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1、误差与差与实验数据数据处置置 大学物理大学物理实验教师：李芬教师：李芬根本概念根本概念误误差公理：差公理：差公理：差公理： 一切丈量都存在一切丈量都存在一切丈量都存在一切丈量都存在误误差。差。差。差。真真真真 值值：被丈量的真：被丈量的真：被丈量的真：被丈量的真实实量量量量值值。等精度丈量：在同一条件下等精度丈量：在同一条件下等精度丈量：在同一条件下等精度丈量：在同一条件下进进展的反复多次丈量。展的反复多次丈量。展的反复多次丈量。展的反复多次丈量。不确定度不确定度不确定度不确定度(U)(U)(U)(U)： 表示丈量表示丈量表示丈量表示丈量结结果不确定的程度。果不确定的程度。果不确定的程度。果不
2、确定的程度。直接丈量：用丈量器具直接直接丈量：用丈量器具直接直接丈量：用丈量器具直接直接丈量：用丈量器具直接测测出被丈量量出被丈量量出被丈量量出被丈量量值值的丈量。的丈量。的丈量。的丈量。间间接丈量：先直接接丈量：先直接接丈量：先直接接丈量：先直接测测出与被丈量有关的直接丈量量出与被丈量有关的直接丈量量出与被丈量有关的直接丈量量出与被丈量有关的直接丈量量值值， 再根据再根据再根据再根据该该被丈量与直接丈量量被丈量与直接丈量量被丈量与直接丈量量被丈量与直接丈量量值值之之之之间间的数的数的数的数 学关系算出被丈量量学关系算出被丈量量学关系算出被丈量量学关系算出被丈量量值值的丈量。的丈量。的丈量。的
3、丈量。丈量丈量误差差1、绝对误差：被丈量的丈量差：被丈量的丈量值与其真与其真值之差之差为绝对误差差(丈量丈量误差差)：式中：式中：式中：式中： 为绝对误为绝对误差；差；差；差； 为为丈量丈量丈量丈量值值；R R为为被丈量的真被丈量的真被丈量的真被丈量的真值值真真真真值值包括：包括：包括：包括：(1)(1)实际实际真真真真值值 三角形的三个内角之和三角形的三个内角之和三角形的三个内角之和三角形的三个内角之和180o180o(2)(2)商定真商定真商定真商定真值值 米原器和千克原器米原器和千克原器米原器和千克原器米原器和千克原器(3)(3)相相相相对对真真真真值值 有限次反复丈量有限次反复丈量有限
4、次反复丈量有限次反复丈量值值的算的算的算的算术术平均平均平均平均值值; ; 高一高一高一高一级级准确度等准确度等准确度等准确度等级级丈量器具所丈量器具所丈量器具所丈量器具所测测得的得的得的得的值值作作作作为较为较低低低低 一一一一 级级准确度等准确度等准确度等准确度等级级丈量器具丈量丈量器具丈量丈量器具丈量丈量器具丈量值值的真的真的真的真值值2 2、相、相、相、相对误对误差差差差: : 绝对误绝对误差与真差与真差与真差与真值值之比之比之比之比 . . 用百分数表示：用百分数表示：用百分数表示：用百分数表示：式中：式中：式中：式中： E E为为相相相相对误对误差；差；差；差；丈量丈量结果的表达果
5、的表达 1 1、 等精度反复直接丈量等精度反复直接丈量等精度反复直接丈量等精度反复直接丈量 , , 丈量列丈量列丈量列丈量列为为 m1 m1，m2m2，mn ,mn ,假假假假设设系系系系统误统误差差差差为为零或采用修正方法消除了系零或采用修正方法消除了系零或采用修正方法消除了系零或采用修正方法消除了系统误统误差，也去除了粗大差，也去除了粗大差，也去除了粗大差，也去除了粗大误误差差差差丈量丈量丈量丈量结结果：果：果：果：给出上述丈量结果同时，还要指明相应的置信概率p于是，丈量结果应为 :同同时给出：出： 反复测取数据个数n由置信概率P决议。 P=0.95, n在22 25次之间；P=0.997
6、，n大于等于370次；P=0.683, n为小于等于20次。u没有标出准确度等级没有标出准确度等级 , 可以延续读数可估读的仪器，取仪器最小分可以延续读数可估读的仪器，取仪器最小分度值的一半作为仪器的最大误差度值的一半作为仪器的最大误差u没有标出准确度等级没有标出准确度等级 , 又不可延续读数不可估读的仪器，取最小分又不可延续读数不可估读的仪器，取最小分度值作为仪器的最大误差度值作为仪器的最大误差u已标出准确度等级的仪器，仪器的最大误差已标出准确度等级的仪器，仪器的最大误差 由误差公式计算。由误差公式计算。2 2、单单次直接丈量次直接丈量次直接丈量次直接丈量 ：式中：式中： 为丈量仪器的最大误
7、差；为丈量仪器的最大误差；设仪器准确度等器准确度等级为a ，满量程量程为L uu有些有些有些有些仪仪器最大器最大器最大器最大误误差由相差由相差由相差由相应应的公式的公式的公式的公式计计算算算算数据舍入数据舍入规那那么么1、 假假设舍舍去去部部分分的的数数值小小于于保保管管部部分分末末位位的的半半个个单位位，那那么么末末位位不不变。 例如：将以下数据舍入到小数点后第二位例如：将以下数据舍入到小数点后第二位1.23481.23由于由于0.00480.0055.624995.62由于由于0.004990.0055.625015.63由于由于0.005010.0053、假假设舍舍去去部部分分的的数数值
8、等等于于保保管管部部分分末末位位的的半半个个单位位，那那么么末末位位凑凑成偶数，末位成偶数，末位为偶数偶数时不不变，末位，末位为奇数奇数时加加1。1.23501.24由于由于0.0050=0.005，且，且3为奇数奇数5.625005.62由于由于0.00500=0.005，且，且2为偶偶数数5.605005.600以以为是偶数是偶数丈量结果中，丈量结果中， 或或 保管数字位数应与不确定度一致保管数字位数应与不确定度一致最终结果，规范偏向 取一位有效数字，相对误差 取两位有效数字。在计算过程中多取一位，在误差处置中， 和 都采用进位的方法。规范偏向 和 都应取成 。例如例如 ：取取例如：例如：
9、 保管数字位数保管数字位数1 1、2 2、丈量丈量误差的分差的分类1 1、系、系、系、系统误统误差：在一差：在一差：在一差：在一样样条件下，多次反复丈量同一量条件下，多次反复丈量同一量条件下，多次反复丈量同一量条件下，多次反复丈量同一量值值时时，误误差的大小和符号差的大小和符号差的大小和符号差的大小和符号坚坚持不持不持不持不变变或按一或按一或按一或按一定定定定规规律律律律变变化。化。化。化。2 2、随机、随机、随机、随机误误差：在一差：在一差：在一差：在一样样条件下，多次反复丈量同一量条件下，多次反复丈量同一量条件下，多次反复丈量同一量条件下，多次反复丈量同一量时时，误误差的大小、符号均无差的
10、大小、符号均无差的大小、符号均无差的大小、符号均无规规律地律地律地律地变变化。化。化。化。3 3、粗大、粗大、粗大、粗大误误差：在一差：在一差：在一差：在一样样条件下，多次反复丈量同一量条件下，多次反复丈量同一量条件下，多次反复丈量同一量条件下，多次反复丈量同一量时时，明明明明显显歪曲丈量歪曲丈量歪曲丈量歪曲丈量结结果的果的果的果的误误差。差。差。差。 系系统误差的判差的判别2 2 2 2、剩余、剩余、剩余、剩余误误差察看法差察看法差察看法差察看法根据丈量根据丈量顺顺序作序作图图察看，判察看，判别别有有规规律系律系统误统误差差m1，m2，.，mnn nr r1 12 23 34 40.0.1
11、10.0.2 20.0.3 3 1 1、实验对实验对比法比法 判判别别固定不固定不变变的系的系统误统误差差随机随机误差的方差和差的方差和规范差范差1 1、无限次丈量列任一次丈量、无限次丈量列任一次丈量、无限次丈量列任一次丈量、无限次丈量列任一次丈量值值的的的的规规范差范差范差范差n n 对对等精度无限丈量列等精度无限丈量列等精度无限丈量列等精度无限丈量列 m1 m1，m2m2，mn , mn , 去除了系去除了系去除了系去除了系统误统误差和差和差和差和粗大粗大粗大粗大误误差，任一次丈量差，任一次丈量差，任一次丈量差，任一次丈量值值的方差和的方差和的方差和的方差和规规范差分范差分范差分范差分别为
12、别为：按上式按上式计算算规范差需求知真范差需求知真值，丈量次数，丈量次数n需足需足够大，是大，是实际计算算公式。公式。2、有限次丈量列任一次丈量值的规范差贝塞尔公式 实实践丈量中，丈量次数践丈量中，丈量次数践丈量中，丈量次数践丈量中，丈量次数 n n 是有限的，用算是有限的，用算是有限的，用算是有限的，用算术术平均平均平均平均值值作作作作为为被丈量的真被丈量的真被丈量的真被丈量的真值值的最正确的最正确的最正确的最正确值值，那么任一次丈量，那么任一次丈量，那么任一次丈量，那么任一次丈量值值的的的的规规范差的方差和范差的方差和范差的方差和范差的方差和规规范差分范差分范差分范差分别为别为：丈量丈量结
13、果：果：同同时给出：出：3 3、丈量列算、丈量列算、丈量列算、丈量列算术术平均平均平均平均值值的的的的规规范差范差范差范差在在在在一一一一样样条条条条件件件件下下下下，对对被被被被丈丈丈丈量量量量反反反反复复复复做做做做 n n 次次次次丈丈丈丈量量量量，得得得得 m1m1，m2m2，mn mn ，去去去去除除除除系系系系统统误误差差差差和和和和粗粗粗粗大大大大误误差差差差，由由由由于于于于随随随随机机机机误误差差差差的的的的存存存存在在在在, ,围围绕绕丈丈丈丈量量量量值值算算算算术术平平平平均均均均值值的的的的规规范差，由下式求出：范差，由下式求出：范差，由下式求出：范差，由下式求出： 丈
14、量丈量结果：果：同同时给出出:粗大粗大误差的剔除差的剔除拉依达准那么：拉依达准那么：拉依达准那么：拉依达准那么：格拉布斯准那么：凡剩余格拉布斯准那么：凡剩余误差大于格拉布斯差大于格拉布斯鉴别值的的误差被以差被以为是粗大是粗大误差，差，该丈量丈量值舍舍去去式中ga，n为格拉布斯准那么判别系数，它与丈量次数n及显著性程度 (取0.05或0.01) 有关，判别系数见下表m1m1，m2m2，mn mn n n 10 10 该丈量值舍去n na an na a0.050.050.010.010.050.050.010.01g g（n, an, a）g g（n, an, a）3 31.151.151.16
15、1.1617172.482.482.782.784 41.461.461.491.4918182.502.502.822.825 51.671.671.751.7519192.532.532.852.856 61.821.821.941.9420202.562.562.882.887 71.941.942.102.1021212.582.582.912.918 82.032.032.222.2222222.602.602.942.949 92.112.112.322.3223232.622.622.962.9610102.182.182.412.4124242.642.642.992.9911
16、112.232.232.482.4825252.662.663.013.0112122.282.282.552.5530302.742.743.103.1013132.332.332.612.6135352.812.813.183.1814142.372.372.662.6640402.872.873.243.2415152.412.412.702.7050502.962.963.343.3416162.442.442.752.751001003.173.173.593.590.00010.0001 0.01 0.0124.7624.769 90 00 024.7524.758 80.0001
17、0.0001- 0.01- 0.0124.7424.747 70.00040.0004- 0.02- 0.0224.7324.736 60 00 024.7524.755 50.00250.0025+0.05+0.0524.8024.804 40.00040.0004- 0.02- 0.0224.7324.733 30.00010.0001+0.01+0.0124.7624.762 20.00010.0001- 0.01- 0.0124.7424.741 1序序号号等精度直接丈量列的数据等精度直接丈量列的数据处置置实例例例：例：例：例：对对某一某一某一某一轴轴的直径的直径的直径的直径进进展等精
18、度丈量展等精度丈量展等精度丈量展等精度丈量9 9次，得到下表数据，求丈量次，得到下表数据，求丈量次，得到下表数据，求丈量次，得到下表数据，求丈量结结果。果。果。果。1 1、求算数平均、求算数平均、求算数平均、求算数平均值值2 2、求剩余、求剩余、求剩余、求剩余误误差差差差3 3、判、判、判、判别别系系系系统误统误差差差差 根据剩余根据剩余根据剩余根据剩余误误差察看法，由表可以看出差察看法，由表可以看出差察看法，由表可以看出差察看法，由表可以看出误误差差差差符号大体上正符号大体上正符号大体上正符号大体上正负负一一一一样样，且无，且无，且无，且无显显著著著著变变化化化化规规，判，判，判，判别别该该
19、丈量列无有丈量列无有丈量列无有丈量列无有规规律律律律变变化的系化的系化的系化的系统误统误差。差。差。差。4 4、求丈量、求丈量、求丈量、求丈量值值的的的的规规范差范差范差范差5 5、判、判、判、判别别粗大粗大粗大粗大误误差差差差 本本本本实实例丈量例丈量例丈量例丈量轴轴径的次数径的次数径的次数径的次数较较少，因此不采用拉依达少，因此不采用拉依达少，因此不采用拉依达少，因此不采用拉依达 准那么判准那么判准那么判准那么判别别粗粗粗粗大大大大 误误差，采用格拉布斯准那么，差，采用格拉布斯准那么，差，采用格拉布斯准那么，差，采用格拉布斯准那么，故判故判别别丈量列中存在粗大丈量列中存在粗大误误差差 ,
20、, 将将m4m4去掉后去掉后 , , 重新重新计计算。算。0.0002250.000225 0.015 0.01524.7624.769 90.0000250.000025 0.005 0.00524.7524.758 80.0000250.000025- 0.005- 0.00524.7424.747 70.0002250.000225- 0.015- 0.01524.7324.736 60.0000250.000025 0.005 0.005 24.7524.755 5 0.0002250.000225- 0.015- 0.01524.7324.733 30.0002250.0002250
21、.0150.01524.7624.762 20.0000250.000025- 0.005- 0.00524.7424.741 1序序号号6 6 6 6、再一次求算数平均、再一次求算数平均、再一次求算数平均、再一次求算数平均值值、剩余、剩余、剩余、剩余误误差、差、差、差、规规范差、判范差、判范差、判范差、判别别粗大粗大粗大粗大误误差差差差 等等等等7 7、最后的丈量、最后的丈量、最后的丈量、最后的丈量结结果果果果间接丈量接丈量设设 N N 为间为间接丈量量，接丈量量，接丈量量，接丈量量，x x、y y、z z为为独立的直接丈量参数独立的直接丈量参数独立的直接丈量参数独立的直接丈量参数N =f(
22、xN =f(xN =f(xN =f(x、y y y y、z)z)z)z)间间接接接接丈丈丈丈量量量量量量量量N N的的的的误误差差差差是是是是分分分分别别由由由由x x、y y、z z 在在在在各各各各自自自自直直直直接接接接丈丈丈丈量中的量中的量中的量中的误误差引起的，差引起的，差引起的，差引起的，间间接丈量接丈量接丈量接丈量规规范范范范误误差差差差计计算式算式算式算式为为: :N N的相的相对误差差为: :27.2127.215 520.520.53 313.713.73 36.736.730 027.1527.1527.227.227.227.227.2527.2527.2527.252
23、7.227.227.327.327.327.327.327.327.327.35 527.127.127.127.127.127.127.227.227.227.220.4520.4520.5020.5020.5220.525 520.5720.575 520.620.620.520.55 520.520.55 520.620.620.620.65 520.620.65 520.3520.3520.4520.4520.4520.4520.520.520.5520.5513.6513.6513.7213.725 513.713.713.7713.775 513.813.813.713.75 51
24、3.813.813.813.813.813.85 513.913.913.513.55 513.613.65 5 13.613.613.713.713.713.76.676.675 56.726.725 56.756.756.756.756.756.756.76.76.75 6.75 6.86.86.86.86.86.86.66.65 56.7 6.7 6.76.76.76.76.76.70 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0右右左左右右左左右右左左右右左左右右左左右右左左40403030202010100 0间接丈量举例：间接丈量举例：知知
25、: 旋光性溶液的长度旋光性溶液的长度:L=10 cm 浓度：浓度：C0=0 ； C1 =10%；C2 = 20%； C3 = 30%；C4 = 40%测得不同浓度的旋光度测得不同浓度的旋光度 数据表数据表求：旋光率求：旋光率求：旋光率求：旋光率 a a 注：注：i i 代表不同代表不同浓浓度度1 1、 由式由式由式由式得得得得其中其中其中其中 : :2 2、b. 坐坐标轴焦焦点点用用低低于于丈丈量量值最最低低值且且与与最最低低值相相近近的整数表示的整数表示,不一定从零开不一定从零开场 丈量数据的表示方法丈量数据的表示方法c. 数数据据过过大大或或过过小小，分分度度应应以以 表表示示，坐坐标标轴
26、轴 不标数据点不标数据点d. 描点用描点用 、* 等等标出。出。f. 图线大约在图线大约在 或或 位置位置1 1、列列列列表表表表法法法法：表表表表名名名名、知知知知条条条条件件件件列列列列在在在在表表表表格格格格右右右右上上上上方方方方，行行行行、列列列列标标清清清清标标题题称号代表符号、称号代表符号、称号代表符号、称号代表符号、 单单位位位位在在在在符符符符号号号号后后后后并并并并括括括括起起起起来来来来 。同同同同一一一一个个个个单单位位位位可可可可标标在表格右上方在表格右上方在表格右上方在表格右上方2、作、作图法法:a. 程度程度轴自自变量，量，纵轴因因变量，量，标明符号、明符号、单位
27、位e. 注明注明图号、号、图名名3 3、实验实验数据的直数据的直数据的直数据的直线拟线拟合一元合一元合一元合一元线线性回性回性回性回归归: : 给给丈量丈量丈量丈量值值配上配上配上配上一个最正确的直一个最正确的直一个最正确的直一个最正确的直线线方程的方程的方程的方程的过过程。程。程。程。设测设测得一得一得一得一组组数数数数 xi xi 、y y i i对于每一个丈量于每一个丈量值 xi ，它，它对应的丈量的丈量值为 yi ，由公式，由公式 ( 1 ) 计算出算出 xi 对应的的 y 值，再由公式，再由公式 ( 2 )计算差算差值 v i( 1 )( 1 )( 2 )( 2 )对对于公式于公式于
28、公式于公式 ( 1 ) ( 1 )，最正确的直，最正确的直，最正确的直，最正确的直线线方程方程方程方程应该应该使得差使得差使得差使得差值值的平方和的平方和的平方和的平方和为为最小，即最小，即最小，即最小，即r的的 绝 对 值 越越 近近 于于 1， 阐 明明 线 性性 函函 数数 拟 合合 是是 合合 理理 的的 。r等于零或等于零或趋近于零，近于零，阐明明 x 、y 两物理量根本不存在两物理量根本不存在线性关系。性关系。得到得到分分别别求得求得27.2127.215 520.5320.5316.716.73 313.713.73 36.736.730 027.127.15 527.227.2
29、27.227.227.227.25 527.227.25 527.227.227.327.327.327.327.327.327.327.35 527.127.127.127.127.127.127.227.227.227.220.4520.4520.5020.5020.5220.525 520.5720.575 520.620.620.520.55 520.520.55 520.620.620.620.65 520.620.65 520.320.35 520.420.45 520.420.45 520.520.520.520.55 516.6716.675 516.716.716.7216.
30、725 516.7516.7516.816.816.716.75 516.816.816.816.816.816.85 516.916.916.6 16.6 16.616.616.6516.6516.6516.6516.716.713.6513.6513.7213.725 513.713.713.7713.775 513.813.813.713.75 513.813.813.813.813.813.85 513.913.913.513.55 513.613.65 5 13.613.613.713.713.713.76.676.675 56.726.725 56.756.756.756.756.
31、756.756.76.76.75 6.75 6.86.86.86.86.86.86.66.65 56.7 6.7 6.76.76.76.76.76.70 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0右右左左右右左左右右左左右右左左右右左左右右左左40403030X X 202010100 0( 0 , 0 )( 10% , 6.73 )( 20% , 13.73 )( 30% , 20.53 ) ( 40% , 27.215 )例：例：例：例：如何写如何写实验报告告实验称号称号实验目的目的实验原理原理实验内容内容实验步步骤实验仪器器实验数据数据处置置实
32、验数据数据记录回答思索回答思索题绘制制实验数据曲数据曲线实验课前前做做好好预习作作业：提提交交一一份份误差差处置置方方法法总结及及误差差处置置的的例例子子随机随机误差差设设丈量列丈量列丈量列丈量列为为m1m1，m2m2，mimi那么用那么用那么用那么用绝对误绝对误差表示的随机差表示的随机差表示的随机差表示的随机误误差列差列差列差列i i为为： i imimiR R i i1 1，2 2，3 3，n n 将上式两将上式两将上式两将上式两边边求和得：求和得：求和得：求和得：由正由正由正由正态态分布的抵分布的抵分布的抵分布的抵偿偿特性有：特性有：特性有：特性有：有有有有当当当当n n为为有限有限有限有限值时值时，丈量，丈量，丈量，丈量值值序列的算序列的算序列的算序列的算术术平均平均平均平均值为值为: :
