《定积分的概念和性质积分上限函数及其导数》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分的概念和性质积分上限函数及其导数（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十讲 定积分的概念和性质积分学分学不定不定积分分定定积分分变上限积分函数 一、定一、定积分的概念分的概念二、定二、定积分的性分的性质三、三、变上限上限积分函数分函数1 1、定、定积分分问题举例例1) 曲曲边梯形的面梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成 ,求其面积 A .机动目录上页下页返回结束矩形面积梯形面积一、定一、定积分的概念分的概念解决步解决步骤 :a) 大化小大化小.在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;b) 常代常代变.在第i 个窄曲边梯形上任取作以为底 ,为高的小矩形, 并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动目
2、录上页下页返回结束c) 近似和近似和.d) 取极限取极限. 令则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束2) 变速直速直线运运动的路程的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程 s.解决步解决步骤:a) 大化小大化小.将它分成在每个小段上物体经b) 常代常代变.得已知速度机动目录上页下页返回结束n 个小段过的路程为c) 近似和近似和.d) 取极限取极限 .上述两个问题的共性共性: 解决问题的方法步骤相同 :“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限机动目录上页下页返回结束2、定、定积分定分定义任一种分法任取总趋于确定的极限 I ,
3、则称此极限 I 为函数在区间上的定定积分分,即此时称 f ( x ) 在 a , b 上可可积 .记作机动目录上页下页返回结束积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和说明明:定定积分分仅与被与被积函数及函数及积分区分区间有关有关 ,而与而与积分分变量用什么字母表示无关量用什么字母表示无关 ,即即机动目录上页下页返回结束3、定、定积分的几何意分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面各部分面积的代数和（的代数和（几何意几何意义）机动目录上页下页返回结束定理定理1.定理定理2.且只有有限个间断点 4、可、可积的充分条件的充分条件:(证明略)例例1. 利用定义计算定积分解解: 将
4、0,1 n 等分, 分点为取机动目录上页下页返回结束注注注目录上页下页返回结束例例2. 用定积分表示下列极限:解解:机动目录上页下页返回结束说明明:机动目录上页下页返回结束根据定积分定义可得如下近似计算方法:将 a , b 分成 n 等份: (左矩形公式)(右矩形公式)(梯形公式)为了提高精度, 还可建立更好的求积公式, 例如辛普森机动目录上页下页返回结束公式, 复化求积公式等, 并有现成的数学软件可供调用.二、定二、定积分的性分的性质(设所列定积分都存在)( k 为常数)机动目录上页下页返回结束推推论1. 若在 a , b 上则6. 若在 a , b 上则机动目录上页下页返回结束推推论2.7
5、. 设则8. 积分中分中值定理定理则至少存在一点使性质7目录上页下页返回结束说明明: 可把 积分中值定理对是有限个数的平均值概念的推广.例例3. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度. 解解: 已知自由落体速度为故所求平均速度机动目录上页下页返回结束思考与思考与练习1. 用定积分表示下述极限 :解解:或机动目录上页下页返回结束三、三、积分上限的函数及其分上限的函数及其导数数在变速直线运动中, 已知位置函数与速度函数之间有关系:物体在时间间隔内经过的路程为这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .机动目录上页下页返回结束1、引例、引例2、积分上限函数及其分上限函数及其导数数则变上限函数证:则有机动目录上页下页返回结束定理定理1. 若说明明:1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2) 变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路 .机动目录上页下页返回结束例例4. 求解解:原式说明目录上页下页返回结束例例5. 确定常数 a , b , c 的值, 使解解:原式 = c 0 , 故又由, 得例例6. 证明在内为单调递增函数 . 证:只要证机动目录上页下页返回结束
