第十一十一章 第六节多元函数微分学的应用1.1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 过点过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在与切线垂直的平面称为曲线在极限位置极限位置.空间光滑曲线空间光滑曲线 在点在点 M 处的处的切线切线为此点处割线的为此点处割线的该点的该点的法平面法平面.1.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 (1) 曲线方程为参数方程的情形曲线方程为参数方程的情形 Γ上点上点 处的切线的方向向量处的切线的方向向量 Γ上点上点 处的切线方程处的切线方程称为称为曲线曲线Γ的切向量的切向量不全为不全为0, 法平面方程法平面方程 注注. 若光滑曲线若光滑曲线Γ表示为：表示为：切线方程：切线方程：法平面方程：法平面方程： ：：(2) 曲线方程为一般方程的情形曲线方程为一般方程的情形 切线方程：切线方程：或或法平面方程为：法平面方程为： 解解切线方程切线方程:法平面方程法平面方程:例例1求空间曲线的切线（或求空间曲线的切线（或法平面）：法平面）：一求切点；二求切向量一求切点；二求切向量.切线方程切线方程:法平面方程法平面方程: 解解例例2 例例3 求曲线求曲线在点在点M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程. 解法解法1则则切向量切向量 点点 M ( 1,–2, 1)，， 切向量：切向量：切线方程切线方程即即法平面方程法平面方程即即 (1) 形如形如 F(x, y, z)=0 的曲面的切平面与法线的曲面的切平面与法线若光滑曲面若光滑曲面 ：： 可以证明：可以证明： 上通过点上通过点M0, 且且在点在点M0处有切线的处有切线的任一曲线任一曲线在在该点的该点的切线切线都在都在同一平面同一平面上，上， 该平面称为该平面称为M0处的处的切平面。
切平面M0t02.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线过过 M0点且与切平面垂直的直点且与切平面垂直的直线称为曲面在该点的线称为曲面在该点的法线法线. M0t0曲线在曲线在M0 处的切向量：处的切向量：在曲面在曲面 上任取一条通过点上任取一条通过点M0 的曲线的曲线证证 M0处处任一曲线任一曲线在该点的在该点的切线切线都在都在同一平面同一平面上上. 法线方程法线方程切平面方程切平面方程—— 曲面曲面F(x, y, z)= 0在点在点M0的的法向量法向量 例例4 求椭球面求椭球面在点在点(1 , 2 , 3)处的切平面及法线方程处的切平面及法线方程. 解解所以在球面上点所以在球面上点 (1 , 2 , 3) 处有处有:切平面方程切平面方程 即即法线方程法线方程法向量法向量令令 例例5证证 例例6解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,则切平面的法向量：则切平面的法向量： (2) 形如形如 z = f (x, y) 的曲面的切平面与法线的曲面的切平面与法线若光滑曲面若光滑曲面 ：： 曲面曲面z=f (x,y)在点在点M0的法向的法向量量 法线方程法线方程:一求切点一求切点, 二二求求曲面的法向量曲面的法向量. 例例7解解 解解例例8 注注. 求光滑曲线求光滑曲线切向量的切向量的第二种第二种方法：方法： 例例3 在点在点M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程处的切线方程与法平面方程. 切线方程切线方程解法解法2即即曲线的切向量：曲线的切向量：求曲线求曲线的法向量分别为：的法向量分别为：法平面方程法平面方程即即 1. 空间曲线的切向量空间曲线的切向量（（1）参数式情况）参数式情况.空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量内容小结内容小结空间光滑曲线空间光滑曲线切向量切向量 ①①（（2）一般式情况）一般式情况. ②②2. 曲面的法向量曲面的法向量（（1）） 曲面方程为隐式曲面方程为隐式其其法向量法向量（（2）） 曲面方程为显式曲面方程为显式其其法向量法向量其其中中 思考与练习思考与练习1. 如果平面如果平面与椭球面与椭球面相切相切,提示提示: : 设切点为设切点为则则(二法向量平行二法向量平行) (切点在平面上切点在平面上)(切点在椭球面上切点在椭球面上) 证明证明 曲面曲面上任一点处的上任一点处的切平面都通过原点切平面都通过原点.提示提示: : 在曲面上任意取一点在曲面上任意取一点则通过此则通过此2. 设设 f ( u ) 可微可微,证明原点坐标满足上述方程证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为点的切平面为 备用题备用题与定向量平行与定向量平行,分析分析 只须证曲面上任一点处的法向量与只须证曲面上任一点处的法向量与 定向量垂直定向量垂直.取定向量为取定向量为则则故结论成立故结论成立 .的所有切平面恒的所有切平面恒1. 证明曲面证明曲面问题问题 观察一下观察一下,定向量是什么定向量是什么?证证 曲面上任一点的法向量曲面上任一点的法向量 例例1 1解解 求空间曲线的切线（或法平面）：求空间曲线的切线（或法平面）：一求切点；二求切向量一求切点；二求切向量. 2. 求曲线求曲线在点在点(1,1,1) 的切的切线线解解: : 点点 (1,1,1) 处两曲面的法向量处两曲面的法向量为为因此切线的方向向量为因此切线的方向向量为由此得切线由此得切线:法平面法平面:即即与法平面与法平面. 3.求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程切线方程法平面方程法平面方程即即即即解解: : 由于由于对应的切向量为对应的切向量为在在, 故故 4. 确定正数确定正数 使曲面使曲面在点在点解解: : 二曲面在二曲面在 M 点的法向量分别为点的法向量分别为二曲面在点二曲面在点 M 相切相切, 故故又点又点 M 在球面上在球面上,于是有于是有相切相切.与球面与球面, 因此有因此有 。