同弧所是分清同弧所是分清同弧所对对的的的的圆圆心角和心角和心角和心角和圆圆周角，如周角，如周角，如周角，如 所所所所对对的的的的圆圆心角是心角是心角是心角是AOCAOC，所，所，所，所对对的的的的圆圆周角是周角是周角是周角是ABCABC， 所所所所对对的的的的圆圆心角是大于平角的心角是大于平角的心角是大于平角的心角是大于平角的 ，所，所，所，所对对的的的的圆圆周周周周角是角是角是角是ADCADC. .导导引：引：引：引：知知知知2 2 2 2讲讲讲讲AOCAOC15015
13、0，ABCABC AOCAOC75.75. 360360AOCAOC360360150150210210，ADCADC 105.105.EBCEBC180180ABCABC1801807575105105，EBCEBCADCADC，即，即，即，即EBCEBC与与与与ADCADC相等相等相等相等又又又又ABCABCADCADC7575105105180180，ABCABC和和和和ADCADC互互互互补补解：解：解：解：如如如如图图，在，在，在，在 O O中，中，中，中，O O = 50= 50，求，求，求，求A A的度数的度数的度数的度数. .知知知知2 2 2 2练练练练（来自（来自（来自（来
14、自教材教材教材教材）1 1解：解：解：解：BACBAC与与与与BOCBOC 所所所所对对的弧都是的弧都是的弧都是的弧都是 ， BACBAC BOCBOC 50 50 25.25.( (中考中考中考中考 张张家界家界家界家界) )将量角器按如将量角器按如将量角器按如将量角器按如图图所示的方式放置在三所示的方式放置在三所示的方式放置在三所示的方式放置在三角形角形角形角形纸纸板上，使板上，使板上，使板上，使顶顶点点点点C C在半在半在半在半圆圆上，点上，点上，点上，点A A，B B的的的的读读数分数分数分数分别为别为100100，150150，则则ACBACB_知知知知2 2 2 2练练练练（来自（
15、来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）2 22525知知知知2 2 2 2练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）【中考中考中考中考 衡阳衡阳衡阳衡阳】如如如如图图，点，点，点，点A A，B B，C C都在都在都在都在 O O上，且点上，且点上，且点上，且点C C在弦在弦在弦在弦ABAB所所所所对对的的的的优优弧上，如果弧上，如果弧上，如果弧上，如果AOBAOB6464，那么，那么，那么，那么ACBACB的度数是的度数是的度数是的度数是( () )A A26 26 B B30 30 C C32 32 D D64643 3C C知知知知2 2 2 2练练练练（来自（来自（来
16、自（来自典中点典中点典中点典中点）【中考中考中考中考 广州广州广州广州】如如如如图图，在，在，在，在 O O中，中，中，中，ABAB是直径，是直径，是直径，是直径，CDCD是弦，是弦，是弦，是弦，ABABCDCD，垂足，垂足，垂足，垂足为为E E，连连接接接接COCO，ADAD，BADBAD2020，则则下列下列下列下列说说法中正确的是法中正确的是法中正确的是法中正确的是( () )A AADAD2 2OBOB B BCECEEOEOC COCEOCE40 40 D DBOCBOC2 2BADBAD4 4D D知知知知2 2 2 2练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）【中
17、考中考中考中考 黔南州黔南州黔南州黔南州】如如如如图图，ABAB是是是是 O O的直径，弦的直径，弦的直径，弦的直径，弦CDCDABAB于点于点于点于点E E，CDBCDB3030， O O的半径的半径的半径的半径为为5 cm5 cm，则圆则圆心心心心O O到到到到弦弦弦弦CDCD的距离的距离的距离的距离为为( () )A. cm A. cm B B3 cm 3 cm C C3 cm 3 cm D D6 cm6 cm5 5A A知知知知2 2 2 2练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）【中考中考中考中考 云南云南云南云南】如如如如图图，B B，C C是是是是 A A上的两
18、点，上的两点，上的两点，上的两点，ABAB的垂的垂的垂的垂直平分直平分直平分直平分线线与与与与 A A交于交于交于交于E E，F F两点，与两点，与两点，与两点，与线线段段段段ACAC交于点交于点交于点交于点D D. . 若若若若BFCBFC2020，则则DBCDBC( () )A A30 30 B B29 29 C C28 28 D D20206 6A A知知知知2 2 2 2练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）【中考中考中考中考 泰安泰安泰安泰安】如如如如图图，A A，B B，C C是是是是 O O上的三点，且上的三点，且上的三点，且上的三点，且四四四四边边形形形形A
19、BCOABCO是平行四是平行四是平行四是平行四边边形，形，形，形，OFOFOCOC交交交交 O O于点于点于点于点F F，则则BAFBAF等于等于等于等于( () )A A12.5 12.5 B B15 15 C C20 20 D D22.522.57 7B B知知知知3 3 3 3导导导导3 3知识点知识点知识点知识点圆周角和弧的关系圆周角和弧的关系圆周角和弧的关系圆周角和弧的关系想一想想一想想一想想一想 在如在如图的的射射门游游戏中，当球中，当球员在在B ， D，E处射射门时，所，所 形成形成的的三个三个张角角 ABC， ADC， AEC的的大小有什么关系？大小有什么关系？你能用你能用圆周
20、角定理周角定理证明你的明你的结论吗？归纳知知知知3 3 3 3导导导导（来自教材）（来自教材）（来自教材）（来自教材）推推推推论论 同弧或等弧所同弧或等弧所同弧或等弧所同弧或等弧所对对的的的的圆圆周角相等周角相等周角相等周角相等. .广州广州广州广州如如如如图图，在，在，在，在 O O中，中，中，中，ACBACBBDCBDC6060， AC AC2 cm.2 cm. (1) (1)求求求求BACBAC的度数；的度数；的度数；的度数； (2) (2)求求求求 O O的周的周的周的周长长（来自（来自（来自（来自点拨点拨点拨点拨）知知知知3 3 3 3讲讲讲讲例例例例4 4(1)(1)观观察察察察图
21、图形形形形发现发现BACBAC与与与与BDCBDC为为同弧所同弧所同弧所同弧所对对的的的的圆圆周角，周角，周角，周角，故故故故BACBACBDCBDC6060；(2)(2)要求要求要求要求圆圆的周的周的周的周长长，需先求出，需先求出，需先求出，需先求出半径，可利用垂径定理，即半径，可利用垂径定理，即半径，可利用垂径定理，即半径，可利用垂径定理，即连连接接接接OAOA，作，作，作，作OEOEACAC于点于点于点于点E E，构造直角三角形求出半径构造直角三角形求出半径构造直角三角形求出半径构造直角三角形求出半径导导引：引：引：引：（来自（来自（来自（来自点拨点拨点拨点拨）知知知知3 3 3 3讲讲
22、讲讲 解：解：解：解：(1)(1)在在在在 O O中，中，中，中，BDCBDC与与与与BACBAC均均均均为为 所所所所对对的的的的圆圆周角，周角，周角，周角， BACBACBDCBDC60.60.(2)(2)ACBACB6060，又由，又由，又由，又由(1)(1)知知知知BACBAC6060， ABCABC为为等等等等边边三角形三角形三角形三角形连连接接接接OAOA，作，作，作，作OEOEACAC于点于点于点于点E E， 如如如如图图所示所示所示所示 OEOEACAC，ACAC2 cm2 cm，AEAE cm. cm. 在在在在RtRtAOEAOE中，中，中，中，AOEAOEABCABC60
23、60， OAEOAE30.30.OEOE OAOA. . 又又又又OEOE2 2AEAE2 2OAOA2 2，OAOA2 cm.2 cm. O O的周的周的周的周长为长为22224(cm)4(cm)总结知知知知3 3 3 3讲讲讲讲（来自（来自（来自（来自点拨点拨点拨点拨） 同一条弧所同一条弧所同一条弧所同一条弧所对对的的的的圆圆周角有无数个，它周角有无数个，它周角有无数个，它周角有无数个，它们们都相等，都相等，都相等，都相等，这这里特里特里特里特别别要注意不要要注意不要要注意不要要注意不要误认为误认为 “ “同弦所同弦所同弦所同弦所对对的的的的圆圆周角周角周角周角” ” 相相相相等等等等 ,
24、 , 因因因因为为一条弦一条弦一条弦一条弦( (非直径非直径非直径非直径) )所所所所对对的的的的圆圆周角的大小有两种周角的大小有两种周角的大小有两种周角的大小有两种如如如如图图，哪个角与，哪个角与，哪个角与，哪个角与BACBAC相等？你相等？你相等？你相等？你还还能找到哪些相能找到哪些相能找到哪些相能找到哪些相等的角？等的角？等的角？等的角？知知知知3 3 3 3练练练练（来自（来自（来自（来自教材教材教材教材）1 1解：解：解：解：BDCBDCBACBAC，如，如，如，如图图， 相等的角相等的角相等的角相等的角还还有有有有ADBADBACBACB， ACDACDABDABD， CADCAD
25、CBDCBD， 1 12 2，3 34. 4.知知知知3 3 3 3练练练练（来自（来自（来自（来自 ）【中考中考中考中考 河池河池河池河池】如如如如图图， O O的直径的直径的直径的直径ABAB垂直于弦垂直于弦垂直于弦垂直于弦CDCD，CABCAB3636，则则BCDBCD的大小是的大小是的大小是的大小是( () )A A18 18 B B36 36 C C54 54 D D72722 2B B知知知知3 3 3 3练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）【中考中考中考中考 兰兰州州州州】如如如如图图，在，在，在，在 O O中，中，中，中，ABABBCBC，点，点，点，点D
26、 D在在在在 O O上，上，上，上，CDBCDB2525，则则AOBAOB( () )A A45 45 B B50 50 C C55 55 D D60603 3B B知知知知3 3 3 3练练练练（来自（来自（来自（来自典中点典中点典中点典中点）【中考中考中考中考 黄黄黄黄冈冈】如如如如图图，在，在，在，在 O O中，中，中，中，OAOABCBC，AOBAOB7070，则则ADCADC的度数的度数的度数的度数为为( () )A A30 30 B B35 35 C C45 45 D D70704 4B B(1)(1)一个概念一个概念一个概念一个概念（圆圆周角）；周角）；周角）；周角）；(2)(2
27、)一个定理一个定理一个定理一个定理：一条弧所：一条弧所：一条弧所：一条弧所对对的的的的圆圆周角等于周角等于周角等于周角等于该该弧所弧所弧所弧所对对的的的的 圆圆心角的一半；心角的一半；心角的一半；心角的一半；(3)(3)一个推一个推一个推一个推论论：同：同：同：同圆圆内，内，内，内，同弧或等弧所同弧或等弧所同弧或等弧所同弧或等弧所对对的的的的圆圆周角相周角相周角相周角相 等等等等. . 相等的相等的相等的相等的圆圆周角所周角所周角所周角所对对的弧相等；的弧相等；的弧相等；的弧相等；1 1知识小结知识小结【中考中考中考中考 安顺安顺安顺安顺】如图，如图，如图，如图， O O的直径的直径的直径的直
28、径ABAB垂直于弦垂直于弦垂直于弦垂直于弦CDCD，垂足是，垂足是，垂足是，垂足是E E，A A22.522.5，OCOC4 4，CDCD的长为的长为的长为的长为( () )A A2 B2 B4 C4 C4 D4 D8 8易易错点：点：忽视勾股定理的应用而致错忽视勾股定理的应用而致错2 2易错小结易错小结易错小结易错小结C C因因因因为为直径直径直径直径ABAB垂直于弦垂直于弦垂直于弦垂直于弦CDCD，所以，所以，所以，所以CECEDEDE. .因因因因为为A A22.522.5，所以，所以，所以，所以COECOE45.45.因因因因为为OCOC4 4，由勾股定理得由勾股定理得由勾股定理得由勾股定理得CECE2 2 ，所以，所以，所以，所以CDCD4 4 ，故，故，故，故选选C.C.本本本本题题容易忽容易忽容易忽容易忽视视勾股定理的勾股定理的勾股定理的勾股定理的应应用而致用而致用而致用而致错错 请请完成完成完成完成点点点点拨训练拨训练P72-73P72-73对应习题对应习题！
