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1、4.3.1 4.3.1 空间直角坐标系空间直角坐标系 X问题引入问题引入 1 1数轴数轴Ox上的点上的点M，用代数的方法怎样表示呢，用代数的方法怎样表示呢？ 2 2直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？，怎样表示呢？ 数轴数轴Ox上的点上的点M，可用与它对应的实数，可用与它对应的实数x表示；表示； 直角坐标平面上的点直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数，可用一对有序实数(x，y)表示表示xOyMOxxM(x,y)xy思考思考1:1:数轴上的点数轴上的点M M的坐标用一个实的坐标用一个实数数x x表示，它是表示，它是一维坐标一维坐标；平面上的；平面上的点点M M的坐标用一对有序实
2、数（的坐标用一对有序实数（x x，y y）表示，它是表示，它是二维坐标二维坐标. .设想：对于空设想：对于空间中的点的坐标，需要几个实数表示间中的点的坐标，需要几个实数表示？O Ox xx xO Ox x(x,y)(x,y)y y思考思考2:2:平面直角坐标系由两条互相平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想：空间直角垂直的数轴组成，设想：空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？置关系如何？ 三条交于一点且两三条交于一点且两两互相垂直的数轴两互相垂直的数轴 思考思考3:3:在空间中，取三条交于一点在空间中，取三条交于一点且两两互相垂直的数轴：且两两互
3、相垂直的数轴：x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴，组成空间直角坐标系轴，组成空间直角坐标系OxyzOxyz，在，在平面上如何画空间直角坐标系？平面上如何画空间直角坐标系？ xyzOxOy=135xOy=135yOz=90yOz=90 思考思考4:4:在空间直角坐标系在空间直角坐标系OxyzOxyz中，中，三个坐标平面将空间分成几个部分三个坐标平面将空间分成几个部分？x xz zy y问题引入问题引入 3 3怎样确切的表示室内灯泡的位置？怎样确切的表示室内灯泡的位置？问题引入问题引入 4 4空间中的点空间中的点M用代数的方法用代数的方法又怎样表示呢又怎样表示呢？ 当建立空间直角坐标系后，空间中
4、的点当建立空间直角坐标系后，空间中的点M，可以，可以用有序实数（用有序实数（x，y，z）表示）表示OyxzMxyz（x，y，z）yxz 如图，如图， 是单位正方体以是单位正方体以O为原点，为原点，分别以射线分别以射线OA,OC, 的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段OA,OC, 的长为单位长，建立三条数轴：的长为单位长，建立三条数轴：x轴、轴、y 轴、轴、z 轴这时我们轴这时我们说建立了一个说建立了一个空间直角坐标系空间直角坐标系 ，其中点，其中点O 叫做坐标叫做坐标原点，原点， x轴、轴、y 轴、轴、z 轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，
5、分别称为面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、平面、yOz平面、平面、zOx平面平面空间直角坐标系空间直角坐标系ABCO 右手直角坐标系右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向拇指指向 x 轴的正方向，食指指向轴的正方向，食指指向 y 轴的正方向，如轴的正方向，如果中指指向果中指指向 z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系角坐标系空间直角坐标系空间直角坐标系 设点设点M是空间的一个定点，过点是空间的一个定点，过点M分别作垂直分别作垂直于于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴的平面，依次交轴的平面，依次交x 轴、轴、y 轴
6、和轴和z 轴轴于点于点P、Q和和R空间直角坐标系空间直角坐标系yxzMO 设点设点P、Q和和R在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上的坐标分别轴上的坐标分别是是x，y和和z，那么点，那么点M就对应唯一确定的有序实数组就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）MRQP 反过来，给定有序实数组反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以，我们可以在在x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴上依次取坐标为轴上依次取坐标为x，y和和z的点的点P、Q和和R，分别过，分别过P、Q和和R各作一个平面，分别垂直于各作一个平面，分别垂直于x 轴、轴、y 轴和轴和z 轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组轴，这三个平面的唯一
7、交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点确定的点M空间直角坐标系空间直角坐标系yxzMOMRQP空间直角坐标系空间直角坐标系yxzPMQOMR 这样空间一点这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点）叫做点M 在此在此空间直角坐标系中的坐标空间直角坐标系中的坐标，记作，记作M（x，y，z）其中）其中x叫做点叫做点M的的横坐标横坐标，y叫做点叫做点M的的纵坐标纵坐标，z叫做点叫做点M的的竖坐标竖坐标yxzABCO OABCABCD是单位正方体以是单位正方体以O为原点，分别以射为原点，分别以射线线OA,OC
8、, OD的方向为正方向，以线段的方向为正方向，以线段OA,OC, OD的长为单的长为单位长，建立位长，建立空间直角坐标系空间直角坐标系Oxyz试说出正方体的各个顶点试说出正方体的各个顶点的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上的坐标并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上空间直角坐标系空间直角坐标系(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1)思考思考: :x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴上的点的坐标轴上的点的坐标有何特点？有何特点？xOyxOy平面、平面、yOzyOz平面、平面、xOzxOz平面上的点的坐标有何特
9、点？平面上的点的坐标有何特点？x x轴上的点轴上的点: :(x,0,0)(x,0,0)xOyxOy平面上的点平面上的点: :(x,y,0)(x,y,0)xyzOy y轴上的点轴上的点: :(0,y,0)(0,y,0)z z轴上的点轴上的点: :(0,0,z)(0,0,z)yOzyOz平面上的点平面上的点: :(0,y,z)(0,y,z)xOzxOz平面上的点平面上的点: :(x,0,z)(x,0,z)思考思考: :设点设点M M的坐标为（的坐标为（a a，b b，c c）过）过点点M M分别作分别作xOyxOy平面、平面、yOzyOz平面、平面、xOzxOz平平面的垂线，那么三个垂足的坐标分别
10、面的垂线，那么三个垂足的坐标分别如何？如何？ABCOxMyzA(a,b,0)A(a,b,0)B(0,b,c)B(0,b,c)C(a,0,c)C(a,0,c)思考思考: :设点设点M M的坐标为（的坐标为（x x，y y，z z）那）那么点么点M M关于关于x x轴轴、y y轴、轴、z z轴及原点对称轴及原点对称的点的坐标分别是什么？的点的坐标分别是什么？xyzOM(x,y,z)M(x,y,z)N(x,-y,-z)N(x,-y,-z)例例1 1、如下图，在长方体、如下图，在长方体OABC-DABCOABC-DABC中，中，|OA|=3|OA|=3，|OC|=4|OC|=4，|OD|=2|OD|=
11、2，写出，写出DD，C C，AA，BB四点的坐标四点的坐标. .zxyOACDBABC 解：解：点点D的坐标是的坐标是（0，0，2）点点C的坐标是的坐标是（0，4，0）点点A的坐标是的坐标是（3，0，2）点点B的坐标是的坐标是（3，4，2） 例例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其的小正方体堆积成的正方体），其中中绿点绿点代表钠原子，代表钠原子，黄点黄点代表氯原子代表氯原子典型例题典型例题 解解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在把图中的钠原子分成上
12、、中、下三层来写它们所在位置的坐标位置的坐标 例例2 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为图（可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体），其的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子中色点代表钠原子，黑点代表氯原子典型例题典型例题 如图建立空间直角坐标如图建立空间直角坐标系系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标后，试写出全部钠原子所在位置的坐标xyzO 上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐
13、标分别是，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是:（0，0，1），（），（1，0，1），（），（1，1，1），（），（0，1，1），），（ ， ，1） 中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是（ ，0， ），（），（1， ， ），（），（ ，1， ），（），（0， ， ）；）；典型例题典型例题 下层的原子全部在平面上，它们所下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖坐标全是在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是原子所在位置的
14、坐标分别是(0，0，0)，（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,（ ， ，0）.xyzO思考思考: :设点设点A A（x x1 1，y y1 1，z z1 1），点），点 B B（x x2 2，y y2 2，z z2 2），则线段），则线段ABAB的中点的中点M M的坐标如何？的坐标如何？知识小结知识小结空间直角坐标系空间直角坐标系点在空间直角坐标系中的坐标点在空间直角坐标系中的坐标zxyO练习练习1 1、在空间直角坐标系中标出下列各点：、在空间直角坐标系中标出下列各点：A(0,2,4) B(1,0,5) C(0,2,0) A(0,2,4) B(1,0,5) C(0,2,0) D(1
15、,3,4)D(1,3,4)134DD练习练习2 2、如下图，在长方体、如下图，在长方体OABC-DABCOABC-DABC中，中，|OA|=3|OA|=3，|OC|=4|OC|=4，|OD|=3|OD|=3，ACAC于于BDBD相交于相交于点点P.P.分别写出点分别写出点C C，BB，P P的坐标的坐标. .zxyOACDBABCPP练习练习zxyABCOADCBQQ3 3、如图，棱长为、如图，棱长为a a的正方体的正方体OABC-DABCOABC-DABC中，对中，对角线角线OBOB于于BDBD相交于点相交于点Q.Q.顶点顶点O O为坐标原点，为坐标原点，OAOA，OCOC分别在分别在x x轴、轴、y y轴的正半轴上轴的正半轴上. .试写出点试写出点Q Q的坐标的坐标. .
